函数的单调性与极值(17)课件

1、1 函数的单调性与极值赣州四中 曾永忠函数单调性的定义：函数单调性的定义： f x对于给定区间上的函数： 1211221.,xxfxxxfxfx当时如果对于这个区间上的任意两个自变量，那么就说在这个区间上，都有是增函数。 1211222.,xxfx xxfxfx当时如果对于这个区间上的任意两个自变量，那么就说在这个区间上，都有是减函数。增则若)(, 0)()(1212xfxxxfxf减则若)(, 0)()(1212xfxxxfxf判断函数判断函数 的单调性的单调性34)(2xxxf 解解(定义法定义法）：设）：设 则则 21xx)x)(xx(x xxxx)f(x)f(x444212122212

2、121上单调递减，在上单调递增在函数时，当时，当2 ), 2()()()( 2 )()(22112212121xfxfxfxxxfxfxxxx108642-2-4y-10-5510 xOXY图象法图象法问题提出?.)(,)(性有何关系呢那么导数与函数的单调变化两者都是刻画函数的点的瞬时变化率在画的是刻导数的增加而减少随或的增加而增加随函数的单调性描述的是来说对于函数xyxfxyxyxfy2yx0. . . . . . . .再观察函数再观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象的图象在区间在区间（，2 2）上，切线斜率上，切线斜率小于小于0,即其导数即其导数为负，为负，函函数数单调单调递减

3、递减 ；总结总结: 在区间（在区间（2，+）上上,切线斜率切线斜率大于大于0,即其导数即其导数为正，函为正，函数数单调单调递增递增.从中得到什么启发？从中得到什么启发？探究新知:. 03)(, 43)()3(; 02)(, 52)()2(; 01)(,)() 1 (.函数图像如下数及其单调性比较以下几个函数的导xfxxfyxfxxfyxfxxfy8642-2-4-6-8-10-5510y=xy=-3x+4y=2x+5函数(1)(2)的导数都是正的,函数(1)(2)都是递增的,函数(3)的导数是负的,这个函数是递减的.)0.(21ln1)(,log)()4();0(3ln1)(,log)()3(

4、);0(21ln21)(,21)()2();0(2ln2)(,2)() 1 (.,213xxfxxfyxxfxxfyxfxfyxfxfyxxxx性对数函数导数及其单调再来看指数函数:,)(, 0)(),4)(2(;)(, 0)()3)(1 ( ,图像如下是递减的函数义域内的什么实数都有取定无论对函数是递增的函数都有取定义域内的什么实数无论以上几个函数中xfyxfxxfyxfx8642-2-4-6-8-10-5510 xy28642-2-4-6-8-10-5510 xy21xy3log8642-2-4-6-8-10-55108642-2-4-6-8-10-5510 xy21log(1)(3)(2

5、)(4)通过以上的实例可以看出,导函数的符号与函数的单调性之间有如下的关系一:;)(, 0)()(,. 1是递增的函数区间内则在这个的导数函数如果在某个区间内xfyxfxfy.)(, 0)()(,. 2是递减的函数区间内则在这个的导数函数如果在某个区间内xfyxfxfy如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f(x)0，那么函，那么函数数f(x)有什么特性？有什么特性？例题讲解.163632)(123减区间的递增区间与递求函数例xxxxf分析:根据上面的结论,我们知道函数的单调区间与函数导数的符号有关,因此,可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.).3)(2(63666)(:2xxxxxf

6、则可得由导数公式表和求导法解., 0)(,), 3()2,(增加的在这两个区间内函数是因此时或者当xfxx230)(xxxf或得，., 0)(,)3 , 2(是递减的在这个区间内函数因此时当xfx).3 , 2();, 3()2,(163632,23递减区间为和的递增区间为函数所以xxxy.163632)(.,.23的图像下图即为大致图像就可以画出一个函数的再通过描出一些特殊点后确定了函数的单调区间当因此数图像的大致形状函数的单调性决定了函xxxxf32-0)(xxf得，y32Ox2040163632)(23xxxxf方法归纳由导数来求函数的单调区间步骤:1,先求出函数的导函数.2,由导函数得

7、到相应的不等式.3,由不等式得相应的单调区间. 确定函数确定函数 在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数哪个区间内是减函数76)(23 xxxf解：解：xxxf123)(2课堂练习一04, 01232xxxx或解得令 是增函数时，及因此当)(, 40 ,xfx40, 01232xxx解得再令是减函数时，因此当)(4 , 0 xfx设设 是函数是函数 的导函数，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x xyo12( )yf x xyo12( )yf x (A)(B)xy

8、o12( )yf x xyo1 2( )yf x (C)(D)xyo( )yfx 2高考高考链接链接C;)(, 0)()(,是递增的函数则在这个区间内的导数函数如果在某个区间内我们已经知道：xfyxfxfy吗？反之，上面的结论成立是递减的函数区间内则在这个的导数函数如果在某个区间内.)(, 0)()(,xfyxfxfy如： 03-,23xxfxxf上的增函数，但，是在03)(,)(23xxfxxf上是减函数，在导函数的符号与函数的单调性的关系二：导函数的符号与函数的单调性的关系二：，上在区间上是递减的，那么在区间若函数，上在区间上是递增的，那么在区间若函数0)(,)(. 20)(,)(. 1x

9、fbabaxfxfbabaxf的什么条件？在区间上递增函数”是在某区间上“)(0)(xfyxf抽象概括二抽象概括二思考1思考2可以恒成立吗？上递增在区间若函数0)(,)( xfbaxf0,)(等于的任意子区间内都不恒在且baxf 0,)(等于的任意子区间内都不恒在且baxf 为减函数为增函数，恒等于内的任意子区间内都不在，内的可导函数在)(0)()(0)(0,)()(,xfxfxfxfbaxfxfba结论上单调递增在Rxf)(32.( )=1.f xxaxRa例 若函数若函数在实数集 上单调递增， 求实数 的取值范围。 fx分析：求，转化为恒成立问题。例题讲解 23fxxa解：由已知 230f

10、xxaR 在 上恒成立23axR即在 上恒成立0a只需 3=10f xxaxRa-在 上单调递增,则032x21,1axx 得3,上恒成立 2301,1fxxa由在上恒成立 3( )=1.1,1f xxaxaf xa已知函数是否存在实数 ，使在上单调递减？若存在，求出实数 的范围；若不存在，请说明理由。变式训练, aa分析：假设存在求出 的值，进行检验3a只需 2331afxx当时, 1,10 xfx 在上, 1,1f x即在上为减函数3a 31,1af x故存在实数，使函数在上单调递减。上恒成立在上单调递减在解：1 , 1-0)(,1 , 1-)(xfxf11x成立说明：只需验证a=3时函数

11、的导数在区间上是否连续为零上是减函数在函数Rxaxxf3)(231yax解析：3yaxxR函数- 在 上是减函数，则课堂练习二0a2310axR 在 上恒成立D选 确定函数确定函数 在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数哪个区间内是减函数42)(2 xxxf解：解：22)( xxf当当 时，时， 是增函数；是增函数；), 1( x)(xf令令 ，解得，解得 ，因此，因此，022 x1 x当当 时，时， 是减函数；是减函数；)1 ,( x)(xf再令再令 ，解得，解得 ，因此，因此，022 x1 x课堂练习三0ayxax讨论函数的单调性.,00,解：函数的定义域为2221axayxx 0,00,0ay