必修四平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标运算浮习目标1了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘 向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.产知识梳理自主学习知识点一平面向量的坐标表示(1) 向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i,j作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x, y使得a= xi+ yj,则有序数对 (x, y)叫做向量a的坐标，a= (x, y)叫做向量的坐标表示.向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(

2、x, y),则O)A= (x, y)，若A(xi, yi), B(x2,y2)，贝H Ab= (x2 xi, y2 yi).思考 根据下图写出向量 a, b, c, d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a = (2,3), b= ( 2,3), c= ( 3, 2),d = (3, 3).知识点二平面向量的坐标运算(1)若a= (xi, yi), b = (x2, y2)，贝U a+ b = (xi土xn土y)，即两个向量和的坐标等于这两个 向量相应坐标的和.若a= (xi, yi), b = (x2, y2)，贝U a b = (xix2, yi-y2)，即两个向量差的坐标等于这两个

3、 向量相应坐标的差.若a= (x, y),入 R,贝U扫=Ox入y即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向 量的相应坐标.已知向量 AB 的起点 A(xi, yi),终点 B(x2, y2),则 AB=(X2xi, y2 yi).思考 已知a = OA, b = OB, c= OC,如下图所示，写出 a, b, c的坐标，并在直角坐标系内 作出向量a+ b, a b以及a 3c,然后写出它们的坐标.答案易知：a = (4,i), b= ( 5,3), c= (i,i),OD= a+ b = ( i,4), BA= a b= (9, 2) , OF= a 3c= (i, 2).丰点突皈A题型

4、探究题型一 平面向量的坐标表示 例i已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量 AB, AC, bC, BD的坐标.解 如图，正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0), B(2,0), C(2cos 60 °2sin 60 ) °- C(1,.3) , D(1 ,3T)， AB= (2,0) , AC= (1,3),BC= (1- 2 ,3- 0)= (- 1,3),BD= (2-2 ,子 0) = (-3 ,爭.跟踪训练1在例1的基础上，若 E为AB的中点，G为三角形的重心时,如何求向量CE AG , BG

5、, GD的坐标解 由于 B(2,0),日1,0), C(1,3) , D(2 ,于),G(1,申, 所以 Cfe= (1 1,0- .3) = (0 , ,3),Ag= (1 ,于),Bg= (1- 2 , -3 一 0)= (-1, * ,t J d _3_31_3GD=(1 - 1 ,宁-)=(-1 ,云).题型二 平面向量的坐标运算1例 2 已知平面上三点 A(2 , 4) , B(0,6) , C(-8,10),求(1)AB- AC; (2)AB+ 2BC; (3)BC-Ac.解 / A(2 , 4) , B(0,6) , C(-8,10). Ab= (0,6) (2, - 4)= (

6、 2,10),AC= ( 8,10) (2, 4) = ( 10,14),BC= ( 8,10) (0,6) = ( 8,4).(1)AB AC- ( 2,10) ( 10,14)= (8, 4).(2) AB+ 2BC= ( 2,10) + 2( 8,4)= ( 18,18).t 1 t1(3) BC 2AC= ( 8,4) 2( 10,14) = ( 3, 3).跟踪训练2 已知a= ( 1,2), b = (2,1)，求:1 1(1) 2a + 3b; (2)a 3b; (3)qa §b.解 (1)2a + 3b= 2( 1,2)+ 3(2,1)=(2,4)+ (6,3)= (

7、4,7).(2) a 3b= ( 1,2) 3(2,1)=(1,2) (6,3)= ( 7， 1).1 1 1 1尹b =歹1,2) 3(2,1)1 ,2 17 2=2 r 3 =6，3 .题型三平面向量坐标运算的应用例3已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10) 若AP= AB+ 帧入 R),试求入为何值时,(1) 点P在一、三象限角平分线上；(2) 点P在第三象限内.解设点P的坐标为（x, y）,则AP= (x, y)(2,3)= (x 2, y 3),AB+ ZAC= (5,4) (2,3)+ 4(7,10) (2,3)=(3,1)+ 45,7) = (3 + 5 4 1 + 7

8、4 ./ Ap= aB+ 4Cx 2 = 3 + 5 4, y 3 = 1 + 7 4,x= 5 + 5 人 则y = 4 + 7 4(1)若P在一、三象限角平分线上，则5+ 5 4= 4+ 7人4=5 + 5 40,(2)若P在第三象限内，则4+ 7 40,“一1.4= *时，点P在第一、第三象限角平分线上；4< 1时，点P在第三象限内.跟踪训练3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7), (4,6), (1 , 2),求第四个顶点的坐标.解 不妨设A(3,7), B(4,6), C(1, 2).第四个顶点为 D(x, y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.(1

9、)当平行四边形为 ABCD时，AB= DC,设点D的坐标为(x, y),.(4,6) (3,7) = (1 , 2) (x, y),1x= 1 ,2 y= 1,x= 0 ,"y= 1. D(0, 1);当平行四边形为 ABDC时，仿 可得D(2, - 3);当平行四边形为 ADBC时，仿可得D(6,15).综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0, - 1), (2, - 3)或(6,15).方法探究坐标法解决向量问题例4 已知0是厶ABC内一点,/ AOB= 150° / BOO 90° 设 0A= a,0B= b , 0C= c,且|a| = 2, | b| =

10、1, | c| = 3,试用 a, b 表示 c.分析注意到两个已知的特殊角，联想到建立直角坐标系求向量坐标.解 如图，以0为原点，0A为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B(cos 150 ； sin 150 ° C(3cos 240 ； 3sin 240 °3133*3即 B(-"T，2)，C(-2,-_T)，又 A(2,0),故 a= (2,0), b=(-于,中)，c= (-2，-穿).3*32)=入(2,0) + ?2( 1312)= (2亏也尹),J332 Xi 2 尼=2,入=-3,X=- 3 . 3.c= 3a 3 3b.1.设

