函数的单调性与曲线的凹凸性(12)课件

1、10( )1f xxn 如如果果函函数数在在的的某某个个邻邻域域内内具具有有直直泰泰勒勒中中到到阶阶值值定定理理导导数数，则则内容回顾内容回顾2000001( )()()()()()2!f xf xfxxxfxxx ( )001()( )!nnnfxxxnR x (1)100( )( )()1()!nnnfxxRxxxn 在在与与 之之间间其中其中拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项0( )() nnRxo xx 或或皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项n 阶泰勒公式阶泰勒公式当当00 xn 阶阶麦克劳林公式麦克劳林公式 . .2 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式352112sin(

2、1)()3!5!(21)!nnnxxxxxo xn 246221cos1( 1)()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xn 2311ln(1)( 1)()231nnnxxxxxo xn 2(1)(1)12!(1)(1)()!nnxxxnxo xn 21()2!nxnxxexo xn 31()nxfxxe 例例求求带带皮皮亚亚诺诺余余项项的的阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式解解( )xxfxexe ( )xxxfxeexe ( )2xxxfxeexe 2xxexe3xxexe( )( )nxxfxnexe (0)0f ( )(0)nfn ()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnff

3、f xffxxxO xn 012n()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn 42( )()(1)!nnxf xxxO xn 解法解法221()2!nxnxxexo xn已已知知 ( )xf xxe 2111()2!(1)!nxnxxexo xn 32( )()2!(1)!nxnxxf xxexxo xn 5为为 的的幂幂的的多多项项式式. .(1)x 将将多多项项式式 表表示示23( )1352p xxxx 令令 则则 01,x ( 1)5,( 1)13,( 1)22,ppp ( )( 1)12,( 1)0(4),kppk 由由泰泰勒勒公公式式 得得, !

4、 ! ! !232212( )513(1)(1)(1)23p xxxx 23513(1)11(1)2(1) .xxx 三次多项式三次多项式例例2 2解解 ( )000()( )()!knknkfxP xxxk 62()2 xfxen 求求 带带皮皮亚亚诺诺余余项项的的 阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式练习练习解解 2tx 令令 21()2!ntntteto tn 已已知知 2222221()2!nxnxxenxox 所所以以 42221()2!nnxxxo xn 7四、泰勒公式的应用四、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差1( )(1)!nnMRxxn M 为为(1)

5、( )nfx 在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.可解问题的类型可解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn 8已知已知例例1. 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过610 . 解解:xe令令 x = 1 , 得得e1111(01)2 !(1)!e

6、nn (01) 由于由于03,ee 欲使欲使(1)nR3(1)!n 610 由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 ,因此因此11112!9!e 2.718281 2112!(1)!nxxnxxeexxnn 的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为9例例2. 用近似公式用近似公式2cos12!xx 计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.解解: 近似公式的误差近似公式的误差43( )cos()4!xRxx 424x 令令40.00524x 解得解得0.588x 即当即当0.588x 时时, 由给定的近似公

7、式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005 .102. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式1111)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明证明211(0).28xxxx证证:121(1)xx12x211 1(1)2! 2 2x52311 11(1)

8、(2)(1)3! 2 22xx (01) 522311(1)2816xxxx 211(0)28xxxx12e) 10(! ) 1(!1!2111nen两边同乘两边同乘 n !en!= 整数整数 +) 10(1ne假设假设 e 为有理数为有理数qp( p , q 为正整数为正整数) ,则当则当 时时,qn 等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾 !例例5 5 证明证明 e 为无理数为无理数 . . 证证:2n 时时,当当故故 e 为无理数为无理数 .等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.1360sin(1)xxexxx 例例 当当时时，的的阶阶是是多多少少? ?解解221()2xxexo x

