营销生产策略问题研究

1、I1*亠营 销 生姓名:XXX时间:2011年1月14号新产品的营销生产策略分析摘要：产品销售问题是经济应用数学的一个应用领域。这个实验我采用Logistic销售模型的建模思路。首先，Logistic回归模型，主要是用来对多因素影响的事件进行概率 预测，它是普通多元线性回归模型的进一步扩展，Logistic模型是非线性模型。分析题 目的三种假定，结合常微分方程的基本理论，对在杭州市场上推销某种新产品A加以具体研究，并给出了企业（甲）合理的营销生产策略。在假定一，设定了新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品 销售的外在因素是相对稳定，杭州市场对产品的需求量有限，产品的销售速度与

2、销售量 和剩余需求量的积成正比三个假设，建立了Logistic销售模型并求解。在假定二下，设定了类似产品 A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比，新 产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量，在假定一和假定二 下，不考虑新产品A的使用寿命三个假设，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品，建立了微分方程组销售模型并求解。在假定三下，设定了新产品 A服从均值为5 （年）的指数寿命分布，其的报废量与 新产品A的销售量成正比，新产品A报废后，人们仍愿意进行购买三个假设，参照Logistic销售模型，建立了微分方程销售模型并求解。A= qM 0.2A=q q(1 e。为在模型检验

3、及分析中，运用常微分方程的基本理论结合 MATLA图像，对三个模型作 了进一步讨论，假定一在销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销；假定二中常 微分方程组的驻定解均不稳定；假定三下给出了销售的最大需求函数 及销售速度曲线，并就分析具体给出了企业（甲）合理的营销生产策略关键词：Logistic 销售模型 销售速度 销售量 合理营销策略 初值常微分方程驻定解 稳定性产品寿命系数矩阵、问题分析与解题思路新产品营销中，除了类似产品的市场占有率、新产品自身的使用寿命外，产品的价格、质量、销售人员的销售情况等因素也会影响到产品的销售。在杭州市场上还没有出现过产品 A或类似的产品的假定下，当新产品A刚进

4、入市场， 人们对其功能尚不熟悉，销售速度较慢。随着销售数量的增加，人们对于新产品A的了解程度就会增加，销售速度也会增加，若这类产品销售到一定数量时，人们不会重复购 置，就会使销售速度减慢。在杭州市场上有过类似的产品的假定下，不考虑消费者同时拥有新产品 A和其类似 产品的情况，认为类似产品的市场占有率会影响新产品 A的销售，且类似产品的销售模 型与新产品A的销售模型相同。在杭州市场上还没有出现过产品 A或类似的产品时，考虑新产品A的寿命是有限的, 即新产品A有一个服从均值为5 （年）的寿命分布，新产品 A的报废会使市场上的剩余 销售量增加，所以，有理由认为新产品的销售速度不仅受销售量、剩余量的影

5、响，还受 到新产品A的寿命的影响。、模型假设条件1、新产品 A 价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是 相对稳定，对研究不产生影响；2、市场对产品A的需求量是有限的；3、新产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比；4、类似产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比；5、新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量；6、在假定一和假定二下，不考虑新产品 A的使用寿命，即新产品A为耐用品；7、新产品A服从均值为5 （年）的指数分布；8新产品A的报废量与新产品A的销售量成正比；9、新产品A报废后，人们仍愿意进行购买；三、符号变量的说明M 新产品A的

6、需求量X。初始时刻的新产品A的数量x(t)时刻t已售出的新产品A的数量时刻t已售出的类似产品的数量zt时刻t报废的的新产品A的数量四、模型建立与求解假定一：新产品A的需求量有一个上界M，用x(t)表示时刻t已售出的新产品A的数量，则尚未购置的人数大约为与销售量x(t)和剩余需M - x(t)。另外，新产品A的销售速度色dt求量M-x(t)的积成正比，比例系数为k。即可得假定一下的Logistic销售模型:dx审=kx(M x) x(0) x0对求解，进一步可得：x(t)( C为任意常数)1 Ce代入初值x(0) x0，得：x(t)Mx0x。 (M x°)ekMt取M 1，xo 0.0

7、1，k 1，以下为MATLA程序代码及x(t)的大致图像: x0=0.01;t=0:10;x=x0./(x0+(1-x0)*exp(-t);plot(t,x)假定二:用y(t)表示时刻t已售出的类似产品的数量，新产品A的需求量与类似产品的需求量之和有一个上界M，则尚未购置的人数大约为M - x(t)- y(t)。另外，类似产品的销售速度dy与销售量y(t)和剩余需求量M-x(t)-y(t)的积成正比，比例系数为p，由题意 dt知，t 0时刻,y(t)15%M .即可得假定二下的如下微分方程销售模型:化简后可得:dx dt dy dt x(0) y(0)kx(M xpy(M xXo15%My)y

