函数的平均变化率(7)课件

1、1.1.求函数的平均变化率通常分两步求函数的平均变化率通常分两步(1)(1)作差，先求出作差，先求出y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )和和x=xx=x2 2-x-x1 1; ;(2)(2)作商，对所求的差作商得作商，对所求的差作商得求平均变化率求平均变化率2121f xf xy.xxx2.2.求函数平均变化率的注意点求函数平均变化率的注意点(1)(1)求函数平均变化率时注意求函数平均变化率时注意xx、yy两者都可正、可负，但两者都可正、可负，但xx的值不能为零，的值不能为零，yy的值可以为零的值可以为零. .若函数若函数y=f(x)y=f(x)为常数函为常数函数，则数，

2、则y=0.y=0.(2)(2)求点求点x x0 0附近的平均变化率，可用附近的平均变化率，可用 的形式的形式. .00f(xx)f(x )x 注意公式中分子与分母形式上的对应关系，以注意公式中分子与分母形式上的对应关系，以防代入数值时出错防代入数值时出错. .【例【例1 1】已知函数】已知函数f(x)=3x+1f(x)=3x+1，计算，计算f(x)f(x)在在-3-3到到-1-1之间和在之间和在1 1到到1+x1+x之间的平均变化率之间的平均变化率. .【审题指导】【审题指导】由题目条件可求得自变量的改变量由题目条件可求得自变量的改变量xx与函数值与函数值的改变量的改变量y.y.根据平均变化率

3、的定义，代入公式计算即可根据平均变化率的定义，代入公式计算即可. .【规范解答】【规范解答】x=-1-(-3)=2,y=f(-1)-f(-3)x=-1-(-3)=2,y=f(-1)-f(-3)= =3 3(-1)+1(-1)+1- -3 3(-3)+1(-3)+1=6,=6,即即f(x)f(x)在在-3-3到到-1-1之间的平均变化率为之间的平均变化率为3.3.y=f(1+x)-f(1)y=f(1+x)-f(1)= =3 3(1+x)+1(1+x)+1-(3-(31+1)=3x,1+1)=3x,即即f(x)f(x)在在1 1到到1+x1+x之间的平均变化率为之间的平均变化率为3.3.y63,x

4、2y3x3,xx【变式训练】求【变式训练】求y=f(x)=2xy=f(x)=2x2 2+1+1在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率，之间的平均变化率，并求当并求当x x0 0=1, =1, 时平均变化率的值时平均变化率的值. . 【解题提示】【解题提示】解答本题要紧扣平均变化率的定义式，先解答本题要紧扣平均变化率的定义式，先求自变量的改变量和函数值的改变量，然后代入公式求解求自变量的改变量和函数值的改变量，然后代入公式求解. .1x2 【解析】【解析】函数函数f(x)=2xf(x)=2x2 2+1+1在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率为之间的平均变化率

5、为: :当当x x0 0=1, =1, 时，平均变化率为时，平均变化率为0022000f xxf xx2 xx12x14x2 x.x 1x2 14 125.2 (1)(1)函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭陡峭”程度程度. .(2)(2)函数在某点附近平均变化率的绝对值越大，说明函数在此函数在某点附近平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越点附近的图象越“陡峭陡峭”. .平均变化率的比较平均变化率的比较平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义【例【例2 2】已知函数】已知函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2,

6、,计算当计算当x x0 0=1,2,3, =1,2,3, 时时, ,平均平均变化率的值变化率的值, ,并比较函数并比较函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2在哪一点附近的平均变化在哪一点附近的平均变化率最大率最大? ?【审题指导】【审题指导】先求先求f(x)f(x)在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率之间的平均变化率, ,再求再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论各点附近的平均变化率，最后比较得结论. .1x3 【规范解答】【规范解答】函数函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率之间的平均变化率为为当当x x0

