§3瑕积分的性质与收敛判别

1、§ 3瑕积分的性质与收效判别 瑕积分的性质与收皴判别，与无穷积 分的性质与收皴判别相类似.瑕积分f(x)dx, 分几种情况:I Q为瑕点， 一个瑕点b为瑕点，' C为瑕点,a<c<b多个瑕点，皆可化为Q为瑕点的情形来讨论.因此本节将只对Q为瑕点的情形进行研究，所得结论适合所有的瑕积分.v ab/ bfx)dx - lim fx)dxJd+771b-a当兀=b时,y二-,f(a + l/y')dy当兀=a + 77时，y = 4/(a+i/y)y丄*b-a瑕积分与无穷积分之间的关系考虑瑕积分J f (x)dx,其中Q是瑕点.贝U L令5丄y=lim1/77r

2、 1/1=lim "Jb-aI f (« + 1/j)二所以，瑕积分可以经过适当的变量替换化为 无穷积分.反之亦然.枣妙豐妙f bb_由瑕积分定义订fx）dx = lim f f（x）dx（a为瑕点）J。ua+Ju于是我们可以把函数极限的性质;I转化为瑕积分的性质|由函数极限的柯西收敛准则：li巴f （兀）存在,寸有有穷极限|兀-»q+O/g>0,m<5>0, x' < x a < 6,0 < x" a < S,有：|/（兀'）-/（兀"）|<&应用于瑕积分定义，有:定理1

3、17 （瑕积分收敛的柯西准则） 瑕积分f于（工）血（瑕点为收敛的充要条件是 任给£>0,存在5>0,当Mi"丘（a，a+5）时，rbjbf /（x）dx-f f（x）dxJ "1J u2/(x)dx < 8.证 设F(u)=(兀)dx, u w(a,方)，则 f/(x)dx JuJa收敛的充要条件是limF(w)存在由函数收敛的ua+柯西准则，此等价于Vf>0,3>0,即 /(X)dx - p /(x)dxJ“1Ju2/(x)dx <£.V uu2 e (a，a + 5), |F(M1)-F(w2)|< 1=Ic

4、推论1设也>0,函数几兀)在Q+£,b上可积，r Au> f(x)dx <ooJ a且Z? > A > Q,设Q为瑕点,则fbf(x)dx <oo证明：(法1)>0,由定积分的区间可加性，有:L bfbAi fx)dx - I f(x)dx+1 fx)dx (*) Jq+fJ AJd+g于是 J fx)dx < go o lim f fx)dx在Ja A»0+Jd+£<00 /u> lim f /(兀)兀存在 O r f(x)dxgT0+ Ja+&J arb00(法2,由柯西收敛准则)J f(x)

5、dx<f(x)dx <s.o/g>0刁5 > 0, VA Aff e(a,a + S 有:r Aof(x)dx <oo. /J a推论2:设o为瑕点，则f bp ufx)dx v oo，u> lim fx)dx = 0Joh+Jg证明：由柯西收敛准则，rbf(x)dx <ooaoX/g >> 0,VA A,f e (a,a + S).A"有：L fdx<£.亠 r"上式中，令A'tq+，有:I fx)dxJ a推论3:设。为瑕点，则< 00J |/(x)|(ix < go =>

6、J f(x)dx证明：由柯西收敛准则，j"|/(x)|<00r A"o W > 0二5 > 0,VA；A" e (心 + 厂有：打 |/(%)/“A"r:.£ f(x)dx < f(x)dx再由柯西收敛准则知，f f(x)dx<J a定义：若VS > 0,函数/(兀)在a + S,b上可积， 且瑕积分 J|/(x)|tZx<oo,则称f (兀)d兀绝对收敛.娶妙尊妙季妙00 /b由定理11. 7的推论3,矢口：设°为瑕点，则f /(兀皿绝对收敛=>/(兀皿收敛而描命题不真，这一点将洛后面

7、的例题中说明.定义：若J f(x)dx<s,而j* |/(x)|Jx = qo, 则称瑕积分f f (x)dx条件收敛 b< 00 =>/绝对收敛arbfx)dx <oo(Q为瑕点)J aebfx)dx - ooJ a由嘏叙今的更丈，虑积今的 欖质也可M移植到嘏积今，性质1设函数齐与7*2的瑕点同为Xa,kvk2 为任意常数，若J：/id)dx和f厶(兀)血都收敛，则 J：(兀)+k2f2(x)dx 也收敛，且rb£ (fc1/1(x)+fe2/2(x)dxbb二氐 J £(兀)血+ &J /2(x)dx.性质2设函数/的瑕点兀=,若cw(a

8、#),贝U /*(兀)dx与/(兀)dr同时收敛或同时发散，且JaJab f(x)dx 二 f /(x)dx+ f/(x)dxJ aJ aJc性质3设函数/的瑕点为x=aj在0的任一 闭区间u,b (u >a)上可积,则j|/(x)|dx收敛时， J：/(x)dx 也收敛，且 J：/(x)dx < £|/(x)|dx定理118 （非负函数瑕积分的判别法）若定义在（"上的非负胆数/（兀）,在任意闭区间 u,b （u >4）上可积,贝叮：/（兀）血收敛的充要条件 是:存在M,对任意ue（a9b, f"/（x）dx <M Ju证明:T函数尸（兀）

