大学理学(上册)第1章 质点运动学

1、第第1 1章章 质点运动学质点运动学1.1 1.1 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系 时空时空1.2 1.2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1.3 1.3 加速度为恒矢量时的质点运动加速度为恒矢量时的质点运动1.4 1.4 曲线运动曲线运动1.5 1.5 运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 1.1.1 质点质点 质点系质点系1.1 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系 时空时空2.2.质点系质点系 当物体不能被看作质点时，可把整个物体看成是由许多当物体不能被看作质点时，可把整个物体看成是由许多质点所组成的质点所组成的“质点系质点系”这样的模型，弄清这些

2、质点的运动，这样的模型，弄清这些质点的运动，就可以弄清楚整个物体的运动就可以弄清楚整个物体的运动. .所以，研究质点的运动是研所以，研究质点的运动是研究物体运动的基础究物体运动的基础. .1.1.质点质点 质点质点是具有一定的质量而没有大小和形状的物体是具有一定的质量而没有大小和形状的物体. .质点质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型. .目的是为了突目的是为了突出研究对象的主要性质出研究对象的主要性质, ,暂不考虑一些次要的因素暂不考虑一些次要的因素. .1.1.2 参考系参考系 坐标系坐标系1.1.参照物参照物 宇宙中的一切物体都在运动宇宙中的一

3、切物体都在运动, ,没有绝对静止的物没有绝对静止的物体体, ,这叫运动的绝对性这叫运动的绝对性. .参照物参照物: :用来描述物体运动而选作参用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系考的物体或物体系. .同一物体的运动同一物体的运动, ,由于我们选取的参照物由于我们选取的参照物不同，对它的运动的描述就不同不同，对它的运动的描述就不同, ,这称为运动描述的相对性这称为运动描述的相对性. .xy 2.2.坐标系坐标系 为从数量上定量确定物体相对于参考系的位置为从数量上定量确定物体相对于参考系的位置, ,须在参考系上固连某种坐标系须在参考系上固连某种坐标系, ,这样这样, ,物体在某时刻的位置物体在

4、某时刻的位置即可用一组坐标表示即可用一组坐标表示. .可见坐标系不仅在性质上具有参考系可见坐标系不仅在性质上具有参考系的作用的作用, ,而且还具有数学抽象作用而且还具有数学抽象作用. .最常用的坐标系有最常用的坐标系有: :直角直角坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等. .对物体运动对物体运动的描述决定于参考系而不是坐标系的描述决定于参考系而不是坐标系. .y yo ok kx xz zz zx xy ya a直角坐标系o ok k r rx xa a极坐标系切向切向o ox xy yz z法向法向o os sz z自然坐标系3.参考系参考系 参照物

5、参照物 + + 坐标系坐标系+ +时钟时钟(1)(1) 运动学中参考系可任选运动学中参考系可任选. .(2) 参参照物照物选定后选定后, ,坐标系可任选坐标系可任选. .2.2.空间空间 任何运动过程都是在一定的任何运动过程都是在一定的空间范围内展开的空间范围内展开的, ,即运动具有广延即运动具有广延性性. .物体在运动中不断变化所占据的这些位置的总体物体在运动中不断变化所占据的这些位置的总体, ,统称为统称为空间空间. .所以所以, ,空间是运动过程广延性或物体间相对位置和形状空间是运动过程广延性或物体间相对位置和形状的反映的反映. .1.1.时间时间 所谓所谓“时刻时刻”指时间流逝中指时间

6、流逝中的的“一瞬一瞬”, ,对应于时间轴上的一对应于时间轴上的一点点;“;“时间间隔时间间隔”指从某一初始时刻指从某一初始时刻到终止时刻所经历的时间到终止时刻所经历的时间, ,它对应于它对应于时间轴上的一区间时间轴上的一区间. .1.1.3 时空时空全世界第一座蒸汽钟全世界第一座蒸汽钟时间？时间？空间？空间？ 运动学的任务就是确定运动质点的空间位置与时间的关系运动学的任务就是确定运动质点的空间位置与时间的关系. . 1.2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1.1.位置矢量位置矢量 为了确定质点在空间的为了确定质点在空间的位置而引入的物理量位置而引入的物理量. .确定质点位置的确定质点位

