二次函数知识点总结及练习题

1、名师总结优秀知识点二次函数考点 1、二次函数的概念定义：一般地，如果y ax 2bxc(a,b, c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .注意： （1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数 a 必须为非零实数，即a 0，而 b、c 为任意实数。（ 2）当 b=c=0 时，二次函数 yax2 是最简单的二次函数。（ 3 ）二 次函数 y ax 2bxc( a, b,c 是常数， a0) 自变量的取值为全体实数（ ax2bx c 为整式）例 1： 函数 y=（ m 2） xm2 2m= _ 2x1 是二次函数，则例 2：已知函数 y=ax2 bx c（其中 a， b， c

2、 是常数），当 a_时，是二次函数；当a_，b_时，是一次函数； 当 a_，b_，c_ 时，是正比例函数例 3：函数 y= （m n） x2mx n 是二次函数的条件是（）A m、n 为常数，且m 0B m、 n 为常数，且m nC m、n 为常数，且n 0D m、 n 可以为任何常数例 4： 下列函数中是二次函数的有（） y=x 1 ； y=3（ x 1）2 2； y=（ x 3） 2 2x2； y= 1 xxx 2A1个B2个C3个D4个考点 2、三种函数 解析式 ：（ 1）一般式： y=ax 2+bx+c（ a 0），对称轴：直线bb4acb2x=顶点坐标： (，)2a2a4a（ 2）顶

3、点式： ya x h 2k （ a0），对称轴：直线 x= h顶点坐标为（ h , k）（ 3）交点式： y=a（ x-x1 ）（ x-x2 ）（ a 0）,对称轴 : 直线 x= x1x2( 其中 x1、 x22x 轴的两个交点的横坐标 ).是二次函数与例 1：抛物线y x22x8 的顶点坐标为 _ ；对称轴是 _。例 2：二次函数 y=-4 （ 1+2x）（ x-3 ）的一般形式是 _例 3：已知函数y mx2(m2)2的图象关于 y 轴对称，则 m_；m x例 4：抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴的交点坐标是 _.例 5：把方程 x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式

4、后a=_,b=_,c=_.考点 3、用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式：（ 2）顶点式：yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式.ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.（ 3 ） 交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 1 、 x2 ， 通 常 选 用 交 点 式 ：xy a x x1 x x2 .-5 ， 1），形状与抛物线 y=2x 2 相同，这个函数例 1：一个二次函数的图象顶点坐标为（解析式为 _例 2：已知抛物线的顶点坐标是（2， 1），且过点（ 1， 2），求抛物线的解析式。名师总结优秀

5、知识点例 3：已知二次函数的图像经过（ 0，1），（ 2，1）和（ 3，4），求该二次函数的解析式。例 4：已知二次函数的图像与 x 轴的 2 个交点为（ 1，0），（2， 0），并且过（ 3， 4），求该二次函数的解析式。考点 4. 二次函数的图象1、二次函数y ax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2 ； y ax 2k ；y a x h 2 ； y a xh 2k ； y ax2bx c .注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数 yax2bxc 的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称

6、图形，所以作图时步骤是：(1) 先找出顶点坐标，画出对称轴；(2) 找出抛物线上关于对称轴的四个点( 如与坐标轴的交点等 ) ；(3) 把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.典型例题：例 1：函数 y=x 2 的顶点坐标为 _若点（ a，4）在其图象上， 则 a 的值是 _例 2：若点 A（ 3， m）是抛物线 y= x2 上一点，则 m= _例 3：函数 y=x2 与 y= x2 的图象关于 _对称，也可以认为y= x2，是函数 y=x2的图象绕 _旋转得到例 4：若二次函数 y=ax 2（a 0），图象过点 P（ 2， 8），则函数表达式为 _例 5：函数 y=x2 的图象的对称

7、轴为 _，与对称轴的交点为 _，是函数的顶点例 7：若 a 1，点（ a 1，y1 ）、（ a， y2）、（ a 1， y3 ）都在函数 y=x2 的图象上，判断 y1、 y2、 y3 的大小关系？考点 5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0 （ y 轴）（0,0 ）yax 2kx0 （ y 轴）(0, k )ya x2h当 a 0 时xh(h ,0)y a x h 2k开口向上当 a 0 时x h( h , k )开口向下(yax 2bxcbxb4acb22a2a，)4a注：常用性质：1、开口方向：当a>0 时，函数开口方向向上；当 a<0 时，函数开口方

8、向向下；2、增减性：当 a>0 时，在对称轴左侧， y 随着 x 的增大而减少； 在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大；名师总结优秀知识点当 a<0 时，在对称轴左侧， y 随着 x 的增大而增大； 在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而减少；3、最大或最小值：当 a>0 时，函数有最小值，并且当x=当 a<0 时，函数有最大值，并且当x=b4acb2， y 最小2a4ab2b4ac， y 最大2a4a典型例题：例 1：抛物线的顶点在y 轴上，则m的值为 _。例 2：按要求求出下列二次函数的解析式：（ 1）形状与 y=- 13抛物线的解析式；x2+2 的图象形状相

9、同，但开口方向不同，顶点坐标是（0， 3）的（ 2）与抛物线y= 1 x2-2 关于 x 轴对称的抛物线的解析式；5（ 3）对称轴是y 轴，顶点的纵坐标是- 7 ，且经过（ 1，1）点的抛物线的解析式。2例 3： 已知函数12y=x +2x+12（ 1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；（ 2）求抛物线与 x 轴、 y 轴的交点；（ 3）观察图象： x 为何值时， y 随 x 的增大而增大；（ 4）观察图象：当 x 为何值时， y>0 时，当 x 为何值时， y=0；当 x 为何值时， y<0。例 4：已知二次函数y=(k-2)x2+2kx+3k ，根据下列给出的条件求