9、=/刃在（°,切上单调/,J X由于F（x）在（a,b上有界x/<QO/. lim F（x）二 lim /刃存在， 即J fx）dx由定理118,对于非负函数的瑕积分有以下 比较收敛原理.定理119 （比较法则）设定义在（a, b上的两个非负函数/与g,瑕点同为兀=0,在任何U,方U（Q,刃上都可积，且满足/（x）g（x）,xe（a,H贝lj当g（兀）dx收敛时,兀）dx必定收敛；JaJa/（兀）血发散时,g（兀）血必定发散.JaJa证明：（1）设Q <%<人0 < /(%) < g(x)及J g(x)dx <s,得fb,bfbfx)dx <

10、 gx)dx < gx)dxJuJuJ a即 F(w) = f f(x)dx 在(a.b 上有界Jufx)dx <go/(比较审敛法的极限形式)推论1若非负函数/和g在任何以5<方) 上可积，且lim = c,则f gx)(i)0 <C < +oc 时，f 6/(x)dx与g(兀)dx收敛性相同;J aJ a(ii) c二0时，pg(x)dx收敛可推得C f(x)dx收敛;J aJ a(iii) c = +oo时,g(x)dx发散可推得/(兀)dx发散.J aJ a证明：当0<c<+8时，=<c + s gM.$> 0,日77 >0,

11、Vxe (q,q + /7),有:c-s < 了取&二匕，贝归 >0, X/xw(q,q + “0),c3c由比较审敛法，知：d+77o00gx)dx < 00 <=> fx)dx <J ciJ aH卩 f g(x)dx v 00 o f fx)dx <J aJ a当c = 0时，lim 42 = °3+8 g(X) ， 取& - 1,贝归 q > 0, Vxe4-7J,有：一1 < 了(兀)v /(Qvg)由比较审敛法，知：gx)dx < 00 => fx)dx <J aJ a00即j* g(x

12、)dx(3)是的逆否命题ab< 00 => I fx)dx < 00J a(柯西审敛法)推论2设非负函数/定义在(a,b上a为瑕点，且 在任何u.b u (a.b上可积.则有(i)当 /(x)< -一- ,0 < 卩 < 1 时,/(x)dx 收敛;(x-a)pJa(H)当/(兀)> 7丄p, P之1时J7(x)dx发散.(x-a)pJa（柯西审敛法的极限形式）推论3设非负函数/定义于,方皿为瑕点，且在任何u9b u (a9b上可积若 lim(x-a)p f(x) = 2,则 xa+(i) 当 Ovp<l,O" <+oo 时，f/

13、(x)dx 收敛；Ja(ii) 当卩11,0<兄5炖时，/(x)dx发散.Ja利用 x sinx tanx arcsin x arctan x ln(l + x) - ex -1 (x -> 0),可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.例1判别瑕积分（2广或些.-舐的收敛性. 解瑕点为兀=1,sinxsinx_i lnx (x -1)1/3 (x2 +x + l)1/3 ln(l + x -1)出工sinxsinlz 八工由于歹匚不!严_亍°(21)，而(x-1) 1/3ln(l + X-1)(x-l)1/3(x-l)(x-l)4/3 '发散知发散因此由希例2判别瑕

14、积分罟dx的收敛性.解兀=0是瑕点, ln兀0(兀w(0,l)由于lim 兀 3/4xt0+ I因此由推论3知=-lim x14 lnx = 0,xt0+收敛,即£僭血收敛.+s Xa* l例3讨论反常积分(a) =dxJo 1 + X 的收敛性.解把反常积分写成i x Joa-1+s xax-dx1 1 + x(i)先讨论1(a).当a -1 n 0,即a ' 1时它是定积分;当Q < 1时它是瑕积分，瑕点为兀=0由于!*"1lim 兀1,XT0+ 1 + X因此由定理119的推论3,当0<p = l即a > 0时,瑕积分1(a)收敛;当p =

15、1 -a n 1,即a 5 0时J(a)发散.(ii)再讨论丿(a),它是无穷积分由于lim xXT+oO2。兰=lim= 1，1 + X KT+S 1 + X因此由定理113的推论3,当p = 2-a>l,即a <1 且；I = 1时J(a)收敛;而当p = 2-a 51，即a 且 2二1时丿(a)发散综上所述，总结如下：aa<00 <a < 1a>l1(a)发散收敛定积分J (a)收敛收敛发散(a)发散收敛发散所以,0(a)只有当0<a<l时才是收敛的.Exl判别广义积分f半的收敛性.Ji lnx解被积函数在点x = 1的右邻域内无界.(1为

16、瑕点) 由洛必达法则知lim (x -1)- = lim $ = 1 > 0，X->14-0llJX XT1+0 1X根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散.rin-Ex2判别广义积分占必的收敛性.（0为瑕点）Q X解sinx7 X哙耐会收敛,sinx从而根据比较审敛原理，fJ（ 1sin評兀也收敛.Ex3判别下列瑕积分的收敛性.* 1 1 罕dx, (2) 0 J XJ解(0为瑕点)/ lim(x-0)3/4x->0+(1)dxlnxy/x=一 lim xto+ x根据柯西审敛法极限形式,( =0,q < 1)必收敛，从而HllnxJoyx(法2)(用比较审敛法)1 lnx