7、置的方法为方法为: :1 1）选取参考系选取参考系; ;2 2）建立坐标系建立坐标系; ;oxyz3 3）确定单位矢量确定单位矢量; ;定义定义 设设t t时刻物体在位置时刻物体在位置p p点点, ,则从原点则从原点o o指向指向p p点的有向线段点的有向线段称为位置矢量称为位置矢量. .简称位矢简称位矢r. .1.2.1 位置矢量与运动方程位置矢量与运动方程xyoz),(zyxpxr参考物参考物yz222zyxrr rzryrx cos,cos,cos22r = xi + yj,r =+,yx = arctanyxixr 说明：说明：(1)(1)位置矢量既有大小位置矢量既有大小, ,又有方向

8、又有方向, ,故具有矢量性故具有矢量性.(2)选取不同的参考系或在同一参考系上建立不同的坐标系时选取不同的参考系或在同一参考系上建立不同的坐标系时, ,它的方向和数值一般是不同的它的方向和数值一般是不同的, ,故具有相对性故具有相对性. .(3)(3)在质点运动过程中位矢是随时间而改变的在质点运动过程中位矢是随时间而改变的, ,故还具有瞬时性故还具有瞬时性. .l运动方程：运动方程：质点在运动时质点在运动时, ,其位置矢量的大小和方向均随时间其位置矢量的大小和方向均随时间发生变化发生变化, ,对于任一时刻对于任一时刻t t, ,都有一个完全确定的位置矢量与之对都有一个完全确定的位置矢量与之对应

9、应, ,也就是说也就是说, ,位置矢量是时间位置矢量是时间t t的函数的函数, ,即即 )(trrktzjtyitxtr)()()()( )yy t2.2.运动方程运动方程 直角坐标系直角坐标系( )xx t)(tzz 0),(0),(21zxfyxf0),(zyxf2)2)分量式分量式1)1)矢量式矢量式1)1)运动方程也可用其他坐标表示运动方程也可用其他坐标表示, ,如选用如选用极坐标极坐标时，则有时，则有( )rr t选用选用自然坐标系自然坐标系时，则有时，则有( )ss t2)意义：意义：已知运动学方程已知运动学方程,可求质点运动轨迹可求质点运动轨迹,速度和加速度速度和加速度.1 1）

10、以圆心）以圆心o 为原点。建立直角坐标系为原点。建立直角坐标系oxy ，o 点为起始时刻，设点为起始时刻，设t 时刻质点时刻质点位于位于p（x , y），用直角坐标表示的质，用直角坐标表示的质点运动学方程为点运动学方程为cos,sinxrt yrtsrt位矢表示为位矢表示为自然坐标表示为自然坐标表示为解解:cossinrxiyjrtirtj求求1)1)用用直角坐标直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程位矢、自然坐标表示的质点运动学方程. .例例 一质点作匀速圆周运动一质点作匀速圆周运动, ,半径为半径为 r , ,角速度为角速度为 . .pt xyrs),(yxo oxy2)2)轨道方程

11、轨道方程2 2）轨道方程表示为）轨道方程表示为222ryx1.2.2 位移与路程位移与路程xyobbrarararbbrarxyobxaxabxx byayabyy barrr barrr1.1.位移位移 经过时间间隔经过时间间隔 后后, ,质点位置矢量发生变化质点位置矢量发生变化, ,由始由始点点a a指向终点指向终点b b 的有向线段的有向线段abab称为点称为点a a到到b b 的位移矢量的位移矢量 . .位位移矢量也简称移矢量也简称位移位移. .位移是描述质点位置矢量改变的物理量。位移是描述质点位置矢量改变的物理量。tr由矢量三角形得由矢量三角形得变形后位移定义为：变形后位移定义为：

12、222zyxr位移的大小为位移的大小为arbbrarxyobxaxabxx byayabyy jyixraaajyixrbbbjyyixxrabab)()(abrrr所以位移所以位移 若质点在三维空间中运动，若质点在三维空间中运动，则在直角坐标系则在直角坐标系 中其位中其位移为移为oxyzkzzjyyixxrababab)()()(又又2.2.路程路程 质点所经过的实际运动轨迹的长度为质点所经历的质点所经过的实际运动轨迹的长度为质点所经历的路程，记作路程，记作s s . . 222zyxrrr212121zyx222222zyxr位移的物理意义位移的物理意义 a) a) 确切反映物体在空间确切

13、反映物体在空间中中位置的变化位置的变化, , 与路径无关，只与路径无关，只决定于质点的始末位置决定于质点的始末位置. . b b）反映）反映了运动的矢量性和了运动的矢量性和叠加性叠加性. .s),(1111zyxp),(2222zyxp)(1tr1p)(2tr2pr注意注意位矢长度的变化位矢长度的变化xyozrkzj yi xr 位移位移表示某段时间内质点位置的变表示某段时间内质点位置的变化化, ,是个过程量是个过程量; ;位置矢量位置矢量表示某个时表示某个时刻质点的位置刻质点的位置, ,是个状态量是个状态量. .讨论讨论一般情况下一般情况下, ,位移与路程并不相等位移与路程并不相等: :只有