10、出相应的k 的值。（ 1）抛物线的顶点在 x 轴上；（ 2）抛物线的顶点在 y 轴上；（ 3）抛物线的顶点在 y=4x 上。名师总结优秀知识点考点 7. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。 a 的符号决定抛物线的开口方向对称轴平行于y 轴（或重合）的直线记作xh . 特别地， y 轴记作直线x0 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.例1 ：函数在 同一坐标系中的图象大致是图中的（）例 2： 抛物线 y( x2)23 的顶点坐标是（）A（ 2， 3）B（ 2， 3）C（ 2， 3）D （ 2，

11、 3）例 3：二次函数 y( x1) 22 的最小值是（）A2B1C3D23例 4：抛物线 y2( xm ) 2n （ m， n 是常数）的顶点坐标是（）A ( m， n)B ( m， n)C (m， n)D ( m， n)例 5：函数 y=ax 1 与 y=ax2 bx 1（ a 0）的图象可能是（）yyyy1x111ooxoxoxA BCD 考点 8. 抛物线 yax2bxc 中 a、 b、 c 的作用1、 a 决定抛物线的开口方向和开口大小a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0 时，函数开口方向向上；当 a<0 时，函数开口方向向下；a 的大小决定抛物线的开口大小：当a 越

12、大时，开口越小；当 a 越小时，开口越大；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .2、 a 和 b 共同决定抛物线的对称轴位置。b）（x=2a左同右异：如果对称轴在Y 轴左侧，则a、b 符号相同。如果对称轴在Y 轴右侧，则a、 b 符号相反。注意点： b0 时，对称轴为y 轴； b0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；a名师总结优秀知识点 b0（即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .a3、 c 的大小决定抛物线于 y 轴的交点位置。 （于 y=kx+b 中的 b 作用相同）当 x0时， y c ，抛物线 y ax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：注

13、意： c0 ，抛物线经过原点 ; c0, 与 y 轴交于正半轴； c0, 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中， 当结论和条件互换时， 仍成立 . 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 b0 .例 1： 已知抛物线 y ax 2bxc 经过原点和第一、二、三象限，则（a）A. a>0 ， b<0， c=0B. a<0，b<0， c=0C. a<0， b<0， c<0 D. a>0， b>0，c=0例 2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b 和抛物线 y ax 2bx c(c0) 的图象只可能是图中的（）例 3：在同一直角坐标系中， 函数 yax

14、2b和 ybx2ax 的图象只可能是图中的 （）例 4：抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）2A、 y=x -x-2C、 y=1x21x 122B 、 y=1 x2 1 122D、 y=x2x2例 6：已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，给出以下结论： a 0.该函数的图象关于直线 x1 对称.当 x1或x 3 时，函数y 的值都等于 0.其中正确结论的个数是（）A3 B2 C1 D0O名师总结优秀知识点考点 9、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移， 因为顶点决定抛物线的位置， 所以， 抛物线平移时首先化为顶点式向

15、上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0)】【或左 (h<0)】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位向右 (h>0)平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)2y=a (x-h) 2+k向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位例 1：在平面直角坐标系中，将二次函数y2x2的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为A y2x 22BC y2( x

16、2) 2Dy2 x22y2(x2) 2例 2：将函数 yx2x 的图象向右平移a (a0) 个单位，得到函数 y x23x 2 的图象，则 a 的值为A1B2C 3D4例 3：在平面直角坐标系中，先将抛物线yx2x 2 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换， 那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）Ayx2x 2Byx2x 2yx2x 2y x2x 2CD例 4：把抛物线 y=-x 2 向左平移 1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解析式为A y( x 1)23B y( x 1)23C y( x 1)23D y( x 1)23考点 10、二次函数

17、 yax2 bx c(a,b,c是常数， a0) 的最大值和最小值的求法二次函数是否有最值，由a 的符号确定。当 a>0 时，抛物线有最低点，函数有最小值，当b， y 最小4acb2x=2a4a当 a<时，抛物线有最高点，函数有最大值，当b， y 最大 4acb2x=4a2a注：如果自变量x 有取值范围，则另当别论。典型例题：例 1： 抛物线的图象开口 _，对称轴是 _，顶点坐标为 _，当 x=_ 时， y 有最 _ 值为 _。名师总结优秀知识点例 2： 当 m=_时，抛物线开口向下，对称轴是 _，在 对称 轴 左 侧 ， y 随 x的 增 大 而 _ ， 在 对 称 轴 右 侧

18、， y 随 x的增大而_。例 4：二次函数 y( x1) 22 的最小值是（）A.2（ B）1（C） -1（D）-2例 2：抛物线2）y=-x +x+7 与 x 轴的交点个数是（例 3：抛物线 y=-3x 2+2x-1的图象与 x 轴交点的个数是（）A没有交点B只有一个交点C 有且只有两个交点D有且只有三个交点考点 12、直线与抛物线的交点问题（ 1） y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 (0, c ).（ 2 ） 与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax 2bx c 有 且 只 有 一 个 交 点( h , ah 2bh c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、 x2 ，是对应一元二次方程 ax 2bxc 0的两个实数根