函数的幂级数展开式课件

1、返回第四节第四节 函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式问题：问题： 一、为何将函数展开成幂级数？一、为何将函数展开成幂级数？ 二、将函数展开成幂级数需要何条件？二、将函数展开成幂级数需要何条件？ 三、如何将函数展开成幂级数？三、如何将函数展开成幂级数？返回一、为何将函数展开成幂级数？一、为何将函数展开成幂级数？数学思想：数学思想： 将复杂问题的简单化，用简将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。单的函数表示复杂的函数。复杂的复杂的函数函数 简单的简单的函数函数数学的方法数学的方法在实际问题中，我们需要将一个函数表示在实际问题中，我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。成一个幂级数形式

2、。问题：计算机是如何计算问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？的函数值的？返回二、将函数展开成幂级数需要何种条件？二、将函数展开成幂级数需要何种条件？nnnxxaxf)()(00 该问题转化为：对任意给定的函数该问题转化为：对任意给定的函数 f(x)(2) 如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na(3) 展开式是否唯一展开式是否唯一?(1)在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?返回证明证明即即内内收收敛敛于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内具有任

3、意阶导内具有任意阶导数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .（定理（定理1回答了问题二）回答了问题二）将函数展开成幂级数需要何种条件？将函数展开成幂级数需要何种条件？返回 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2

4、)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数返回nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义只要函数只要函数f(x)在已知点任意阶可导，在已知点任意阶可导，f(x)在该在该点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢呢?不一定不一定.即即问题：问题：返回 0,00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可

5、见).()(,0 xfxfs于于的的麦麦氏氏级级数数处处处处不不收收敛敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,0limx )0(f 0021xex0limx 211xex0limx212xex0 比如比如洛必达法则洛必达法则返回定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)(

6、)(lim1xsxfnn ;0 返回充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .返回三、如何将函数展开成幂级数？三、如何将函数展开成幂级数？1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收并并求求其其收收敛敛域域的的幂幂级级

7、数数在在点点写写出出求求 0000)()()(,!)()1(nnnnnxxaxxfnxfa如条件满足，如条件满足，(2) (2) 判定判定 是否成立？是否成立？0)(lim xRnn返回例例1解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn),(!1! 2112 xxnxxenx R111)1()!1()!1()!1()()( nxnnnnxnexnexnfxR 01!)!1(,nnnxnxnxex的的一一般般项项是是收收敛敛级级数数而而有有界界确确定定后后当当)( , 0 n的幂级数的幂级数展开成展开成将将xex.!.! 21!02 nnnxnxxnxe 的的麦麦

8、克克劳劳林林级级数数为为返回例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )(xRn且且 1)!1(2)1(sin nxnn 0 )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x)!1(1 nxn返回例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xRxxf 解解: :)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在

9、x有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）返回有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘返回2.间接法间接法此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开成幂级数的主要方法，应重点掌握。成幂级数的主要方法，应重点掌握。返回例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxn

10、n),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn返回例：将例：将y=xarctanx展成展成x的幂级数。的幂级数。 若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得讨论余项讨论余项Rn(x)。 。从而得从而得故故由于由于1,121)1(arctan 1,121)1( )1()1( 11)arctan(arctan, 1,)1(11 0220120200020200 xxnxxyxxndxxdxxdxxdxxxxxxnnnnnnnnxnxnnnxxnnn若用间接方法，就很简便。若用间接方法，就很简便。返回 xxdxx021arc

11、tan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x nnnxxxxx20111211x 02)(nnx)(112x 返回例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(313322返回xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(3133223

12、1 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 返回返回Ex将函数将函数 21xxf在在0 x和和2x间接展开为泰勒级数。间接展开为泰勒级数。nnnxxxxx20111 21xxf)2(1121xnnx)2(210012) 1(nnnnx1 , 12 , 2 21xxf)42(1141xnnx)42(410014)2() 1(nnnnx6 , 2返回Ex将函数将函数xsin展开成展开成4x的幂级数。的幂级数。xsin)4(4sinx)4sin(4cos)4cos(4sinxx)4sin()4cos(21xx)!12() 1(! 5! 3sin12153nxxxxxnn,x! 5)(! 3)()4()4sin(5434xxxx,x返回)!2() 1(! 4! 21cos242nxxxxnn,x! 4)(! 2)(1)4cos(4424xxx,xxsin)4sin()4cos(21xx! 3)(! 2)()4(1 213424xxx,x返回内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1) 直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法间接展开法 利用幂级数的性质及已知展利用幂级数的性质及已知展开开2. 常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx