两个向量的数量积习题课件

1、两个向量的数量积两个向量的数量积（习题课）（习题课）授课教师：徐安祥授课教师：徐安祥授课班级：高二（、授课班级：高二（、 班）班）小结小结空间向量数量空间向量数量积的定义积的定义空间向量数量积空间向量数量积的性质的性质空间向量数量积空间向量数量积的运用的运用空间向量的夹角空间向量的夹角(1)a e |a|cosa,e(2)aba b0(3)|a| a a a b0aa aa bcosa,b|a|b| 2 2用用 证证垂垂直直用用| | |求求距距离离用用求求夹夹角角一、复习提问：一、复习提问：1、空间两个向量、空间两个向量 和和 的数量积如何表示？的数量积如何表示？其结果是向量还是实数？其结果

2、是向量还是实数？2、前面我们学过了利用两个向量的、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？的问题？ab二、练习二、练习（线线垂直问题）（线线垂直问题）1、如图，三角形、如图，三角形ABC是正三角形，是正三角形，AE和和CD都垂都垂直于平面直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F是是BE的中的中点，求证：点，求证：AF BDBAEFCD练习练习P352.,:.OABC OBOCAOBAOCOABC已知空间四边形求证ABCO证明证明:()OA BCOA OCOB ,OA OCOA OB | |cos| |cos ,OAOCOAOB |c

3、os (|)0.OAOCOB ,OABC ,BC即OA如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDABCD，CD和和DC相相交于点交于点O，连结，连结AO，求证，求证AOCD a,b,c, 设ABADAAabcabca0, 则abc,CD, 用基向量a, b, c表示AO得1AOADDC2 1bac211abc221CDCDCC2 11ac.22 AO CD 11( abc)2211(ac)222211|a |a |044 DBCBCADAo解解:三、例题讲解：三、例题讲解： 1、利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而也可以证明线面垂直问题。也可以证明线面

4、垂直问题。例例1 1、正方体、正方体 中，中，E E、F F分别是分别是 的中点。求证：的中点。求证：1111DCBAABCDCDBB ,1AEDFD平面1DCAB1A1B1C1DEF分析：分析：要证明线面要证明线面垂直，只需证明直垂直，只需证明直线和已知平面内的线和已知平面内的两条相交直线垂直两条相交直线垂直即可。本题可考虑即可。本题可考虑证明证明AEFDADFD11,2 2、应用应用 可证明两直线垂直，可证明两直线垂直，利用利用 可求线段的长度。我们还可以利用可求线段的长度。我们还可以利用 求两条异面直线所成的角。求两条异面直线所成的角。0baba22aabababa,cos例例2、空间四

5、边形、空间四边形ABCD中，中，AB=2，BD=4，BC=3，CD=2， 求求AB与与CD所成角的所成角的余弦值。余弦值。,60,30ABCABDABCD分析：分析：（1）已知已知AB分别与分别与BD所成所成的角，故可考虑把的角，故可考虑把AB与与CD所成的角所成的角的问题转化为的问题转化为AB分别与分别与BC和和BD所所成角的问题。成角的问题。（2）BCBDCDBCBDABCDAB3.,ABAC例 已知线段在平面 内 线段线段0,30 ,BDABDDDBDABa线段如果,.ACBDbC D求间的距离解解:ADCBDbab.ACACAB由0030,120 .CA BD 由 DBD22|()CD

6、CAABBD 222|222CAABBDCA ABCA BDAB BD 222202cos120 .babb22ba22.CDbaA AB BC CD DDDE E 例、如图所示，已知线段例、如图所示，已知线段ABAB在平面在平面内，线段内，线段ACAC，线段，线段BDABBDAB，线段，线段D DDD 交交 于于DD, , DBD=30DBD=30 . .如果如果ABABa a，ACACBDBDb b，（1 1）求）求C C、D D间的距离间的距离; ; （2 2）求异面直线求异面直线DC,BDC,BDD所成的角所成的角运用二：求线段长度常把线运用二：求线段长度常把线段表示成向量形式，然后通

7、段表示成向量形式，然后通过向量运算求解过向量运算求解. .运用三：常运用向量数量积的运用三：常运用向量数量积的变形公式求异面直线所成的角变形公式求异面直线所成的角. .4,ABAD 例4.已知平行六面体ABCD-A BCD中003,5,90 ,60 ,AABADBAADAA AC求的长.ADCBDCBA解解:,ACABADAA 2 2|()ACABADAA 22 2|2()ABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352(0 107.5)85.2 2、前面我们学过了利用两个向量、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？些类型的问题？

8、 小 结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。 （3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的余弦值等等。 1已知线段已知线段AB、BD在平面在平面内，内，BDAB，线段，线段AC ，如果，如果ABa，BDb，ACc，求，求C、D间的距离间的距离.CABDabc ACACBD,ACAB,BDAB.又知AC BD0,AC AB0,BD AB0, 2CDCD CD CAABBDCAABBD 222CAABBD 222abc .222CDabc .练习练习P35.解解:即即AB和和BC的夹角为的夹角为060已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长为的棱长为a，求：，求：(1)AB和和BC的夹角；的夹角；(2)ABACCDBCBADA B CABB B 1 解:A BA AB C2aB CB C cos,B C 又A BA BA B22a cos,B C A B1cos,B C2 A B用异面直线所成的角易解用异面直线所成的角易解已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长为的棱长为a，求：，求：(1)AB和