二次函数图像与性质总结

1、精品资料欢迎下载二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0时， y 随向上y 轴x 0 时， y 有最小值 0 x 的增大而减小；a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0时， y 随向下y 轴x 0 时， y 有最大值 0 x 的增大而增大；a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. y ax2 c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标a0向上0 ，ca0向下0 ，c3.yax2的性质：h左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标a0向上h ，0

2、a0向下h ，04.yax2k 的性质：ha 的符号开口方向顶点坐标a0向上h ，ka0向下h ，k对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0时， y 随y 轴x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0时， y 随y 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 对称轴性质X=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0 X=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y随 x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 对称轴性质xh 时， y 随

3、 x 的增大而增大；x h 时， yX=hxh 时， y 有最小值 k 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， yX=hxh 时， y 有最大值 k 随 x 的增大而增大；二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：精品资料欢迎下载方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或

4、左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a(x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax2bxc 变成yax 2bx cm （或 yax 2bxcm ） yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移

5、m 个单位， yax 2bxc 变成ya( xm) 2b( xm)c （或 ya(xm) 2b( xm)c ）三、二次函数yaxh2ax2bxc 的比较k 与 y从解析式上看，yax2k 与 yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配h2b2b ，kb 2方可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h4ac2a4a2a4a四、二次函数 yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y2c 化为顶点式 y2k ，确定axbxa (x h)其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c、以及 0 ，c 关于对称轴

6、对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ， x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .五、二次函数 yax2bxc 的性质bb ，4ac b21.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为2a2a4a精品资料欢迎下载当 xb时， y 随 x 的增大而减小； 当 xb时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb2a2a2a时， y 有最小值 4ac2b 4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb2当2a2a4axb 时， y 随 x 的增大而

7、增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y2a2a2a有最大值 4ac b24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： yax 2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3.两根式： ya ( xx1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写2成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b4 ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式

8、可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc 中，a 作为二次项系数，显然a0 当 a0 时，抛物线开口向上， 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0

9、，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置精品资料欢迎下载bab 的符号的判定：对称轴x在 y 轴左边则ab0 ，在y 轴的右侧则ab0 ，2a概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0

10、 ； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2b x 关c于 x 轴对称后，得到的解析式是y2bxc ；a xaxya x2y a xh2hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2. 关于 y 轴对称y2b xcyax2bxca x；关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya xh2k ；