行列式的计算技巧窍门与方法情况总结修改版

1、-!行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2. 行列式计算的几种常见技巧和方法2.1定义法22利用行列式的性质2.3降阶法2.4升阶法（加边法）2.5数学归纳法2.6递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2构造法3.3特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用5.1降阶法和递推法5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3构造法和套用范德蒙德行列式-!1.2行列式的性质性质1行列互换，行列

2、式不变.即a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2an1an2anna1na2nann性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式即aiia12a1na11a12a1 nkaMkai2kakaMai2a inan1an2annan1an2ann性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的 和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列） 一样即31a12Ka1na11a12Ka1na11a12Ka1nMMMMM M M MM M M Mb| c1 b2 c2 K bn cnbb2K

3、bnGC2KCnMMMMM M M MM M M Man1an2Kannan1an2Kannan1an2Kann性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零即a11a12a1na11a12a1nai13i2Sinai13i2Sinkkai1kai2kainai1ai2aina n1an2a nnan1an2a nn性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即=0.-!a11a12a1 na11a12a1 nai1cak1ai 2ca k2aincaknai1ai2ainak1ak2aknak1ak2akna n1an2a nna n1an2a nn性质6对换行列式中两行

4、的位置，行列式反号即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainak1ak2aknak1ak2akn=ai1ai2ainan1an2annan1an2a nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零即anai2ai,n-iain00000.an1an2an,n-1ann2、行列式的几种常见计算技巧和方法但当阶数较多、数字较大时,计算量大，有一定的局限性.2.1定义法适用于任何类型行列式的计算,0001例1计算行列式002003004000解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少具体的说，展开式中的项的一般形式是a

5、1jla2j2a3j3a4j4 显然，如果ji 4，那么ani0 ,从而这个项就等于零因此只须考虑ji 4的项，同理只须考虑j23, j32, j41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4i，而43216，所以此项取正号故000i0 0 2 003004 0 0 0432iai4a23a32 a4i24.2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式.2.2.i化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:aiiai2ai3ain0a22a23a2n00a33a3naiia22ann，000anniaia2aii

6、000a2ia2200a3ia32a330aiia22annanian2an3annan例2计算行列式Dniiaibia2iaia2ananbn解析：观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的 i倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的i倍分别加到第2,3 （ n i）行上去，可得iaia2Kan0bi000EdK bnMMMOM000Kbni2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法.1X2Xn

7、1X2Xnn1x2mXnn0m0XimXim1i 11X2Xnm00mXi m X2i 1Xnmnn 1mXimx1mX2Xn例3计算行列式Dn解:DnXinXi m X2i 1nXi mX2mi 1nx2mXnXnXnXnmi 12.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.计算行列式Dn1 232 12321n n 1 n 2n 1nn 2 n 1n 3 n 2 n 2 .21解：从最后一行开始每行减去上一行，有123n 1n123n 1n1111120002Dn11111220021111111111-!行列式的

8、方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升1 n 1 2n 22.2.4逐行相加减对于有些行列式,虽然前尝试用逐行相加减的方法.n行的和全相同,但却为零.用连加法明显不行，这是我们可以例5计算行列式D解:将第一列加到第二列,a10a20a32.32na10a1a20a2a3新的第二列加到第三列，n 1 a1a2anan1an1以此类推，得:an1n1 a&an.降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6解行列式D n解：按最后一行展开，得n 1Dn a1xanan 2a2n 2a2xan1X232按拉普拉斯公式展开拉普拉

9、斯定理如下：设在行列式D中任意选定了 k 1 k n-1个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即D M 1A 1 M 2A 2MnAn，其中Ai是子式M i对应的代数余子式.AnnCnnBnnAnn ? Bnn，Ann0CnnBnnAnn ? Bnn .例7解行列式D n解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得a a ab0 00 0 0 0n 1 a a ab n 20 0 0n 1 an 1 ab?n 202.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算阶之后，就可以利用行

10、列式的性质把绝大多数元素化为 其中，添加行与列的方式一般有五种： 般行列的位置.0，首行首列，首行末列,这样就达到简化计算的效果.末行首列，末行末列以及一例8解行列式D=解：使行列式D变成1阶行列式，即1再将第一行的倍加到其他各行，得:D=从第二列开始，每列乘以加到第一列,得:(n 1)01n12.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法-!去证明对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.COS2 cos例9计算行列式Dn2 cos解：用数学归纳法证明1时,D1 cos2时,D2cos猜想,Dncosn由上可知，当2cos2时,2 co

11、s2 cos假设当n k时，结论成立即:cosk 1时,2cos21结论成立.Dk2 coscos2cosk .现证当1时,结论也成立.2 cos2cos2 cos将Dk1按最后一行展开，得cosk 1 k 11 ?2coscos2cos2cos2cos2cos2cos2cos Dk Dk 1.因为Dk cosk , Dk 1 cos k 1cos kcosk cos sin k sin所以D k i 2 cos D k D k i2 cos coskcosk cossin k sincosk cos sin k sin cos k 1这就证明了当n k1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切

12、的自然数，结论都成立.即：Dn cosn2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aDn bDn 1 cDn 20.则作特征方程ax2 bx c 0.若0,则特征方程有两个不等根，则DnAx； 1 Bx； 1若0,则特征方程有重根X2，则Dn AnB x； 1在中，A , B均为待定系数，可令n1,n2求出.950000 0495000 0例10计算行列式Dn049500 0000049 5000004 9解：按第列展开，得Dn9Dn 120Dn 2即Dn 9Dn i 20Dn 20.作特征方程2x 9x 200.解得x14, x25.则Dn A?4n1 B?5n1.当 n 1 时,9 A

