二倍角的正弦余弦正切公式教案

1、学习必备欢迎下载二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对

2、和角公式中 、 关系的特殊情形 = 时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想. 这一切教师要引导学生自己去做 , 因为，数学课程标准提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神 .三维目标1. 通过让学生探索、发现并推导二倍角公式, 了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系 , 并通过

3、强化题目的训练, 加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力.2. 通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明. 体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用. 使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神 .重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式课时安排1 课时.教学过程导入

4、新课思路1. ( 复习导入 ) 请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式 . 教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的 . 当两角相等时 , 两角之和便为此角的二倍 , 那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢今天 , 我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课 .?思路2.(问题导入) 出示问题，让学生计算， 若sin = 3 , (, ),求sin2 ，cos2 52的值 . 学生会很容易看出：sin2 =sin( +)=sincos +cos sin =2sincos 的，以此展开新课，并

5、由此展开联想推出其他公式.学习必备欢迎下载推进新课新知探究提出问题还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？ ( 请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写 ) 你写的这三个公式中角 、 会有特殊关系 = 吗？此时公式变成什么形式？在得到的 C2 公式中，还有其他表示形式吗？细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两 人 为 一 组 ， 做 填 数 游 戏 ： sin()=2sin()cos() ，cos( )=cos2()-sin2( ).思考过公式的逆用吗？想一想C2 还有哪些

6、变形？请思考以下问题：sin2 =2sin 吗？ cos2 =2cos 吗？ tan2 =2tan ？活动：问题 , 学生默写完后， 教师打出课件， 然后引导学生观察正弦、 余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的, ，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试. 如果学生想到, 会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释. 这个过程教师要舍得花时间，

7、充分地让学生去思考、去探究， 并初步地感受二倍角的意义. 同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3 或 3 等角的探究附设类比联想的源泉.sin( + )=sin cos +cos sin =2sin cos （ S2 ） ;cos( + )=cos cos -sin sin =cos 2 -sin2 (C2);tan( + )=tantantan 22 tan()1 tantan1 tan2T2这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题，点拨学生结合 sin 2

8、+cos2 =1 思考 , 因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式 .这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）. 倍角公式给出了 的三角函数与 2 的三角函数之间的关系.问题 , 教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2 倍；左边是2 的三角函数的一次式，右边是 的三角函数的二次式，即左到右升幂缩角，右到左降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式 .问题 , 因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到： ( ) 这里的“倍角”专指“二倍角” , 遇到“三倍角”

9、等名词时, “三”字等不可省去； ( ) 通过二倍角公式, 可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函学习必备欢迎下载数； ( ) 二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况； ( ) 公式 (S2 ),(C 2 ) 中的角 没有限制，都是 R. 但公式 (T 2 ) 需在 1 k + 和 k + (k Z) 时才成立，这一条242件限制要引起学生的注意. 但是当 =k +,k Z 时 , 虽然 tan 不存在 , 此时不能用此公式，2但 tan2 是存在的 , 故可改用诱导公式.问题 , 填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2 是 的二倍的形式 , 其他如 4 是 2 的二倍

10、 , a 是 a 的二倍 ,3 是 3a 的二倍 , a 是 a 的二倍，- 242362是 - a 的二倍等 , 所有这些都可以应用二倍角公式 .42例如 :sin a =2sina cosa ,cosa =cos 2 a -sin2 a 等等 .244366问题 , 本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意 . 如 :sin3 cos3 = 1 sin6 ， 4sin a cos a =2(2sina cos a )=2sina ,2444422 tan4022 ， tan2 =2tan (1-tan21 tan2=tan80°， cos

11、 2 -sin2 =cos4 ) 等等 .40问题 , 一般情况下:sin2 2sin ,cos2 2cos ,tan2 2tan .若 sin2 =2sin , 则 2sin cos =2sin , 即 sin =0 或 cos =1, 此时 =k (k Z).若 cos2 =2cos , 则 2cos2 -2cos -1=0, 即 cos =13 (cos = 13 舍去 ).22若 tan2 =2tan , 则2 tan a=2tan , tan =0, 即 =k (k Z).1tan 2 a解答： （略）应用示例思路 1例 1 已知 sin2 = 5 ,< <, 求 sin

12、4 ,cos4 ,tan4 的值 .1342活动： 教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想. 让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的 . 本题中的已知条件给出了 2 的正弦值 . 由于 4 是 2 的二倍角 , 因此可以考虑用倍角公式 . 本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解 : 由 <<, 得 <2 < .422又 sin2 = 5 ,13cos2 =1sin2 2a = 1 ( 5 )

13、 212.1313学习必备欢迎下载于是 sin4 =sin2 ×(2)=2sin2 cos2 =2× 5 ×( 12 )=120 ;1313169cos4 =cos2 ×(2 )=1-2sin22 =1- 2×( 5 ) 2= 119 ;tan4 = sin 4a =(-120 )×169 =12013129.cos 4a169119119点评： 学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意, 在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度. 本节公式的基本应用是高考的热点 .变式训

