傅里叶(Fourier)级数课件

1、一、问题的提出一、问题的提出二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数第七节第七节 傅里叶傅里叶(Fourier)(Fourier)级数级数四、正弦级数四、正弦级数 余弦级数余弦级数本节研究由三角函数组成的级数本节研究由三角函数组成的级数 三角级数三角级数 在实际问题中，有很多周期运动，数学上在实际问题中，有很多周期运动，数学上用周期函数来描述和研究它们，其中正弦函数用周期函数来描述和研究它们，其中正弦函数是一种是一种最常用而简单最常用而简单的周期函数，例如描述简的周期函数，例如描述简谐振动的函数谐振动的函数 sinyAt 一

2、、问题的提出一、问题的提出 对于反映较复杂周期运动的对于反映较复杂周期运动的非正弦周期函数非正弦周期函数，能否用较简单的周期函数（三角函数）组成的能否用较简单的周期函数（三角函数）组成的级数来表示和讨论呢？级数来表示和讨论呢？1,0( )1,0tu tt 当当当当可用以下不同频率正弦波逐个叠加：可用以下不同频率正弦波逐个叠加：,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 类似于函数的幂级数展开，类似于函数的幂级数展开，otu11例如矩形波例如矩形波非正弦周期函数非正弦周期函数14sinut 241(sinsin3 )3utt 3411(sinsin3sin5 )35utt

3、t 44111(sinsin3sin5sin7 )357utttt )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt541111(sinsin3sin5sin7sin9 )3579uttttt 用正弦函数组成的级数表示用正弦函数组成的级数表示 10)sin()(nnntnAAtf一般地，函数可表示为一般地，函数可表示为物理意义物理意义： 把一个比较复杂的周期运动看作许多把一个比较复杂的周期运动看作许多不同频率的简谐振动的不同频率的简谐振动的叠加叠加. . 电工学上，这种展开称为电工学上，这种展开称为谐波分析谐波分析. .二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交

4、性三角函数系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角级数三角级数 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa称为称为三角级数三角级数，02ananbx0,(1,2,).nna a b n 是是常常数数2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx: , . 正正交交任任意意两两个个不不同同函函数数的的乘乘积积在在上上的的积积分分等等于于零零, 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系), 3 , 2 , 1( n, 0sins

5、in nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx(,1,2,)m n 其其中中, 0cos nxdx, 0sin nxdx), 3 , 2 , 1( n三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开,系数系数 是什么是什么?,kkab2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 若若有有0(1):a求求01(cossin)2kkkadxakxbkx dx ( )f x dx 上式两边积分，上式两边积分，01( )(cossin)2kk

6、kaf xakxbkx 若若有有0022aa01( )af x dx 01cossin2kkkadxakxdxbkxdx 由正交性由正交性0 0 (2):na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk nxdxan2cos1( )cosnaf xnxdx ), 3 , 2 , 1( n, na01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 若若有有两边同乘以两边同乘以 再积分，得再积分，得nxcos0 0 kn (3):nb求求1( )sinnbf xnxdx ), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsi

7、n2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb两边同乘以两边同乘以 再积分，得再积分，得sinnx01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 若若有有0 0 kn 2sinnbnxdx ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数01(cossin)2kkkaakxbkx 傅里叶级数傅里叶级数2.傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收

8、敛性012( )(cossin)nnnaf xanxbnx 问题问题: :012( ) ?(cossin)nnnaf xanxbnx 若周期为若周期为 的函数的函数 可积，则可积，则)(xf 2条条件件? ?(1) 连续或只有有限个第一类间断点，连续或只有有限个第一类间断点，狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )则则f(x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,并且并且)(xf 2设设是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数.如果它满足在一个周期内如果它满足在一个周期内:(2)至多只有有限个极值点至多只有有限个极值点,注注 函数展开成傅里叶级数的条件函数

9、展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多比展开成幂级数的条件低的多. .则则f(x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,并且并且(1)当当x是是f(x)的的连续点连续点时时,级数收敛于级数收敛于f(x);(0)(0).2f xf x (2)当当x是是f(x)的的间断点间断点时时,级数收敛于级数收敛于解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .(0, 1, 2,).tkk 在在点点处处不不连连续续2mmEE收收敛敛于于2)(mmEE , 0 2,0( ),0mmEtu tEt 例例1为周期的矩形脉冲的波形为周期的矩形脉冲的波形将其展开为傅里叶级数将其展开为傅里叶级数

10、. .以以,( ).tku t 当当时时 收收敛敛于于和函数图象为和函数图象为otumE mE ntdttuancos)(10011()coscosmmEntdtEntdt 0(0,1,2,)n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为otumE mE 3. . 非周期函数非周期函数的傅里叶展开的傅里叶展开作法作法: :( )