13、 B ;当 n 2 时,61 4A 5B.解得A 16, B 25 ,所以Dn 5n 14n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可 直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变， 使其化为两项和.3.1.2例题解析1a1a200011 a2a300例11计算行列式Dn011a3000001 an 1an00011 a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得

14、-!1i 1j 1a1a2a2a3Dn1 an 1anana2a21a3a3an 11ana10a2a21a3a3ananan上面第一个行列式的值为1,所以Dn 1 a11 a21a3a3an11 a1D n 1.这个式子在对于任何 n都成立,因此有Dn 1aQna11a2Dn 21a1i i1 aj .anan1a1a2an-!3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原 行列式的值.322例题解析解：虽然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造 n1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的111X1X2Xn222例12 求行列式

15、DnX1X2Xnn 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXf Xn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX将f x按第n 1列展开，得f XA,n 1 A；n 1其中，x的系数为An,n 1又根据范德蒙德行列式的结果知f X X X-!n 1XAn,n 1Xn 1Ann1,n 1X ,nn 11DnDn .X X2X XnXiXj .1 j i n由上式可求得xn 1的系数为Xj故有Dn Xi X2XnX Xj故称为4.1.2计算方法3.3特征值法3.3

16、.1概念及计算方法设1,2, n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式.3.3.2例题解析例13若1,2，n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零.证明：因为A1 2n，则A可逆A012n0i0 i1,2nA 1 2n即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4.1三角形行列式4.1.1 概念a11 a12a13a1 na11a22a23a2na21a22a33a3n5a31a32a33annan1an2an3ann形如这样的行列式，形状像个三角形,行列式.“三角形”由行列式的定

17、义可知,a。b1b2bnbnb2b1a。CnanC1a1a1C1C2a25a2C2C2a2CaCnananCna°b1b2bn概念形如Cn4.2a11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a 33a3n&11&22ann ,a31a32a330000annan1an2an3ann字型行列式“爪”an a22ann4.2.1anbn4.2.2a2b2a1b1计算方法C2Cia。这样的行列式,形状像个"爪”字，故称它们为“爪”字型行列式.利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式此方法可归纳为：“

18、爪”字对角消竖横.4.2.3例题解析例14计算行列式a11a2a3，其中 ai 0,i1,2, n.i(i 2,3,n.)列元素乘以an分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式. aia1111n 1a11111a2i 2 ai0a21a30a31an0an解:n1a2a3aianai4.34.3.1“么”字型行列式概念称它们为4.3.2计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式此方法可以归 纳为：“么”字两撇相互消.an消去Cn，然后再用an 1消Cnanaothb2c5bnb2a2b1a1C2aoc

19、a1C2a2C2a2Ga1Cnaob1b2bnbnanancn形如anbnbnanaob1b2bnCnCnC1a1a2b2b2a2C2a2C2a1b1bia1C2C1aoaoC1CnananCnC1aoC2a1b1a2C25a2b2这样的行列式形状像个“么aC1Cnb1bnb2biaoanbn字型行列式.“么”字，因此常注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，禾U用 去Cn 1，依次类推.433例题解析1 b1例15计算n 1阶行列式Dn 1解:Dn4.4bn 1bn从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得441n1 bi 1nbii 1nbii 1bi1“两线”型行列式概

20、念bn 1bnbnb1形如a2b2这样的行列式叫做“两线型”行列式.bn 1对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.4.4.3例题解析a1b1000a2b20例16求行列式Dn000bnbn00anbn计算方法4.4.2an解：按第一列展开，得-!DnaD n ib D n 1aDn 2a2tb0D n 1ai00bn 1.A n 1bn100ana a?an1r1b1b2bn.4.5“三对角”型行列式4.5.1概念a bab0001abab00形如01ab ab00000000000列式.4.5.2计算方法b 00a2 b200 0bn 1000000这样的行列式，叫做“三对角型”行a ba

21、b1a b对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学abab001a bab0例17 求行列式Dn01a bab00000000解：按第一列展开，得ab0001ab ab0Dn a b Dn101a bab a b00000000归纳法证明.4.5.3例题解析变形，得0000000000a bab01a b000000ab Dn 1abab1a babDn 2-!由于 Di a b,D2 a2 ab b2,从而利用上述递推公式得DnaD nb Dn 1 aDn 22b Dn 2 aDn 3bn 2 D2 aD1 bn.DnaDnbn a aDnbn1 bna

22、n 1D1an 2b2abn 1 bn1babnbn.4.6 Van derm onde行列式4.6.1概念形如a12a1a22a2a32 a3an2an这样的行列式,成为n级的范德蒙德行列式.4.6.2n 1a1n 1a2n 1a3nan计算方法通过数学归纳法证明,可得a12务a22a2an2anai aj1 j i 14.6.3例题解析例18求行列式DnX12X1X22X2na2n 1a3n 1anXn2Xnn 2X1nX1n 2X2nX2n 2xnnXn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1阶的范德蒙德行列式来间接求出D n的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1111X1X2

23、XnX2222X1X2XnXf Xn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX将f X按第n 1列展开，得fx A,n 1A2,n 1XA,n,n1XAn 1,n1X其中，xn 1的系数为n n 1 An,n 11D nDn .又根据范德蒙德行列式的结果知f XXX-1X X2X XnXi1 j i nXj由上式可求得Xn 1的系数为X1X2XnX Xj故有Dn X1 X2XnX Xj5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简 便易行下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.210121例19计算行列式Dn0120000005.1降阶法和递推法0 00 00 02 11 2分析：乍一看该行列式，