14、当质点作单方向的只有当质点作单方向的直线运动时直线运动时, ,路程与位移的大小才是相等的路程与位移的大小才是相等的; ;此外此外, ,在在 的极的极限情况下限情况下, ,路程路程 与位移的大小与位移的大小 相等相等. .位移是矢量位移是矢量, ,路程是路程是标量标量. .0t dsdrs)(1tr1p)(2tr2prxyozp1p2 两点间的路程两点间的路程 是不唯一的是不唯一的, ,可可以是以是 或或 ，而位移，而位移 是唯一的是唯一的. .sssr（1 1）位移与位置矢量）位移与位置矢量（2 2）位移与路程）位移与路程sr r rsarbrr r so区别下图各量区别下图各量：思思 考考

15、为了描述质点运动的快慢和运动方向的变化而引入的物理量为了描述质点运动的快慢和运动方向的变化而引入的物理量. . 在在 时间内时间内, , 质点从点质点从点a a运动到点运动到点b, b, 其位移为其位移为t)()(trttrr 时间内时间内, , 质点的质点的平均速度平均速度定义定义为质点的位移与相应时间的比值，即：为质点的位移与相应时间的比值，即：t1.1.平均速度平均速度定义：定义：xyijttrvtxyijvvv或或平均速度是矢量，其平均速度是矢量，其大小：大小：rvt方向：方向： 的方向的方向r注：注：平均速度不能反映物体运动各个时刻的真实情况，平均速度不能反映物体运动各个时刻的真实情

16、况，只是一种粗略的描述，为此我们引入瞬时速度只是一种粗略的描述，为此我们引入瞬时速度1.2.3 速度速度r)(ttrb)(traxyos2.2.瞬时速度瞬时速度定义定义0t drdtd rxyzdrdxdydzvijkv iv jv kdtdtdtdt222()()()xyzdrvvvvvdtarbrr rdbr0limtrdrvtdt 瞬时速度瞬时速度xyzdrdxdydzvijkv iv jv kdtdtdtdtrdrdrdsdrdsarbrrddr讨论讨论 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 端点处，其速度端点处，其速度大小为大小为),(yxrtrddtrdd（a）（b

17、）（b）（b）trdd22)dd()dd(tytx（c）（d）平均速率平均速率定义为在时间定义为在时间 内所经过的路程内所经过的路程 与时间与时间间隔间隔 的比值，即的比值，即tts3.3.速率速率 速率是标量速率是标量,只在数值上反映运动的快慢程度只在数值上反映运动的快慢程度.svt瞬时速率瞬时速率定义为当定义为当时，平均速率的极限值时，平均速率的极限值,即即为质点为质点t t时刻的瞬时速率时刻的瞬时速率v v, , 0t 00limlimttsdsvvtdt 讨论讨论(1)(1)平均速率与平均速度的大小平均速率与平均速度的大小(2)(2)瞬时速率与瞬时加速度的大小瞬时速率与瞬时加速度的大小

18、vv一质点在平面上作一般曲线运动一质点在平面上作一般曲线运动, ,其瞬时速度为其瞬时速度为,平均速度为平均速度为, ,它们之间的关系必定有：它们之间的关系必定有： vvvv,. vvvv,vvvv,vvvv,(a)(c)(b)(d)1.2.4 加速度加速度vatt1v2vt 1v,t+tt21vvv2v时间内增量为时间内增量为220limdtrddtvdtvat 0 ttv v1v2v注意注意22()daxiyjzkdt2222xyzdxdydzijkd td td ta iaja k222()()()xyzaaaaa讨论讨论vvdvdvv v 1v2v 吗？吗？ vv()( )ttt vvv

19、accbv( ) tv()ttvvoabc讨论讨论)()(tttvvvoaoc 在在ob上截取上截取有有cbv tnvv速度方向变化速度方向变化acnv速度大小变化速度大小变化cbtvoddaatv问问 吗？吗？ dv( ) tv(d )ttv讨论讨论( )(d )tttvv因为因为d0dtv所以所以0aa而而例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动所以所以taddv r tx t iy tj 125.1 1425.261436 smjijijtyitxtrv21( )2, ( )24x tty tt 12/122.80.15 .11 smvv 15 .1 smjivj tijdtdyidtdxdt