11、平面向量 a = (3,5), b= (-2,1)，贝U a 2b 等于()A. (7,3)B. (7,7)C. (1,7)D. (1,3)12 已知向量OA= (3, 2), Ofe= ( 5, 1),则向量2龜的坐标是()C. ( 8,1)D. (8,1)3 .已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), B( 1, 2), C(3,1)，且BC= 2AD,则顶点D的坐标 为()C. (3,2)D. (1,3)4.已知向量 a= (2, 3), b= (1,2),p= (9,4)，若 p = ma+ nb,贝U m + n =5.设向量 a = (1, 3), b= ( 2,4),c= (

12、1, 2).若表小向量 4a,4b 2c,2(a ©, d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d.课时精练一、选择题1.13已知平面向量a = (1,1), b = (1, 1),则向量2a 2b等于()A.(-2, 1)'B. ( 2,1)C.(1,0)D. ( 1,2)2.1已知 a ?b= (1,2), a+ b = (4, 10)，则 a 等于()A.(2, 2)B. (2,2)C.(2,2)D. (2, 2)3.已知向量 a= (1,2), b= (2,3), c= (3,4)，且c=入a+ Mb，贝U Xi ,茏的值分别为()A.2,1B. 1 , 2C.2,

13、 1D. 1,24.1已知M(3, 2), N( 5, 1)且MP = Mn，则点P的坐标为()A.(8,1)D. (8, 1)5.在平行四边形 ABCD中，AC为一条对角线.若AB- (2,4), AC- (1,3),则BD等于()A.(2, 4)B. ( 3, 5)C.(3,5)D. (2,4)6.向量AB= (7, 5)，将AB按向量a- (3,6)平移后得向量 AB,则AB的坐标形式为()A.(10,1)B. (4, 11)、填空题7 .已知点A(1,3), B(4, 1)，则与向量AB同方向的单位向量为 1 18 .已知平面上三点 A(2, 4), B(0,6), C( 8,10)，

14、则2恋一 4BC的坐标是 9. 已知 A( 1, 2), B(2,3), C( 2,0), D(x, y),且AC= 2BD,贝V x+ y=10. 已知四边形 ABCD为平行四边形，其中 A(5, 1), B( 1 , 7), C(1,2)，则顶点D的坐标为.三、解答题11. 已知 a = (2,1), b=(1,3),c=(1,2),求p=2a+3b +c,并用基底a、b 表示 p.12 .已知点 A(3, 4)与B( 1,2)，点P在直线AB上，且| AP| = 2| PB|，求点P的坐标.1 113.已知点 A( 1,2), B(2,8及AC= 3AB，DA= 3BA 求点 C D 和

15、 CD的坐标.当堂检测答案1.设平面向量 a = (3,5), b= ( 2,1)，贝U a 2b 等于()A. (7,3)B. (7,7)C. (1,7)D. (1,3)12 已知向量OA= (3, 2), OB= ( 5, 1),则向量2忑的坐标是()C. ( 8,1)D. (8,1)3 .已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), B( 1, 2), C(3,1)，且BC= 2AD,则顶点D的坐标为()C. (3,2)D. (1,3)4.已知向量a= (2, 3), b= (1,2),p= (9,4)，若 p = ma+ nb，贝U m + n =5.设向量a = (1,3), b= (

16、 2,4), c= ( 1, 2).若表示向量4a,4b 2c,2(a ©, d 的有课时精练答案、选择题1 答案2 答案3 答案解析由2 ?1 + 32= 4.解得乃=1 ,尼=2.4 .答案 C1解析 设 P(x, y),由(x 3, y+ 2) = X 8,1),二x = 1, y= |.5答案 B解析 / aC= aB+ aD, aD= aC- ab=( 1, 1)./. BD= AD AB= ( 3, 5).6 .答案 C解析AB与AB方向相同且长度相等,故A'= AB= (7, 5).二、填空题347 .答案5， 5解析 / AB= OB Oa= (4, 1) (

17、1,3) = (3, 4),/.与AB同方向的单位向量为AB|AB|8答案（3,6）9 .答案萝 解析 / AC= ( 2,0) ( 1 , 2)= ( 1,2),BD= (x, y) (2,3)= (x 2, y 3),又 2BD= AC,即(2x 4,2y 6)= ( 1,2),2x 4= 1 ,2y6= 2,3X c ,解得 2y= 4,11 x+y= 2 10答案(7， 6)解析设D(x, y),由AD= BC (x 5, y+ 1)= (2，一 5). x = 7, y= 6.三、解答题11.解 p = 2a + 3b + c=2(2,1) + 3( - 1,3) + (1,2)=(

18、4,2)+ (-3,9) + (1,2)= (2,13).1924y= 7设p= xa+ yb，则有2x- y= 2，解得x+ 3y= 131924 p = a + yb.12. 解 设 P 点坐标为(x, y), |AP| = 2| PB|. 当P在线段AB上时，AP= 2PB.(x- 3，y+ 4)= 2( - 1-x,2 - y),x- 3 =- 2-2x,y+ 4 = 4 - 2y,1解得 综上所述，点P的坐标为(-,0)或(-5,8). 13 .解 设点 C(x1, y1), D(x2, y2),由题意可得 AC=(X1+ 1, y1- 2), Ab= (3,6),DA= (- 1 - x2,2- y2), Ba= (- 3,- 6).y= 0.一 1 p点坐标为§, 0).当P在