两个重要的极限(4)课件

1、2.6 2.6 两个重要的极限两个重要的极限定理定理2.11 (2.11 (两边夹准则两边夹准则) )例例1. 证明证明0limsin0 xx 证明：当证明：当,sin0 xx 有有,20 x1，, 0lim0 xx0sinlim0 xx 第二章第二章 下面给出一个判别数列极限收敛的准则下面给出一个判别数列极限收敛的准则对于数列对于数列na,.,2 , 1,1 naann若若称称 为单调增加数列。为单调增加数列。na对于数列对于数列na,.,2 , 1,1 naann若若称称 为单调减少数列。为单调减少数列。na.,),(,为为有有界界数数列列则则称称有有，使使得得对对于于任任何何正正整整数数

2、若若存存在在两两个个常常数数nnaMamnMmMm 定理定理2.122.12（准则（准则IIII）：）：.定定存存在在单单调调有有界界，则则其其极极限限一一若若数数列列na1sincos xxx圆扇形圆扇形AOBAOB的面积的面积0sin1. lim1xxx证证: 当当即即 xsin21x21xtan21 亦即)0(tansin2 xxxx),0(2 x时，时，,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOBAOB 的面积的面积AODAOD的面积的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有型型00)0(2 x)0(2 x两个重要极限：两个重要极限：说明:时时，、使使用用

3、公公式式1sinlim10 xxx的的过过程程中中才才成成立立。必必须须在在0 x?sinlim xxx例如：例如：中中，、在在xxxsinlim20是一个其他的变量，是一个其他的变量，若若x，的的函函数数例例如如是是)(x*记作记作，那那么么如如果果满满足足下下列列两两点点仍成立。仍成立。则则1*sin*lim*0 处是相同的；处是相同的；三个三个*)1(的的。表表示示的的变变量量必必须须是是趋趋于于 0*)2(?sinlim2xxx 0 2)323sin322sin(lim0 xxxxxxxxxx3sin2sinlim20、求、求例例解:2)(1sinlim3 xxx 、求、求例例。时时，

4、则则当当令令0, uxux 解:型型00型型003232lim0 xxxxxx3sin2sinlim0)2sin(lim20uuuu 20)(1)sin(lim uuu 原式原式2 xxx22sinlim0 xxx22sinlim02 则则时时，当当, 020 xx1 2202sinlimuuuu 例例4 4、 解:20cos1limxxx 20cos1limxxx 2202sin2limxxx 220)2(42sin2limxxx 2022sinlim21 xxx202122sinlim21 xxx21 型型0012.lim 1(1 )nnen扩展：对于变量扩展：对于变量x，也有，也有1li

5、m 1(1 )xxex也可以写为也可以写为10lim 1(1 )xxxe说明说明: :中中，、在在xxx)11(lim1 是一个其他的变量，是一个其他的变量，若若x，的的函函数数例例如如是是)(x*记作记作，那那么么如如果果满满足足下下列列两两点点仍成立。仍成立。则则e *)*11(lim处是相同的；处是相同的；三个三个*)1(的的。表表示示的的变变量量必必须须是是趋趋于于 *)2(例例5 5型型 1解:xxx 21limxxx 21lim2221lim xxx22221lim xxx211lim ttt令令tx 22e 例例6 6原式原式= =解:型型 1xxxx 1lim220e xxxx 111lim22xxx 111lim211222111lim xxxxx1 例例7 7202lim2xxx解：原式解：原式= =型型 1xxx2022lim xxx2021lim 12021lim xxx120