11、(2 )( ),f xTF x 将将为为函函数数周周期期延延拓拓使使1 (0)(0)2ff 端端点点处处收收敛敛于于如果函数如果函数 只在区间只在区间)(xf, 上有定义上有定义, , 并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件, ,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数. .( )( )(, )F xf x -3-535oxy解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .延拓的周期函数的傅氏级数展开式在延拓的周期函数的傅氏级数展开式在xy0 2 2 )(xf, 收敛于收敛于例例2 xxxxxf0,0,)( 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. .将函数将函数 nxdxxfanc

12、os)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为), 3 , 2 , 1( n* *4.4.可以利用傅氏展开式求数项级数的和可以利用傅氏展开式求数项级数的和2141( )cos(21) ,2(21)nf xnxn 0,(0)0,xf 当当时时2

13、22111835 即即21410,2(21)nn 于于是是2222111246 32221111234 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 2221111,234 ),8(513112221 进一步，若记进一步，若记.122 2.24 四、正弦级数四、正弦级数 余弦级数余弦级数01(cossin)2kkkaakxbkx 只含有只含有正弦项正弦项的傅里叶级数，称为的傅里叶级数，称为正弦级数正弦级数( (或只含有常数项和余弦项或只含有常数项和余弦项) )( (或余弦级数或余弦级数). ).nxbnnsin1 nxaanncos210 正弦级数正弦级数余弦级数余弦级数傅氏级数

14、傅氏级数定理定理0(0,1,2,)nan 展开成傅里叶级数时展开成傅里叶级数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为)(xf 2当周期为当周期为的的奇函数奇函数02( )sin(1,2,)nbf xnxdxn 02( )cos(0,1,2,)naf xnxdxn 0(1,2,nbn ）（偶函数）（偶函数） 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可证同理可证(2). nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕. nxdxxfancos)(1奇函数奇函数), 3 , 2 , 1 , 0( n0 (1)( ),f x设设是是奇奇函函数数证明证明因此因此nxbnns

15、in1 )(xf 如果如果为奇函数为奇函数, ,傅氏级数傅氏级数称为称为正弦级数正弦级数. .020,( )sinnnabf xnxdx ), 3 , 2 , 1( nnxaanncos210 )(xf 如果如果为偶函数为偶函数, ,傅氏级数傅氏级数02( )cos,0nnaf xnxdx b 称为称为余弦级数余弦级数. .(0,1,2,)n 解解 所给函数满足所给函数满足(21) (0, 1, 2,),xkk 在在点点处处不不连连续续(0)(0)2ff 2)( ,0 (21) )( ),x xkf x 在在连连续续点点处处收收敛敛于于收收敛敛于于例例4成傅氏级数成傅氏级数. .)(xf 2是

16、周期为是周期为的周期函数的周期函数, ,它在它在设设), ( ),f xx )(xf上的表达式为上的表达式为将将展开展开 2 2 3xy0 3狄利克雷充分条件狄利克雷充分条件. .(21)( )2,xkf x 时时是是以以为为周周期期的的奇奇函函数数), 2 , 1 , 0(, 0 nan 2 2 3xy0 3和函数图象和函数图象 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)5sin514sin4

17、13sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, , 在整个数轴上连续在整个数轴上连续. .( ),u t为为偶偶函函数数, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E), 2 , 1( ntEtusin)( E例例5展开成傅氏级数展开成傅氏级数, ,其中其中是正常数是正常数. .将周期函数将周期函数 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE当当当当), 2

18、 , 1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1( n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu)( t.142cos21212 nnnxE014,0,Eaa 24,2(2 )10,21nEnkkank 当当当当0,1,2,nbn 01( )cos2nnau tant 对于非周期函数对于非周期函数，实施奇（偶）延拓后，实施奇（偶）延拓后就可以展开成正弦级数或余弦级数就可以展开成正弦级数或余弦级数. .( )0, ,2( ).f xF x 设设定定义义在在上上 延延拓拓成成以以为为周周期期

19、的的函函数数( )0( ),( )0f xxF xg xx 令令(2 )( ),F xF x 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 奇奇延延拓拓偶偶延延拓拓奇延拓奇延拓:)()(xfxg ( )0( )00()0f xxF xxfxx 则则xy0 ( )f x 的的傅傅氏氏正正弦弦级级数数 1sin)(nnnxbxf)0( x偶延拓偶延拓:)()(xfxg ( )0( )()0f xxF xfxx 则则( )f x 的的傅傅氏氏余余弦弦级级数数 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .( ),f x对对进进行行奇奇延延拓拓 0sin)(2

20、nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当将函数将函数)0(1)( xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数. .例例63sin) 2(312sin2sin) 2(21 xxxx)0( x2(2)sinsin22yxx 1 xy11(2)sin3sin4(2)sin5 345xxx (2)求余弦级数求余弦级数.( ),f x对对进进行行偶偶延延拓拓 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn20,2,4,6,41,3,5,nnn 当当,

21、 ,当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 1.傅里叶级数；傅里叶级数；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；狄利克雷充分条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小小 结结5.奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数; 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数;小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小小 结结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近思考题思考题思考