9、 33sin()3!xxxo x2323sin1()()23!xxxexxo xxo x33453222223()()23!3!2 3!3!1()()2xxxxxxxxo xo xxxo xo x 3()o x3()o x3()o x3()o x3323()23!xxxxo x 333sin(1)()23!xxxexxxo x sin(1)3xexxx 是是 阶阶无无穷穷小小140, (cos )sin , .xxabxxa b设设 是是5 5阶阶无无穷穷小小，求求例例7 7解解利用麦克劳林公式利用麦克劳林公式(cos )sin sinsin22bxabxxxaxx 355sin()3!5!x

10、xxxo x 35522sin22( 2)3!5!xxxxoxsinsin22bxaxx 35355522()2( 2)3!5!23!5!xxxxbxa xo xxox 3554161()3!5!ababab xxxo x 10ab 40ab 160ab13b 43a 15泰勒公式的应用泰勒公式的应用(2) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 , 证明不等式证明不等式 等等.(1) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , 1( )(1)!nnMRxxn 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),xeln(1),x sin,xcos,x(1)x

11、 ()2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxn 16第三章第三章 微分中值定微分中值定理与导数的应用理与导数的应用第四节第四节 函数的单调性与曲函数的单调性与曲线线 的凹凸性的凹凸性17函数的单调性函数的单调性1212,xxIxx当当时时( );f xI则则称称函函数数在在区区间间是是单单调调增增加加上上的的12(1) ()(),f xf x 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI12(2) ()(),f xf x 恒恒有有( );f xI则则称称函函数数在在区区间间是是单单调调减减少少上上的的)(xfy )(1xf)(2xfxyoI182121 ()()( )

12、() . f xf xfxx 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的公公式式 xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA1212,xxIxx当当时时21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 内内，则则 21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 内内，则则 19一、单调性的判别法一、单调性的判别法定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数，内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbaba

13、baxfy 说明说明:1.:1.该定理的条件是充分条件而非必要条件该定理的条件是充分条件而非必要条件30(0)0,(,)yxxf 例例如如，在在处处 但但它它在在上上单单调调增增加加 ( ) , ( , ).( )00( )0( ) , yf xa ba bfxfxxyf xa b 设设在在上上连连续续，在在内内可可导导且且，又又的的点点 是是孤孤立立的的那那末末函函增增数数在在上上单单调调加加 减减少少 ；定理定理20Oxy0 xOxy0 x0( ),yf xxx 在在处处不不可可导导 但但它它在在相相应应区区间间上上有有单单调调性性2( )0 ( ) . fxf x 有有时时的的点点可可以

14、以作作为为函函数数单单调调性性的的分分界界点点20(0)0,(,0)(0,)yxxf 例例如如，在在处处 它它在在上上单单调调减减少少，上上单单调调增增加加，21Oxy0 x观察下面的图形观察下面的图形, 你能得出什么结论？你能得出什么结论？Oxy0 x ( ) . fx 使使得得函函数数的的导导数数不不存存在在的的点点也也可可作作为为函函数数单单调调性性的的分分界界点点结结论论综上所述综上所述, 可知可知: ( ) ( )0 ( ) f xfxfx 使使得得函函数数的的导导数数或或不不存存在在的的点点 . 可可以以作作为为函函数数单单调调性性的的分分界界点点22(1) 确定函数定义域确定函数

15、定义域; 判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法总结总结: : 求求出出使使得得 和和， 并并以以这这些些点点为为分分界界点点导导数数不不，将将定定存存在在义义域域分分为为若若干干 子子区区间间；的的点点(2)( )0fx 符符号号, , 确确定定 在在各各个个子子区区间间内内的的从从而而判判定定出出 在在该该区区间间上上的的单单调调性性。( )( )(3)f xfx 23例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(: D又又00 xy 2

16、4二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 25例例2 2解解

17、32( )29123.f xxxx 确确定定函函数数的的单单调调区区间间).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在2 , 1时，时，当当 x2, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 2 单调增单调增区间为区间为，1 ,(1,2，)., 2单调减单调减区间为区间为268 2 . yxx 讨讨论论的的单单调调性性: (, 0)(0, ) 定定义义域域282yx 222(4)xx 0 , y 令令