7、 0=1, =1, 时，平均变化率的值为时，平均变化率的值为当当x x0 0=2, =2, 时，平均变化率的值为时，平均变化率的值为当当x x0 0=3=3， 时，平均变化率的值为时，平均变化率的值为函数函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2在在x x0 0=1=1附近的平均变化率最大附近的平均变化率最大. .2200003xx3xf xxf xxx2002xxx2xxx 1x3 1x3 1x3 73 ，133，19,371319,333【变式训练】求函数【变式训练】求函数f(x)=xf(x)=x3 3在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率之间的平均变化率, ,并计算当并

8、计算当x x0 0=1, =1, 时平均变化率的值时平均变化率的值. . 【解题提示】【解题提示】先求平均变化率，再求先求平均变化率，再求x x0 0=1, =1, 时的平时的平均变化率均变化率. .1x2 1x2 【解析】【解析】当自变量从当自变量从x x0 0变化到变化到x x0 0+x+x时，函数的平均变化率为时，函数的平均变化率为 =3x=3x0 02 2+3x+3x0 0 x+(x)x+(x)2 2. .当当x x0 0=1, =1, 时时, ,平均变化率的值为平均变化率的值为330000f xxf xxxxxx1x2 2211193 13 1( ).224 (1)(1)平均变化率的

9、物理意义即平均速度平均变化率的物理意义即平均速度. .(2)(2)求平均速度首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清求平均速度首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清函数单调性函数单调性. .利用定义求平均变化率利用定义求平均变化率. .(3)(3)此类问题体现了学科间知识的横向联系，是平均变化率的此类问题体现了学科间知识的横向联系，是平均变化率的实际应用实际应用. .平均变化率的应用平均变化率的应用平均变化率的几点说明：平均变化率的几点说明：【例【例3 3】已知一物体的运动方程为】已知一物体的运动方程为s(t)=ts(t)=t2 2+2t+3,+2t+3,求物体在求物体在t=1t=1到到t=

10、1+tt=1+t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度. .【审题指导】【审题指导】 【规范解答】【规范解答】物体在物体在t=1t=1到到t=1+tt=1+t这段时间内的位移增量这段时间内的位移增量s=s(1+t)-s(1)s=s(1+t)-s(1)= =(1+t)(1+t)2 2+2(1+t)+3+2(1+t)+3-(1-(12 2+2+21+3)1+3)=(t)=(t)2 2+4t.+4t.物体在物体在t=1t=1到到t=1+tt=1+t这段时间内的平均速度为这段时间内的平均速度为24 tts4t.tt 【变式训练】一质点作直线运动，其位移【变式训练】一质点作直线运动，其位移s s与时间

11、与时间t t的关系为的关系为s(t)=ts(t)=t2 2+1+1，该质点在，该质点在2 2到到2+t(t0)2+t(t0)之间的平均速度不大之间的平均速度不大于于5 5，求，求tt的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】质点在质点在2 2到到2+t2+t之间的平均速度为之间的平均速度为又又 即即4+t5,t1.4+t5,t1.又又t0,t0,tt的取值范围为的取值范围为(0(0，1 1. .2224tt(2t)1(21)v4t.tt v5,【例】物体的运动方程是【例】物体的运动方程是 (s(s的单位：米；的单位：米；t t的单位：的单位：秒秒) )，求物体在，求物体在t=1t=1秒到秒到t

12、=(1+t)t=(1+t)秒这段时间内的平均速度秒这段时间内的平均速度. .【审题指导】【审题指导】求物体在一段时间内的平均速度就是求位移对求物体在一段时间内的平均速度就是求位移对时间的平均变化率时间的平均变化率. .本题已知函数表达式，代入公式化简即可本题已知函数表达式，代入公式化简即可. .st1【规范解答】【规范解答】物体在物体在t=1t=1秒到秒到t=(1+t)t=(1+t)秒这段时间内的平均速度是秒这段时间内的平均速度是s1t11 1 2t2 m .s2t21m /stt2t2 ，1m/s .2t2 【变式备选】已知自由落体运动的方程为【变式备选】已知自由落体运动的方程为 (g(g为

