二次函数的三种表达形式

1、学习必备欢迎下载二次函数的三种表达形式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、 b、 c为常数 )，顶点坐标为,把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b 、c 的值。顶点式：y=a(x-h)2+k(a0,a 、h 、k 为常数 ),顶点坐标为对称轴为直线x=h ，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax 2 的图像相同，当x=h 时， y 最值 =k 。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y 的顶点 (1,2) 和另一任意点 (3,10) ，求 y 的解析式。解：设 y=a(x-1)2+2，把 (3,10) 代入上式，解得y=2(x-1)2+

2、2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h 越大，图像的对称轴离y 轴越远，且在 x 轴正方向上，不能因h 前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当 h>0 时， y=a(x-h)2 的图象可由抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到；当 h<0 时， y=a(x-h)2 的图象可由抛物线 y=ax2 向左平行移动 |h| 个单位得到；当 h>0,k>0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h>0,k<

3、;0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向下移动 |k| 个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h<0,k>0 时，将抛物线 y=ax2 向左平行移动 |h| 个单位，再向上移动 k 个单学习必备欢迎下载位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h<0,k<0 时，将抛物线 y=ax2 向左平行移动 |h| 个单位，再向下移动 |k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象。交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2 ) (a 0) 仅限于与 x 轴即 y=0 有交点时的抛物线，即 b 2-4ac 0 .已知抛物线与 x 轴即 y=0

4、 有交点 A（ x1 ，0 ）和 B（x2 ，0 ）,我们可设 y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),然后把第三点代入x、y 中便可求出 a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数x1+x 2 =-b/a ， x1?x2=c/a( 由韦达定理得 ),y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(x 1 +x 2)x+x 1?x2=a(x-x 1 )(x-x 2).重要概念：a，b ，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向。 a>0 时，开口方向向上；a<0 时，开口方向向下。 a 的绝对值可以决定开口大小。a 的绝对值越大开口就越小，a 的绝对值越小开口就越大

5、。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。学习必备欢迎下载二次函数解释式的求法：就一般式 y=ax2 bx c（其中 a， b ，c 为常数，且 a0）而言，其中含有三个待定的系数 a ，b ，c求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于 a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ， b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：ya(x x1 )(x x2 ) （a0 ）x1，x2 分别是抛物线与 x 轴两个交点的横坐标。已知抛物线与

6、 x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。典型例题一： 告诉抛物线与x 轴的两个交点的横坐标， 和第三个点， 可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x 轴交点的横坐标为 -2 和 1 ，且通过点（ 2 ，8 ），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y a(x+2)(x-1) ，过点（2 ，8），8 a(2+2)(2-1) 。解得 a=2 ，抛物线的解析式为：y2(x+2)(x-1) ，即 y 2x2+2x-4 。学习必备欢迎下载典型例题二： 告诉抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2 ），并且图象

7、与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x 轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决 由顶点坐标为（ 3，-2 ）的条件，易知其对称轴为x 3，再利用抛物线的对称性，可知图象与 x 轴两交点的坐标分别为（1， 0）和（ 5，0 ）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。2.巧用顶点式：顶点式 y=a(x h) 2+k （a0），其中（ h ，k ）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴， 或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁， 因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧

8、道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1 ，-2 ），且通过点（ 1，10 ），求此二次函数的解析式。点拨：解顶点坐标为（ -1 ，-2 ），故设二次函数解析式为y=a(x+1) 2 -2 （a0）。把点（ 1，10 ）代入上式，得10=a ·(1+1) 2 -2 。学习必备欢迎下载a=3 。二次函数的解析式为 y=3(x+1) 2 -2 ，即 y=3x 2+6x+1 。典型例题二：如果 a>0 ，那么当时， y 有最小值且 y 最小=；如果 a<0 ，那么，当时， y

9、有最大值，且 y 最大 =。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x4 时有最小值 3 ，且它的图象与x 轴两交点间的距离为 6 ，求这个二次函数的解析式。点拨：析解二次函数当 x 4 时有最小值 3，顶点坐标为（ 4， -3 ），对称轴为直线 x4 ，抛物线开口向上。由于图象与 x 轴两交点间的距离为6 ，根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（ 1，0 ）和（ 7， 0）。抛物线的顶点为（ 4， -3 ）且过点（ 1， 0）。故可设函数解析式为y a(x 4)2 3。将（ 1，0）代入得0 a(1 4) 2 3,解得a13 y

10、13(x 4) 2 -3 ，即 y13x 2 83x 73 。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：学习必备欢迎下载（ 1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2 ）和 B（1 ，0 ），且对称轴是直线x 3求这个二次函数的解析式.（ 2）已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1 ，图象交 y 轴于点（ 0 ，2 ），且过点（ -1 ，0 ），求这个二次函数的解析式.（ 3）已知抛物线的对称轴为直线 x=2 ，且通过点（ 1 ，4）和点（ 5， 0），求此抛物线的解析式 .（ 4）二次函数的图象的对称轴 x=-4 ，且过原点，它的顶点到 x 轴的距离为 4 ，求此函数的解析式典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线 y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位 , 再向下平移 2 个单位 ,