20、rdv21 i vivvdtdxxajdtdyvvyb 222lyx 060 v v022dtdyydtdxxjdtdxyxvb yxtgvdtdx ,dtdxyxdtdyjvtgvb 060 vvb73.1 v1.3 加速度为恒矢量时的质点运动加速度为恒矢量时的质点运动 dda tv1.3.1 加速度为恒矢量时质点的运动方程加速度为恒矢量时质点的运动方程已知一质点作平面运动已知一质点作平面运动, , 其加速其加速度度 为恒矢量为恒矢量, , 有有axyaa ia j00ddta tvvv积分可得积分可得0atvv0yyya tvv0 xxxa tvv写成分量式写成分量式000d()drtrr

21、attvddrtv积分可得积分可得00rxyo221tart0vtx0vty0v221tax221tay20012rrtatv写成分量式写成分量式20012xxxxta tv20021tatyyyyv1.3.2 一维运动一维运动00( )( )dtv tva tt0( )aa tatavtavtvt00000d)(0t0 xx txtvdd)(2000001( )( )d2tx txv ttxv ta t若对于匀加速运动若对于匀加速运动（即加速度恒定），有（即加速度恒定），有若再知道若再知道时刻质点的位置时刻质点的位置，又由于，又由于则可得则可得此即我们经常所提到的匀加速直线运动此即我们经常所

22、提到的匀加速直线运动. .1.3.3 曲线运动（斜抛运动）曲线运动（斜抛运动） 当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下落落. .试说明为什么子弹总可以射中椰子试说明为什么子弹总可以射中椰子 ? ?j garjvivv, 0sincos0000 gtvvvvyx sincos00 xyox0vy0v0vxvyvvxvyvv0d20021sincosgttvytvx 消去方程中的参数消去方程中的参数 得轨迹方程得轨迹方程t2220tan2cosyyxxvxyo0dd实际路径实际路径真空中路径真空中路径由于空气阻力，实际射由于空气阻力，实际射程小

23、于最大射程程小于最大射程. .r0gvgvgvr 2sincossin2coscossin220202200v04,02cos,00 ddrgvgvrm202002sin gvth sin0gvhgvggvvh2sinsin21sinsin220222000 0sin0 gtvvyht0yvhtt 021sin20 gttvygvt sin2020021sincosgttvytvx 2021gtytvx20210gttvyx20210gttvyx平抛运动平抛运动竖直上抛运动竖直上抛运动竖直下抛运动竖直下抛运动 1.4.1 自然坐标系下的速度和加速度自然坐标系下的速度和加速度1.4 曲线运动曲线

24、运动缆车在做曲线运动缆车在做曲线运动1.1.速度：速度：前面讲过质点运动的速度总是前面讲过质点运动的速度总是沿轨道切线方向，所以在自然坐标系中沿轨道切线方向，所以在自然坐标系中速度矢量可以表示为速度矢量可以表示为质点任何时刻的速度总沿轨迹的切线质点任何时刻的速度总沿轨迹的切线方向方向, ,所以所以 只有切向投影只有切向投影, ,不存在速不存在速度的发向投影度的发向投影. .vddttsvveet值得注意！值得注意！过山车在竖直面内做过山车在竖直面内做不同半径圆周运动不同半径圆周运动 2.2.加速度：加速度：随着质点的运动随着质点的运动,质点运动速度的大小和方向都会质点运动速度的大小和方向都会随

25、时间变化随时间变化.因此因此,按照加速度的定义式得按照加速度的定义式得:teteted d2()ttttnttn ntndedvddvaveevdtdtdtdtdvveea ea edtraa 由于：由于：tnaa所以：所以： 的的大小：大小：a22222()()tndvvaaadtr方向：方向：tantnaaornetev ddsonataa 20,tnvaar,0,ntdvraadt2 tndvaadtrv20,tnvaar2,tndvvaadty yo oz zy yz zx xo ox xy yz z讨论讨论一质点作半径为一质点作半径为r r的圆周运动的圆周运动,t,t时刻其半时刻其半

26、径与轴的夹角径与轴的夹角定义为定义为角坐标角坐标. .是的函是的函数数. .在在tt时间内时间内, ,其半径转过的角度其半径转过的角度定义定义为为角位移角位移. .时针方向为正时针方向为正, ,单位：单位：radrad. .1.4.2 圆周运动及其角量描述圆周运动及其角量描述1.1.角坐标、运动方程、角位移角坐标、运动方程、角位移定义：定义：角坐标的时间变化率角坐标的时间变化率. .即即dtd 单位：单位： rad/srad/s2.2.角速度角速度定义定义：角速度的时间变化率角速度的时间变化率.即即22dtddtd 单位单位：2/srad. .角加速度角加速度tt t 同一质点同一质点, ,既

