z变换的基本知识

1、z变换基本知识1 z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此， 拉普拉斯 变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了 z变换。连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的 表达式为O0f *( t) =' f (kT)、(t

2、_kT) = f (0)、(t) f (T)、(t _T) f (2T)、(t _2T)k =0f(3T)、(t-3T)川(1)对式(1)作拉普拉斯变换F*( s)二 L f *(t)二 f(0) f (T)eT f(2T)e'sT f (3T)e'sT |cO八 f(kT)e*sT(2)k £从式(2)可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z”，令z=esT( 3)代入式(2)并令F *( x) != F，得s 讦 I nzF(z) = F(O) f(T)z， f(2

3、T)z_ | 八f(kT)z-k(4)k式(4)定义为采样信号f*(t)的z变换，它是变量z的幕级数形式，从而有 利于问题的简化求解。通常以 F二L f *( t)表示。由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信 号作z =esT的变量置换。f *(t)的z变换的符号写法有多种，如Z f *( t), Z f (t), Z f (k), Z F *( s), F(z)等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。式(1)，式(2)和式(3)分别是采样信号在时域、s域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是

4、f(kT)，并且时域中的、：(t-kT)、s域中的eAsT及z域中的zA均表示信号延迟了 k拍，体现了信号的定时关系在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式， 其表达式 是z的有理分式(5)z变换写成零、极点形式F(z)二 K(zm dmZm' 山 diZ do)(zn(njzn+H) + C1z C0或zJ的有理分式Kz"1 dmz'+Hl+ az"1 d°zS)1 CzZ，Hl Gz"1 C°z其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时, 更为有用，式(5)可改写为式(7)F(z)二KN (z)D(z)K

5、(Z_zJ (Z-zm)(Z-pJ (Z-Pn)2求z变换的方法1)级数求和法根据z变换定义式(4)计算级数和，写出闭合形式 例1求指数函数f(t)=e1的z变换。解 连续函数f(t)的采样信号表达式为odf*(t)e上.(t _kT) = ： (t) e：(t _T) e2-(2T)川k 30对应的z变换式为O0F(z)八 f(kT)z± =1 eF e'Tz，|(k上式为等比级数，当公比 eJz <1时，级数收敛，可写出和式为F二T J1 -e zz e-J例2求单位脉冲函数(t)的z变换 解因为采样信号的表达式为f *(t) "(0)、(t) f (T)

6、、(t-T) f (2T)、(t -2T) HI对f(t)=6(t)函数，它意味着f* (t)仅由一项组成，即f*(t)=f(Op t )且f (0) = 1。所以QOF(z) =Z、(t)f (kT)z丄=f (O)z -1k=02)部分分式展开法最实用的求z变换的方法是利用时域函数f(t)或其对应的拉普拉斯变换式F(s)查z变换表(见教材附录)，对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应 的拉普拉斯变换式F(s)进行部分分式分解后再查表。F(s)的一般式为B(s) bosm dsm Hl bm4s bm(8)A(s) s +®s +1 llanos + a*(1)当A(s)=0无重

7、根，则F(s)可写为n个分式之和，即F(s)二C1s -qCC丄亠S - SjS - Sn(9)系数Cj可按下式求得，即Ci =(s-S)LF(s)S 甘(10)(2)当A(s) =0有重根，设q为r阶重根，Sr .1, s2,川，Sn为单根，则F(s)可展成如下部分分式之和，即CrCr 1C1Cr 寺CnF(s) r » rj丄亠亠(11)(s屯) (sq)Sq S S_Sn式(11)中cr1, |l(, Cn为单根部分分式的待定系数，可按式(10)计算。而重根项待定系数C1,C2jH,Cr的计算公式如下c =(S-sOrF(s)S=§16d -Cr 1(S - &quo

8、t; F(S)(12)dsJ1 dj -丨G 厂 tdSrGFW)1 dr4例3已知F(s)2，求其相应采样函数的z变换F(z)s(s+1)2(s + 3)解用F (s)直接查z变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为F(s)= C2 2+ C1 +c3+ c4(s + 1)2 s+1 ss+3其中C2-(s+1)2Ls22-1*+1)( + 心2G=d(s+1)2Ls：21dss(s + 1)2(s+3)ts“4s 2s(s 1)2(s 3)s -0C4=(s 3ls(s i)2(s 3)将诸常数代入部分分式中，有诃工占-4右1 + 12s 38#对照z变换表，查得Tze&qu

9、ot;3-F(z)2 (z e )4 z ezh2 -刍3 z 112 z e#(13)-2Tzeh -3z2 3zeJr 2 z 1 zT 2-J3T"4(z -e )23 z -112 z-e3 z变换的基本定理z变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。这些定理一般均可用z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。表1拉普拉斯变换和z变换特性拉普拉斯变换Z变换线性L fdt)±f2(t) = F1(s) 士 F2(s)Zf1(t)±f2(t) = Fdz)±F2(z)LFds) 土F2(s) = f1(t) 土 f2(t)ZF1(z)

10、77;F2(z) = f；(t)±f2*(t)Laf(t) =aF(s)Zaf (t)=aF(z)LaF(s)二af (t)Z，aF(z)=af (t)实微分（实超_dk1Z f (t+IT)】LJ二k f（t）前位移）Ldtk= skF(s)-送 sZfg(O)l -4= zlF(z： zl_lf(j)j=0实积分t(f l_F(s)-s复微分LtUf (t) d-F(s)ZtUf(t)-Tz ,)dsdz复积分F(p)dpZ=! t广F叫5m f(kT) z 07 kT实延迟位移Lf(tTo) 1(tTo) = eToF(s)Z f(tIT) 1(tIT) = zF(z)复位移L

