二次函数(最全的中考二次函数知识点总结)

1、学习必备欢迎下载第一部分 二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念： 一般地， 形如 y ax2bx c（ a，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似，二次项系数 a0 ，而 b ，c可以为零二次函数的定义域是全体实数2二次函数yaxbxc的结构特征： a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，二次函数各种形式之间的变换x 的二次式， x 的最高次数是 2b 是一次项系数，c 是常数项二次函数yax 2bx c 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中hb ， k4acb2.2a4aax2 ； yax 2二次函数由特殊到一般，可分为以

2、下几种形式：yk ； y a x h 2 ； y a xh 2k ； y ax2bx c .二次函数解析式的表示方法一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；顶点式： ya (xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0）；两根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a0， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即24ac0 时，抛物线的解析式b才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数 y ax2bxc

3、图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式 ya( xh)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ， x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .二次函数 yax 2 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上0 ，0y 轴a0向下0 ，0y 轴二次函数 y ax2c 的性质a 的符号开口方向顶点坐标

4、对称轴a0向上0 ，cy 轴a0向下0 ，cy 轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 性质x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 学习必备欢迎下载二次函数 ya xh2的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，0X=hx h 时， y

5、随 x 的增大而增大；x h 时， y随 x的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hx h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y随 x的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 二次函数 ya xh2k 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，kX=hx h 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y随 x的增大而减小；x h 时， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hx h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y随 x的增大而增大；x h 时， y 有最大值 k 抛物线 yax2bxc 的三要素：开口方向、对称轴、

6、顶点 .a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a0时，开口向上； 当 a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作xb. 特别地， y 轴记作直线 x 0 .22a顶点坐标：（b4acb，）2a4a如果二次项系数 a 相同，那么抛物顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线 yax 2bxc 中， a,b, c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数 yax2bxc 中， a 作为二次项系数，显然a 0 当 a0 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越

7、大； 当 a0 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a0的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a学习必备欢迎下载当 b0 时

8、，b0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2ab 决定了抛物线对称轴的位置总结起来，在a 确定的前提下，总结：常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要 a，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法2b 2公式 法 ：yax2bx ca xb4ac，顶点是2a4a（b4ac b2xb，）.2

9、a4a，对称轴是直线2ah 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xk 的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线xh .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式 .顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 x

10、1 、 x2 ， 通 常 选 用 交 点 式 ：y a xx1xx2 .直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 (0,c ).与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax 2bx c 有 且 只 有 一 个 交 点( h , ah 2bh c ).ax 2抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 ybxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、 x2 ，是对应一元二次方程ax 2bxc 0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0抛物线与 x 轴

11、相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2bxck 的两个实数根 .一次函数 ykx n k0的图像 l 与二次函数y ax 2bx c a 0 的图像ykxnG 的交点， 由方程组bx c的解的数目来确定： 方程组有两组不同y ax2的解时l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点； 方程组无解时l 与 G 没有交点 .ax2抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线ybxc 与 x 轴两交点为学习必备欢迎下

12、载A x ， B x ，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故1 02 0x1x2b, x1x2caab24cb24acABx1 x2x1x22x1x224x1 x2aaaa二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称y2b x关c于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2k ；hh关于 y 轴对称y2b xcyax2bxca x；关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya xh2k ；h关于原点对称y2b x关c于原点

13、对称后，得到的解析式是yax2bxc；a xya x2关k于原点对称后，得到的解析式是yax2k ；hh关于顶点对称b 2y2b xc2a xyaxbxc；关于顶点对称后，得到的解析式是222aya xk 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxk hh关于点 m，n对称ya x2k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是ya x22n khh 2m总结： 根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向， 再

14、确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2h，k ；y a x hk ，确定其顶点坐标 保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h，k 处，具体平移方法如下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上

15、(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”学习必备欢迎下载根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。三点式。1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A（ 3 ，0）， B（ 2 3 ，0）， C（ 0， -3 ）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4， 经过点 A（ 2， 3），求抛物线的解析式。顶点式。y=x2-2ax+a 2+b 顶点为 A（2， 1），求抛物线的解析式。1，已知抛物线2，已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶

16、点为（ 3， 1），求抛物线的解析式。交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（ 3， 0）,(5,0), 求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与x轴两个交点（ 4，0），（ 1，0）求抛物线 y= 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。2定点式。1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线 y1 x 25 a x 2a 2 经过 x 轴上一22定点 Q，直线 y(a2) x2经过点 Q,求抛物线的解析式。2，抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线 y=ax 2+ax-2 过直线 y=mx-2m

17、+2上的定点 A，求抛物线的解析式。平移式。2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移1， 把抛物线y= -2x1 个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2， 抛物线 yx 2x3 向上平移 , 使抛物线经过点C(0,2), 求抛物线的解析式 .距离式。1，抛物线 y=ax 2+4ax+1(a 0) 与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m 0) 与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。1、抛物线 y=x2 -2x+(m 2-4m+4) 与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线2交 x 轴于 A,B （点 A 在点 B左边）两点，交 y 轴于点 C, 且y=-x+ax+4,OB-OA=3 OC，求此抛物线的解析式。4对称式。1， 平行四边形ABCD对角线 AC在 x 轴上，且 A（ -10 ，0）， AC=16，D（ 2， 6）。AD交 y 轴于E，将三角形ABC沿 x 轴折叠， 点 B 到 B1 的位置， 求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式