18、得得122 , 2 ,xx xy y( , 2) 2 ( 2, 0) 02) , 0(2) , 2( 00例例3 3解解单调增单调增区间为区间为(, 2 ，( 2,0) ，)., 2单调减单调减区间为区间为(0,2)，2702x 时时, 成立不等式成立不等式sin2.xx 证证: 令令sin2( ),xf xx ( )(0,2f x 则则在在上上连连续续(0,)2 在在上上可可导导，2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx1xtanx0 ( )(0,),2f x 因因此此在在内内单单调调递递减减从而从而sin2,(0 ,2xxx ( )()02f xf ( ),2f x

19、又又在在处处左左连连续续因此因此且且例例4 428* 证明证明tan0 xx令令( )tan,xxx 则则2( )1secxx 2tanx 0,(0,)2x ( )(0,),2x 在在上上递递减减从而从而( )(0)0 x 即即tan0,(0,)2xxx 29例例5 5证证明明：方方程程有有且且仅仅有有两两个个正正根根 ln1 . xxe令令 ( )ln1 ,xf xxe证证:(0,).D 11 ( )0fxxe xe 在在上上(0, )e11 ( )0fxxe 单单调调增增加加 ( )f x在在上上( ,)e ( )0fx 单单调调减减少少 ( )f x在在上上 曲曲线线与与轴轴至至多多有有

20、两两个个交交点点(0,+ ) , ( ) .yf xx 利用单调性判别方程根的情况利用单调性判别方程根的情况30)(0,(efx, ,在在上上连连续续 ( )1f e 00 lim( )limln1xxxf xxe 由由零零点点定定理理 曲曲线线与与轴轴至至少少有有一一个个交交点点, ( ) .yf xx ( ,)xef 上上在在, ,连连续续 ( )1f e lim( )limln1xxxf xxeln11limxxxxex 由由零零点点定定理理 曲曲线线与与轴轴至至少少有有一一个个交交点点, ( ) .yf xx 综综上上所所述述曲曲线线与与轴轴有有且且仅仅有有两两个个交交点点, ( )

21、, yf xx 即即 方方程程有有且且仅仅有有两两个个正正根根 ln1 . xxe 31利用单调性判别方程根的情况的一般步骤利用单调性判别方程根的情况的一般步骤:第一步第一步( ),1,( )0iif xa binf x 求求出出函函数数的的单单调调区区间间在在每每个个单单调调区区间间上上，方方程程 至至多多有有一一个个根根。第二步第二步,)iiiia ba b考考察察每每个个区区间间端端点点处处函函数数值值是是否否异异号号，利利用用零零点点定定理理判判定定在在( (内内是是否否有有根根。第三步第三步得得出出方方程程在在定定义义域域内内是是否否有有根根或或根根的的个个数数32 (3) .nnx

22、nn 证证明明：是是单单调调减减少少的的数数列列1 ( ), 3, ) ,xf xxx 令令121ln( )xxfxxx 3 ,x 当当时时( )0 ,fx ( )3, ),f x 故故在在上上单单调调减减少少: , (3) . nxn 由由此此可可得得利用函数利用函数处理数列处理数列例例6 6证证33观察以下曲线观察以下曲线各曲线有什么不同各曲线有什么不同?OxyAB.三、曲线的凹凸性三、曲线的凹凸性弯曲方向不同弯曲方向不同34曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC凸凹35凸xP :PQ弦弦线线的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦 :x点点的的坐坐标标12(1) , (0, 1)xxx :曲曲线线位位于于弦弦线线上上方方( )f xy 弦弦1212(1)( )(1) () fxxf xf x 即即OxyabQ( )yf x 2x1x36凹xaPOxybQ( )yf x 1x2x :PQ弦弦线线的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