11、 問打(t)=F(s 土 a)ZF(datf(t) = ZF(s土a)4«t .e-z)初值lim f (t) =FmsF(s)lim f (kT) = ymF(z)终值lim f (tljm sF(s)lim f (kT)=lim(1z"*)F(z)比例尺变换1fs )Lf(at)=F ala丿Zf(a nT) = F(z1/a)实卷积Lfdt)* f2(t)=F1(s)F2(s)Zf1(nR f2(n)=F1(z) F2(z)求和Z1_ n 1 匡f(i)匕F(z) gi-z1)实域位移定理(1)右位移(延迟)定理若Zf(t) =F(z)，则Zf(t -nT)二 zF(

12、z)(14)式中n是正整数。证明根据定义QOQ0Zf(t nT)=' f (kT - nT)z± 二f (kT _ nT)z"r)k=0k=0令 k - n 二 m，贝UO0Z f(t 一nT) ' f (mT)zm=-n根据物理可实现性，t ：0时f(t)为零，所以上式成为oCiZf(t nT)二 z' f (mT)z二 zF(z)mq0位移定理的时域描述如图1所示。11#图1位移定理的时域图形描述从图中可以看出，采样信号经过一个 zn的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动n步；经过一个Z的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动 n步(2)左位移(超前

13、)定理若 Zf (t)F(z)，则Zf (t nT)二 zn- "41F(z)“ f(kT)z°- k=0(15)证明根据定义有QOZ f (t nT) =' f (kT nT)z*k 二0QOQOZ f (t nT)=' f(rT)z" =zn' f(rT)z乂二r z=n:n 4'-nzn ' f(rT”f(rT)z“ = zn F(z)f(kT)z，_r =0r =0_k=0当f(O)=f (T)二f (2T)胡I = f( n-1)T=0时，即在零初始条件下，则超前定理成为Z f(t nT)二 znF(z)(16)1

14、22) 复域位移定理若函数f(t)有z变换F(z)，则ZeWf(t)二 F(ze aT)(17)式中a是常数。证明根据z变换定义有Ze衣* (t)f(kT)eakTz上k)令Zi =zeT，则上式可写成Z尹"(t)八 一 f(kT)z/ 二 F (乙)k=0代入zi = ze±T，得Z eatf(t)二 F(ze aT)3) 初值定理如果函数f(t)的z变换为F(z)，并存在极限lim F(z)，贝Uz_?Clim f(kTlim F(z)(18)或者写成f(O)=limF(z)(19)证明 根据z变换定义，F(z)可写成ooF(z)二' f(kT)z»

15、=f(0) f(T)z f (2T)z HIk=0当z趋于无穷时，上式的两端取极限，得zmF"(0)7叩冋4) 终值定理假定f(t)的z变换为F(z)，并假定函数(1-z')F(z)在z平面的单位圆上或 圆外没有极点，则kmf(kT)Fzm(1-z，)F(z)kz 1证明考虑2个有限序列nf(kT)z- = f(0) f(T)zJf(nT)z(21)k卫和n、f(k -1)TzA -f(-T) f(0)zJ f(T )z° |(f( n-1)Tz(22)k卫假定对于t <0时所有的f （t） = 0 ,因此在式（3-34）中f （-T） = 0 ,比较式（22

16、） 和式（21），式（22）可写成nn、f(k-1)Tz“二 z人 f(kT)z上k z0k z0令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得nn -1lim ' f(kT)z“-z二 f (kT)z-k =0k z0nnd八 f(kT)_、f(kT) = f (nT)k z0k =0(23)(24)lim f (nT)二 limn n厂lim J f (kT)z±f (kT)z»(25)在式（24）中取n_.时的极限，得15#在该式右端改变取极限的次序， 且因上式方括号中当n，时，两者的级数和均 为f （z），由此得1lim f（nT）n .终值定理的另一种常

17、用形式是nimf（n T）"Zm（z-1）F（z）（ 26）必须注意，终值定理成立的条件是，（1-z'）F（z）在单位圆上和圆外没有极 点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。女口函数F（z） 乞 z-2 其对应的脉冲序列函数为f （kH2k，当k：时是发散的，而直接应用终值定理得f(k)k 十(1_z)三=03与实际情况相矛盾。这是因为函数 F(z)不满足终值定理的条件所致。4 z反变换1)定义求与z变换相对应的采样函数f*(t)的过程称为z反变换，并表示成ZF(z)二 f*(t)二 f (kT)(27)注意：z反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信

18、号无对应关系，即ZF(z) = f(t)(28)如图2所示，3种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列。图2采样信号与连续信号的关系换句话说，z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号2)z反变换的求法(1)幕级数展开法(长除法)根据z变换的定义，若z变换式用幕级数表示，则Z*前的加权系数即为采 样时刻的值f(kT)，即F(z)二 f(0) f (T)z， f (zT)zf (kT)z-k对应的采样函数为f*(t) =f (0)、(t) f(T)、(t -T) f(2T)、(t -2T)|( f(kT)、(t-kT)川已知F(z)=求 f*(t)。11z2 15z 6z -4z2 5z -2解利用长除法11z+29z，+67z+145z* +川 z3 _4z2 5z_z11z2 _15z 62-)11z -44z 55 - 22z29z-49 22z1 2-)29z-116 145z- -58z67-123Z，58z，-)67 -268z_Qj145z由此得采样函数为f*(t) =11、(t -T) 29、(t -2T)67、(t -3T)145、(t -4T)用长除法求z反变换的缺点是计算较繁，难于得到 f(kT)的通式；优点则