27、可用角量、也可用线量描述既可用角量、也可用线量描述, ,则二者必有联系则二者必有联系. .22 rrvan4.4.角量与线量之间的关系角量与线量之间的关系 rdtdrdtdsv rdtdrdtdvat 对于作曲线运动的物体对于作曲线运动的物体, ,以下几种说法中哪一种是正确以下几种说法中哪一种是正确的的: :（a a）切向加速度必不为零）切向加速度必不为零; ; （b b）法向加速度必不为零（拐点处除外）法向加速度必不为零（拐点处除外）; ; （c c）由于速度沿切线方向）由于速度沿切线方向, ,法向分速度必为零法向分速度必为零, ,因此法向因此法向加速度必为零加速度必为零; ; （d d）若

28、物体作匀速率运动）若物体作匀速率运动, ,其总加速度必为零其总加速度必为零; ; （e e）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量为恒矢量, ,它一定作匀变速率运动它一定作匀变速率运动. .a讨讨 论论例例 一汽车在半径一汽车在半径r=200 m 的圆弧形公路上行驶的圆弧形公路上行驶, ,其运动其运动学方程为学方程为s =20t 0.2 t 2 (si) . .tts4 . 020ddv根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有rtran22)4 . 020(v22222(200.4 )0.4tntaaarm/s 6 .19(1) v2222m/

29、s 44. 1200) 14 . 020(4 . 0(1)a求求汽车在汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小时的速度和加速度大小. .解：解：0.4tadt dv1.5.1 伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式 物体的运动总是相对于某个参考物体的运动总是相对于某个参考系而言的系而言的. .由于所选的参考系不同由于所选的参考系不同, ,在在描述同一物体的运动时将给出不同的描述同一物体的运动时将给出不同的结果结果, ,这就是这就是运动描述的相对性运动描述的相对性. .描述描述质点运动的许多物理量如位矢、速度质点运动的许多物理量如位矢、速度和加速度，都具有这种相对性和加速度，都具有这种相对性. .

30、 在本节中在本节中, ,我们研究的问题是在我们研究的问题是在两两个不同参考系中考察同一物理事件个不同参考系中考察同一物理事件. .即：将从伽利略坐标变换即：将从伽利略坐标变换入手入手, ,分别介绍速度变换和加速度变换分别介绍速度变换和加速度变换. .1.5 运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换伽利略伽利略 两个相对运动的参考系两个相对运动的参考系k k、kk，其上固连的坐标系，其上固连的坐标系的坐标轴互相平行，其的坐标轴互相平行，其x x 轴重合，轴重合， k k相对于相对于k k 系沿系沿x x轴匀轴匀速直线运动，起始时刻两坐标系坐标原点重合，我们要找速直线运动，起

31、始时刻两坐标系坐标原点重合，我们要找出同一质点出同一质点p p在在k k系和系和k系内的坐标变换公式。设质点系内的坐标变换公式。设质点p p 在在k k 和和k系中的位矢分别为系中的位矢分别为 ，并以，并以r r代表代表k原点原点o对对k k系原点系原点o o的位矢。由图可见，的位矢。由图可见， rr和rrr上式称为伽利略坐标变化式上式称为伽利略坐标变化式。p系ko系系korrrxx1.5.2 速度变化速度变化上式两边求时间上式两边求时间t t的导数：的导数：伽利略伽利略(15641642)(15641642)提出相对性原理、惯性原理、抛体的提出相对性原理、惯性原理、抛体的运动定律、摆振动的等

32、时性等运动定律、摆振动的等时性等.伽利略捍卫哥白尼日心说伽利略捍卫哥白尼日心说.关于两门新科学的对话和数学证明关于两门新科学的对话和数学证明对话集对话集一书一书,总结了他的科学思想以总结了他的科学思想以及在物理学和天文学方面的研究成果及在物理学和天文学方面的研究成果.意大利物理学家意大利物理学家和天文学家和天文学家,实验实验物理学的先驱者物理学的先驱者. d rd rd rdtdtdtuuv相对相对速度速度绝对绝对速度速度牵连牵连速度速度 1.5.3 加速度变化加速度变化 倘若倘若k系相对于系相对于k k 系以加速度系以加速度a0 0 沿沿x x轴方向作匀加速直线轴方向作匀加速直线运动，并在运动，并在 则则k系相对于系相对于k k系的速度是系的速度是00tvv时，00vva t进一步对上式两边求时间进一步对上式两边求时间t t的导数：的导数：dudud