8、)dx dt dy dt x(0) y(0)xkM (1-Mx yPM(1 )yMXo15%My)x上述微分方程组为二阶非线性微分方程组，令kM(1 - y)x 0，且MpM (1 - y)y 0 ,得微分方程组的驻定解为：(0,0)、(0,M)、(M,0)、(xi, yi)且Mxi yi M。取M 1，p 1，k 1，以下为MATLAB?序求解的代码及得到的大致图像:t=0:0.01;X,Y=dsolve('Dx=x*(1-x-y),Dy=y*(1-x-y)','x(0)=0.01','y(0)=0.15')subplot(1,2,1)subp

9、lot(1,2,2)运算结果：X =1/(84*exp(-t)+16)Y =(-84/(84*exp(-t)+16F2*exp(-t)+1/(84*exp(-t)+16)-1/(84*exp(-t)+16F2)*(84*e xp(-t)+16)假定三:用z(t)表示时刻t报废的新产品A的数量，新产品A的需求量有一个上界M，则尚未购置的人数大约为M-x(t)-z(t).另外，新产品A的报废量与新产品A的已销售量成 正比，比例系数为K , z(t) Kx .由假设，新产品A服从均值为5 (年)的指数分布，故1设使用寿命函数为f (t) e t，由于E(t) 5，由此可求得0.2，则f(t) 0.2

10、e 0.2t，即单位时间内报废的新产品 A的数量为1 e02t，即K 1 e02t。考虑此时新产品A的销售速度 空仍旧与销售量x(t)和剩余需求量 dt可得假定三下的如下微分方程销售模型：M - x(t)- z(t)的积成正比，比例系数为q，化简后可得:dx dt x(0)qx(M xKx)xoqMx q(K1)x2令w1dwx，算得： dt2 dx x dt，代入，得到：dwdtqMw将K.02 山、dw1 e 代入dtqMwdwq(1 K)得：dtqMwqexoq(1 K)0.2t，这是一阶线性微dx dt x(0)分方程，运用常数变易法，求得它的通解为：wCe qMt q e0.2t，即

11、的通解为:qM 0.2qM 0.2x C(qM 0.2)e qMt qe 02t(C为任意常数)代入初值 x(0) x0，得: x 创 0.2)T 齐 qe取M 1，x。0.1，q 1，以下为MATLABS序代码及x(t)的大致图像:x0=0.1;t=0:10;q=1；x=0.8./(0.8*x0-1)*exp(-t)+exp(-0.2*t);plot(t,x)五、模型检验及分析假定一：2对式求一阶、二阶导数，显然，x(t)是单调递增的；而当x M时，二0,从2 dt而，可求出t。，使x(t。)M。由此我们可做如下分析：2当t t0时，x (t) >0，因此，x (t)单调上升；当t t

12、0时，x (t) V0，因此，x (t)单调下降；因此,x(t)在 tt0时达到最大值。这表明，销售量小于最大销售量的一半时,销售速度是不断增大的, 度开始下降。半时，产品最为畅销，其后销售速取M 1，X0 0.01，k 1，以下为MATLA程序代码及x (t)的大致图像:xO=O.O1;t=0:10;x=(xO*(1-xO)*exp(-t)./(xO+(1-xO)*exp(-t)42);plot(t,x)x(t)企业(甲)想在杭州市场上推销新产品 A,那么，初期应采取小批量生产并加以广 告宣传；销售量处于最大需求量的 2O%- 8O%时，是该产品正式大批量生产的较适合时 期；当销售量超过最大

13、需求量的 8O%应考虑适时转产。假定二:式的近似线性方程组为:dxdtdydtkMxpMy方程组有两个实的特征根：i kM, 2 pM，考虑到问题的实际背景，dO,2>O。因1 2 0，故驻定解(0,0)对于方程组和是不稳定的。进一步讨论可得驻定 解(0,M )、(M ,0)对于方程组和也是不稳定的。由于所有的驻定解均为不稳定的，即初值的微小误差会导致巨大损失。因此，这样 的特解不宜作为设计的依据。所以，在此不给出企业(甲)在杭州市场上推销新产品的营销生产策略假定三:令A 一qM，可知：sup x（t） A，常数A代表了在包含了新产品A会报q q（1 e . ）t 0,）废的因素下的市场

14、需求量,A是K 1 e 02t的函数取 M=1 ，X。 °1， q 1用 MATLAB程序代码如下：qMxo(qM0.2)2 q2M(qM 0.2)e qMt 0.2q(qM 0.2)e0.2t(qM 0.2)X0 qeqMt qe0.2t 2x0=0.1;t=0:10;q=1；x=(0.64*x0+0.8)*exp(-t)+0.16*exp(-0.2*t)./(0.8*x0-1)*exp(-t)+exp(-0.2*t).A2)；同假定一，企业（甲）想在杭州市场上推销新产品 A,初期也应采取小批量生产并 加以广告宣传；销售量处于最大需求量的 20%- 80%时，是该产品正式大批量生产的较 适合时期；当销售量超过最大需求量的 80%应考虑适时转产。六、模型评价通过Logistic销售模型，根据假定二和假定三的分析，得到了微分方程