13、常数为常数) )，求落体在求落体在t=10 st=10 s到到t=10.1 st=10.1 s这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度. .【解析】【解析】21sgt22211g 10.1g 10s 10.1s 102210.1 100.11.005g10.05g.0.1【典例】【典例】(12(12分分) )已知气球的体积为已知气球的体积为V(V(单位：单位：L)L)与半径与半径r(r(单单位：位：dm)dm)之间的函数关系是之间的函数关系是 (1)(1)求半径求半径r r关于体积关于体积V V的函数的函数r(V);r(V);(2)(2)比较体积比较体积V V从从0 L0 L增加到增加到1 L

14、1 L和从和从1 L1 L增加到增加到2 L2 L半径半径r r的平的平均变化率；哪段半径变化较快均变化率；哪段半径变化较快( (精确到精确到0.01)0.01)？此结论可说明？此结论可说明什么意义？什么意义？【审题指导】【审题指导】解答本题可先由球的体积公式变形得到函数解答本题可先由球的体积公式变形得到函数r(V)r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算. . 34V rr .3【规范解答】【规范解答】(1)(1) 3 3分分(2)(2)函数函数r(V)r(V)在区间在区间0 0，1 1上的平均变化率为上的平均变化率为 66分分函数函数r(V)r(

15、V)在区间在区间1,21,2上的平均变化率为上的平均变化率为 9 9分分显然体积显然体积V V从从0 L0 L增加到增加到1 L1 L时，半径变化快，这说明随着气球时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢体积的增加，气球的半径增加得越来越慢. 12. 12分分 33Vr V.4 33 10r 1r 040.62 dm/ L ,1 01 33r 2r 13 23 10.16 dm/ L .2 14433343V3VVr ,r,r,344【误区警示】【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】求函数【即时训练】求函数y=

16、xy=x2 2在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率之间的平均变化率; ;并并结合图象探讨当结合图象探讨当xx取定后，随取定后，随x x0 0取值不同，该函数的平均变取值不同，该函数的平均变化率是否相同？化率是否相同？ 【解题提示】【解题提示】结合图象探讨平均变化率时，可从图象的结合图象探讨平均变化率时，可从图象的增长速度方面考虑增长速度方面考虑. .【解析】【解析】当自变量从当自变量从x x0 0到到x x0 0+x+x时，函数的平均变化率为时，函数的平均变化率为如图，当如图，当xx取定值，取定值，x x0 0取不同的数值时，该函数的平均变化取不同的数值时，该函数的平均变化

17、率也不一样，例如率也不一样，例如x x0 0取正值，并不断增大时，该函数的平均取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越变化率也不断地增大，曲线变得越来越“陡陡”. . 002200200f xxf xxxxxx2xxx2xx.x 1.1.自变量自变量x x从从x x0 0变到变到x x1 1时，函数值的增量与相应自变量的增量时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数之比是函数( )( )(A)(A)在在x x0 0到到x x1 1之间的平均变化率之间的平均变化率 (B)(B)在在x x0 0处的变化率处的变化率(C)(C)在在x x1 1处的变化量处的变化量 (D

18、)(D)在在x x0 0到到x x1 1之间的增量之间的增量【解析】【解析】选选A.A.由平均变化率的定义知，该比值是在由平均变化率的定义知，该比值是在x x0 0到到x x1 1之间之间的平均变化率的平均变化率. .2.2.设函数设函数y=f(x)y=f(x)，当自变量，当自变量x x由由x x0 0改变到改变到x x0 0+x+x时，函数的改时，函数的改变量变量yy为为( )( )(A)f(x(A)f(x0 0+x) (B)f(x+x) (B)f(x0 0)+x)+x(C)f(x(C)f(x0 0)x (D)f(x)x (D)f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0) )【解析】【解析】选选D.D.函数的改