偏导数与全微分(12)课件

1、医用高等数学”医用高等数学第二节第二节 偏导数与全微偏导数与全微分分一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数三、高阶偏导数四、全微分四、全微分医用高等数学一、偏导数的概念一、偏导数的概念定义定义4-4 设函数 ( , )zf x y在点 00(,)xy的某一邻域 内有定义，当 y固定在 0y而 x在 0 x处有增量 x时，相应 地函数有增量 0000(,)(,),f xx yf xy如果00000(,)(,)limxf xx yf xyx 存在，则称此极限为函数 ( , )zf x y在点 00(,)xy处对 x的偏导数偏导数(partial de

2、rirative)，记作 医用高等数学00 x xy yzx、00(,)xfxy、00 x xy yfx或 00 xx xy yz同样，当 x固定在 0 x，而 y在 0y处有增量 y时，如果 极限 00000(,)(,)limyf xyyf xyy 存在，则称此极限为函数 ( , )zf x y在点 00(,)xy处对 y的 偏导数，记作 00(,)yfxy、00 x xy yzy、00 x xy yfy或 00yx xy yz偏导数是函数 ( , )zf x y沿着两个特殊方向的变化率，即一个平行于 x，另一个平行于 y轴的变化率 医用高等数学如果函数 ( , )zf x y在区域 D内每

3、一点 ( , )x y都有关于 x的偏导数，这个偏导数就是 x的函数，称为函数 ( , )zf x y关于 x的偏导函数偏导函数，简称为偏导数偏导数，记作 ( , )xfx y、zx、fx或 xz即0(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 同样，有函数 ( , )zf x y关于 y的偏导函数 ( , )yfx y、zy、fy或 yz即0( ,)( , )( , )limyyf x yyf x yfx yy 医用高等数学函数 ( , )zf x y在点 00(,)xy处关于 x的偏导数 00(,)xfxy显然就是偏导函数 ( , )xfx y在点 00(,)xy

4、处的函数值； 00(,)yfxy显然就是偏导函数 ( , )yfx y在点 00(,)xy处的函数 值 例例4-12 设函数 23( , )2ln3f x yxxyy，求 (1,2)xf 、(1,2).yf 解解 把 y看成常量，对 x求导数，（注意到其中 ln3为常数，其导数为0）得 ( , )22xfx yxy医用高等数学把 x看成常量，对 y求导数，得 2( , )23yfx yxy在点（1，2）处的偏导数为(1,2)2 12 26xf 、2(1,2)2 1 3 210yf 例例4-13 设函数 (0)yzxx，证明： 12 .lnxzzzy xx y证证 把 y看成常数，则 1yzyx

5、x，把 x看成常数，则 lnyzxxy，所以 111ln2 .lnlnyyyyxzzxyxxxxxzy xx yyx医用高等数学例例4-14 已知理想气体状态方程 (pVRT R为常量）， 试证： 1.pVTVTp 证证 因为 ,RTpV2;pRTVV ,RTVp;VRTp,pVTR.TVpR所以21.pVTRTR VRTVTpVpRpV 注意： 对一元函数来说，导数 dydx可看作函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商而 偏导数的记号“ yx”是一个 整体记号，其中的横线没有相除的意义 医用高等数学 如果一元函数在某点可导，则它在该点必定连续但对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也

6、不能保证它在该点连续例如函数22( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在点（0，0）处的两个偏导数200000(0,0)(0,0)()0(0,0)limlimlim 00 xxxxfxfxfxx 医用高等数学200000(0,0)(0,0)0()(0,0)limlimlim 00yyyyfyfyfyy 都存在，但由第一节中例4-13知此函数在（0，0）点不连续 医用高等数学二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxf

7、zyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线0 xyTyxzOxT0y对 y 轴的0M),(00yx医用高等数学三、高阶偏导数三、高阶偏导数设函数 ( , )zf x y在区域 D内具有偏导数 ( , ),xzfx yx( , )yzfx yy这两个偏导数在 D内都是 , x y的二元函数如果这 两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原来函数 ( , )zf x y的二阶偏导数依照对变量求导次序的不 同，而有下列四个二阶偏导数： 22( ,);xxzzfx yxxx2(,);xyzzfxyyxxy 医用高等数学2(,);yxzzfxyxyyx22(,

8、).yyzzfxyyyy 如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来函数的三阶偏导数一般地，函数 ( , )zf x y的 1n阶偏导数的偏 导数称为函数 ( , )zf x y的 n阶偏导数二阶及二 阶以上 的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数（higher-order partial derivatives） 例例4-15 设 2322,yzx ex yxy求 22zx、2zx y 、2zy x 、22zy和 33.zx医用高等数学解解: 232,yzx ex yxy2222,yzxex yyx22226,yzexyx22261,yzxex yx y 22322,yzx exy22261,yzx