14、练1. 不查表 , 求值解 : 原式 = (sin 15cos15 ) 2sin 2 15 2 sin15 cos2 1562点评： 本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(20XX年高考海南卷 ,9)若cos 2a2 , 则 cos +sin 的值为sin( a)24A.7B.1C.1D.72222答案:C3.(20XX年高考重庆卷 ,6)下列各式中 , 值为3 的是()2A.2sin15 ° - cos15°B.cos2215° -sin15°C.2sin 2 15

15、6; -1D.sin215°+cos 215°答案:B例2证明1sin 2cos2=tan .1sin 2cos2活动： 先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解. 教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等 . 对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“ 1”的代换，对“ 1”的妙用大家深有体会，这里可否在

16、“ 1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发 . 点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励 . 强调“ 1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:学习必备欢迎下载左 = sin 2(1 cos2)2sincos(11 2 cos2 )sin 2(1cos2)2sincos(12 cos21)= sincos1cos2sincoscos2= sincossin 2sincoscos2sin(cossin)

17、 =tan =右 .cos(sincos )所以 ,原式成立 .方法二 :左 = sin2cos2sin2sin 2cos2sin 22 sin2sin 2cos2sin 2cos2sin2sin 22 cos2= 2sin(sincos) =tan =右.2cos(sincos)方法三 :左= (1sin 2)cos2(sin 2cos22sincos)(cos2sin2)(1sin 2)cos2(sin 2cos22sincos)(cos2sin2)= (sincos) 2(cossin)(cossin)(sincos) 2(cossin)(cossin)= (sincos)(sincos

18、sincos)(sincos)(sincoscossin)= (sincos)2 sin=tan =右 .(sincos)2 cos点评： 以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点. 在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例 1 求 sin10 °sin30 °sin50 °sin70 °的值.活动： 本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生

19、思维能力的一道好题. 本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式. 教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式 . 并点拨学生结合诱导公式思考. 学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°， 30°，学习必备欢迎下载50°，70°正弦的积化为20°,40 °,60 °,80 °余弦的积, 其中60°是特殊角, 很容易发现40°是 20°的 2

20、 倍,80 °是 40°的 2 倍 , 故可考虑逆用二倍角公式.解 : 原式 =cos80°cos60°cos40°cos20°= 23sin 20 cos20 cos40 cos8023 2 sin 20= sin160sin 20116 sin 2016sin 2016.点评： 二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例 2 在 ABC中,cosA= 4 ,tanB=2, 求 tan(2A+2B) 的值 .5活动： 这是本节课本上

21、最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性, 同时也是和与差公式的应用问题. 教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题, 会带来一些隐含的条件,如 A+B+C= ,0<A< ,0<B< ,0<C< , 就是其中的一个隐含条件 . 可先让学生讨论探究， 教师适时点拨 . 学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系. 由于对2A+2B 与 A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路, 所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别. 不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预. 在学生自己尝试解决

22、问题后, 教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结. 基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B) 的值改为求tan2C的值 .解： 方法一 : 在 ABC中 , 由cosA= 4,0<A< , 得5sinA=1 cos2A1(4) 23 .55所以 tanA= sin A = 3 × 5 = 3 ,cos A5442 tan A2324tan2A=41 tan2A1327( )4又 tanB=2,所以 tan2B=2 tan B224 .1tan 2 B1223tan 2Atan 2B24444于是 tan(2A+2B)=731 tan2 A

23、 tan 2B244.)1771(73方法二 : 在 ABC中 , 由 cosA= 4 ,0<A< , 得5sinA=1 cos2A1(4) 23 .55学习必备欢迎下载所以 tanA=sin A3 × 5= 3 . 又 tanB=2,cos A544所以 tan(A+B)= tan Atan B321141tan A tan B32214于是 tan(2A+2B)=tan2(A+B)2 tan(AB)2(11)442.=B)11 21171 tan2 ( A1()2, 本质上没有区别, 其目的是点评： 以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用为了鼓励学生用不同的思

24、路去思考, 以拓展学生的视野 .变式训练化简： 1cos 4asin 4a .1cos4asin 4a解： 原式 2 cos2 2a2 sin 2a cos2a2sin 2 2a2sin 2a cos2a= 2cos2a(cos2a sin 2a)2sin 2a(sin 2acos2a)=cot2 .知能训练(20XX 年高考四川卷 ,17)已知 cos = 1 ,cos( - )=13 , 且 0< < <,7142(1) 求 tan2 的值 ;(2) 求 .解 : (1) 由 cos = 1 ,0< <2, 得 sin =1 cos2 a =1( 1)243 .777tan = sin a = 437=43 . 于是 tan2 =2 tan a24 383 .cos a711tan 2 a1tan2 a47(2) 由 0< < < , 得 0< - < .22又 cos( - )=13 , sin( - )= 1cos2 (a)1 (13)23 3 .141414由 =-( - ), 得cos =cos -( - ) =cos cos( - )+sin sin( - )= 1 × 13 + 433 3=1 .714