函数的单调性与曲线的凹凸性(18)课件

1、上页下页铃结束返回首页1主要内容：主要内容： 第十节第十节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法;二、曲线的凹凸性与拐点.上页下页铃结束返回首页2 f (x)0 f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在a b上单调增加 证明

2、 只证(1) 在a b上任取两点x1 x2(x1x2) 上页下页铃结束返回首页5因为在( 0)内y0 所以函数 y=exx1在0 )上单调增加 解 函数y=exx1的定义域为( ) y=ex1 例1 讨论函数 y=ex x1的单调性 v定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0时 y0 所以函数在( 0 上单调减少 因为x0时 y0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 因此函数y=x3在区间( 0及0, )上都是单调增加

3、的 从而函数在整个定义域( )内是单调增加的 上页下页铃结束返回首页10单调增加证明 例6 证明: 当 时,20 ,3tan)(3xxxxf=令令221sec)(xxxf=22tanxx=时，时，当当20. 0)( xf连续，连续，在在)2, 0)(xf)2, 0)(在在所以所以xf于是时，时，当当20 fxf即.3tan3xxx因此上页下页铃结束返回首页11分析 例7 证明: 当 时,eab.abba 证明 abba baablnlnln( ),xf xx=令( ) ,)f xa 在上连续，21 ln( )xfxx=21 ln0,ex,时时当当eax( )( ),f af b即lnln,ab

4、ab亦即.abba lnlnabab上页下页铃结束返回首页12 分析 例7 证明: 当 时,eab.abba 证明 abba baablnln 问题化为: ,时时当当eax.lnlnxaax,lnln)(xaaxxf=令令上连续，上连续，在在),)(axfxaaxf=ln)(, 0ln=aae上上在在所以所以),)(axf单调增加 于是,时时当当eab,时时当当eax, 0)()(=afbf即,lnlnbaab也即.abba 上页下页铃结束返回首页13问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyo)(xfy = =图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy = =图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲

5、线的凹凸性与拐点上页下页铃结束返回首页14v曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续 对I上任意两点x1 x2 如果恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf 上页下页铃结束返回首页15观察与思考: f(x)的图形的凹凸性与f (x)的单调性的关系. 1) f(x)的图形是凹的 2) f(x)的图形是凸的 f (x)单调增加; f (x)单调减少.v定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内

6、f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的 上页下页铃结束返回首页16 例8 判断曲线y=x3的凹凸性 解 y=3x 2 y=6x 由y=0 得x=0 因为当x0时 y0时 y0 所以曲线在0 )上是凹的 v定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的 上页下页铃结束返回首页17v拐点 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的连接点称为该曲线的拐点 拐点讨论 如何确定曲线y=f(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0)是拐点, 且f

7、(x0)存在问f (x0)=？如何找可能的拐点？上页下页铃结束返回首页1832 31xy = 讨论 曲线y=x4是否有拐点？例 6 求曲线3xy=的拐点 例9 解 二阶导数无零点当x=0时二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0所以点(0 0)是曲线的拐点 32 31xy = 32 92xxy= 只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0)是拐点虽然y(0)=0, 但(0,0)不是拐点.yOxy=x4oxy上页下页铃结束返回首页19 例10 求曲线y=3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数y=3x44x31的定

8、义域为( ) (4)列表判断 在区间(0和2/3)上曲线是凹的 在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 ( 0)0(0 2/3)2/3 (2/3 )00111/27 (3)解方程y=0 得 (2)231212xxy=)32(3624362= xxxxy231212xxy=)32(3624362= xxxxy (3)解方程y=0 得01=x 322=x y(x) y(x) x只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0)是拐点上页下页铃结束返回首页20 例10 求曲线y=3x44x31的拐点及凹、凸的区间 只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0)