9、ex yy x 3236.zyx在这个例子中 2zx y 2,zy x 这不是偶然的事实上， 我们有下述定理 定理定理4-1 如果函数 ( , )zf x y的两个二阶偏导数 2zx y 和 2zy x 在区域 D内连续，则在 D内有 医用高等数学2zx y 2.zy x 例例4-16 验证函数 221lnzxy满足方程22220.zzxy证证 由 222211lnln()2zxyxy ，得 2222112,2zxxxxyxy 22,zyyxy 222222222222()(2 ),()()zxyxxxyxxyxy 同理 222222222222()(2 ),()()zxyyyyxyxyxy

10、故22220.zzxy医用高等数学四、全微分四、全微分对于二元函数 ( , )zf x y，如果自变量 x和 y分别有 有改变量 x和 y时，对应的函数的改变量 (,)( , )zf xx yyf x y 叫做函数 ( , )zf x y的全增量全增量 例例4-17 已知矩形的边长为 x与 y，当边长 x与 y分 别由 0 x 、0y变为 0 xx 、0yy时 研究矩形面积 S的全增量 表达式 解解 矩形面积为 ,Sxy于是矩形面积 S的全增量为 医用高等数学00000000(,)(,)()()Sf xx yyf xyxxyyx y00().yxxyx y 矩形面积 的全增量 S由两部分组成，

11、第一部分 00yxxy 是 x 、y的线性函数；第二部分 x y ，当 0,0 xy 时，是比 22()()xy 高阶的无穷小 因此，当 xy、都足够小时，全增量 S可由 00yxxy 近似表示，此式中 xy、的系数恰是函数 Sxy在点 00(,)xy处分别对 xy、的偏导数，类似于一元函数微分概念，可定义 00yxxy 为二元函数 Sxy在点 00(,)xy医用高等数学处的全微分从而引入如下二元函数全微分定义 定义定义4-5 如果函数 ( , )zf x y在点 ( , )x y的某邻域内有 定义，当自变量 x和 y分别有增量 x和 y时，相应的 函数全增量 (,)( , )zf xx yy

12、f x y 可表示为 ( )zA xB yo 其中 AB、与 xy、无关，而仅与 xy、有关， ( )o是 当 0时比 高阶的无穷小（ 22()()xy ），则 称函数 ( , )zf x y在点 ( , )x y处可微，而 A xB y 称 为函数 ( , )zf x y在点 ( , )x y处的全微分（全微分（total 医用高等数学differential），记作 dz，即 .dzA xB y 与一元函数类似，全微分是 xy、的线性函数，它与 z只相差一个比 高阶的无穷小，所以也称 dz是 z的线 性主部当 ,xy很小时，可用全微分 dz作为函数全增量 z的近似值 下面讨论函数 ( ,

13、)zf x y在点 ( , )x y处可微分的条件 如果函数 ( , )zf x y在点 ( , )x y处可微分，则 ( , )zf x y在点 ( , )x y处的偏导数 zx、zy必定存在，且函数 ( , )zf x y在点 ( , )x y处的全微分为 zzdzxyxy 医用高等数学与一元函数类似，把自变量的增量叫做自变量的微分，即 ,xdxydy ，所以全微分又可写成 zzdzdxdyxy上式中的第一项是函数 ( , )zf x y对 x的偏导数与 dx的乘积，称为函数关于 x的偏微分偏微分（partial differential） ，第二项称为函数关于 y的偏微分 通常我们把二元

14、函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事，称为二元函数的微分符合叠加原理 医用高等数学叠加原理也适用于二元以上的函数例如，如果三元 函数 ( , , )uf x y z可微分，那么，它的全微分等于它的三 个偏微分之和，即 uuududxdydzxyz 在一元函数中，可导与可微是等价的，但对二元函数来说，偏导数存在，函数不一定可微但是如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微的，即有下面结论： 医用高等数学如果函数 ( , )zf x y的偏导数 ,zzxy在点 ( , )x y连续， 则函数在该点可微 初等函数都满足偏导数连续条件，因此对二元初等函数来说它是可微的 如果函数 ( ,

15、)zf x y在点 ( , )x y可微，则它在该点必连续 以上关于二元函数的全微分定义及全微分存在的充分条件，完全可以推广到多元函数 例例4-22 求函数 22x yze的全微分 解：解： 由于,zzdzdxdyxy而 222,x yzex222,x yzyey医用高等数学所以 222222.x yx ydzedxyedy例例4-18 求函数 yzx在点（2，3）处当 0.1,0.2xy 的全微分及全增量 解解: 1,yzyxxln ,yzxxy2312,xyzx238ln2,xyzy所以在点（2，3）处当 0.1,0.2xy 时 12 0.1 8ln2 0.21.2 1.6ln22.309zzdzxyxy 3 .230 .233(,)(,)( 20 .1)22 .12