学生版第十三章轴对称能力培优

1、轴对称培优练习专题一轴对称图形1【 2014·广东】 下列图案是轴对称图形的是（）2 众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：_ （答案不唯一）3如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形专题二轴对称的性质4如图， ABC 和 ADE 关于直线l 对称，下列结论：ABC ADE ； l 垂直平分DB ； C= E； BC 与 DE 的延长线的交点一定落在直线l 上其中错误的有（）A0 个B1 个C2 个D3个5如图， A=90°，E 为 BC 上一点， A 点和 E

2、点关于 BD 对称， B 点、 C 点关于 DE 对称，求 ABC 和 C 的度数6如图， ABC 和 A B关C于直线m 对称（ 1）结合图形指出对称点（ 2）连接 A 、 A，直线 m 与线段 AA有什么关系？（3）延长线段 AC 与 AC，它们的交点与直线 m 有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7如图，在Rt ABC 中， ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于 BC 的延长线于F，若F=30°， DE=1 ，则 EF 的长是（）A3B2C3D18如图， 在 A

3、BC 中，BC=8 ，AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，AC 的垂直平分线交 BC 与 E，则 ADE 的周长等于 _9如图， AD BC ， BD=DC ，点 C 在 AE 的垂直平分线上，那么线段 AB 、 BD 、DE 之间有什么数量关系？并加以证明专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10已知点P（ 2， 3）关于A1B 1C 5y 轴的对称点为D 5Q（ a， b），则a+b 的值是（）11已知 P1 点关于 x 轴的对称点 P2（ 3 2a，2a 5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点） ，则 P1 点的坐标是 _ 【知识要点】1轴对称图形与轴

4、对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线是它的对称轴轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 (成轴 )对称，这条直线叫做对称轴2轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线3线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标的特点点 (x， y)关于 x 轴对称的点的坐标为点 (x， y)关于

5、 y 轴对称的点的坐标为【温馨提示】(x， y)；( x， y)；1轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系2在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同参考答案 :1 D解析：将故选 DD 图形上下或左右折叠，图形都能重合，D 图形是轴对称图形，2圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3如图所示：4 A解析：根据轴对称的定义可得，如果ABC 和 ADE 关于直线l 对称，则ABC ADE ，即正确；因为如果

6、两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等， 故 l 垂直平分 DB ，C= E，即，正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故 BC 与 DE 的延长线的交点一定落在直线l 上，即正确 综上所述，都是正确的，故选A 5解：根据题意A 点和 E 点关于 BD 对称，有 ABD= EBD ，即 ABC=2 ABD=2 EBD B 点、 C 点关于 DE 对称，有 DBE= BCD ， ABC=2 BCD 且已知 A=90°，故 ABC+ BCD=90° 故 ABC=60&#

7、176; ， C=30°6解：（ 1）对称点有A 和 A' ， B 和 B'， C 和 C'（2）连接 A 、 A，直线 m 是线段 AA的垂直平分线（3）延长线段 AC 与 AC，它们的交点在直线 m 上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线 m 上，即若两线段关于直线 m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上7B 解析： 在 Rt FDB 中， F 30°， B 60° 在 RtABC 中， ACB 90°， ABC 60°， A 30°在 Rt AED 中， A 30°

8、， DE 1， AE 2连接 EB. DE 是 AB 的垂直平分线， EB AE 2. EBD A 30° ABC 60°， EBC 30° F 30°， EF EB 2故选 BADEFCB88解析： DF 是 AB 的垂直平分线， DB=DA EG 是 AC 的垂直平分线， EC=EA BC=8 ， ADE 的周长 =DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=89解： AB+BD=DE 证明： AD BC ， BD=DC ， AB=AC 点 C 在 AE 的垂直平分线上， AC=CE AB=CE AB+BD=CE+DC=DE 10 C解析：关于y 轴对

9、称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，a=2，b=3 a+b=5解得 1.5 a 2.5，又因为 a 必须为整数，a=2点 P2 （ 1， 1）P1 点的坐标是（1， 1）三角形与轴对称专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1如图在 ABC 中， BF、 CF 是角平分线， DE BC ，分别交 AB 、 AC 于点 D、 E， DE 经过点 F结论： BDF 和 CEF 都是等腰三角形； DE=BD+CE ； ADE 的周长 =AB+AC ； BF=CF 其中正确的是 _ (填序号 )2如图，在 ABC 中，AB=AC ，点 D、E、F 分别在边AB 、BC、AC 上，且 BE=CF ，AD+

10、EC=AB （ 1）求证： DEF 是等腰三角形；（ 2）当 A=40°时，求 DEF 的度数；（ 3） DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（ 4）请你猜想：当 A 为多少度时， EDF+ EFD=120° ，并请说明理由3如图，已知 ABC 是等腰直角三角形， BAC=90°， BE 是 ABC 的平分线， DE BC，垂足为 D（ 1）请你写出图中所有的等腰三角形；（ 2）请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由（ 3）如果 BC=10 ，求 AB+AE 的长专题二等边三角形的性质和判定4如图，在等边ABC 中， AC=9 ，点接 OP，以 O 为圆

11、心， OP 长为半径画弧交长是 _O 在 AC 上，且 AO=3 ，点 P 是 AB 上一动点，连 BC 于点 D，连接 PD，如果 PO=PD ，那么 AP 的5如图在等边 ABC 中，ABC 与 ACB 的平分线相交于点O，且 OD AB ，OE AC （ 1）试判定 ODE 的形状，并说明你的理由；（ 2）线段 BD 、 DE 、 EC 三者有什么关系？写出你的判断过程6如图， ABC 中， AB=BC=AC=12cm，现有两点M 、N 分别从点 A 、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为 1 cm/s ，点 N 的速度为2 cm/s当点 N 第一次到达B 点时， M

12、、 N 同时停止运动（1）点 M 、N 运动几秒后， M 、 N 两点重合？（2）点 M 、N 运动几秒后，可得到等边三角形（3）当点 M 、N 在 BC 边上运动时，能否得到以请求出此时M 、 N 运动的时间AMN ？MN 为底边的等腰三角形AMN？如存在，专题三最短路径问题7如图， A 、 B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a 表示输水总管道，直线b 表示输煤气总管道 现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A 、B 两幢大楼， 要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中，点 A是点 A 关于直线b 的对称点， AB分别交 b、 a 于点 C

13、、 D ；点 B是点 B 关于直线 a 的对称点，BA分别交 b、a 于点 E、F则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）AF 和CBF 和ECD和 CD D和E8如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A 、 B 两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)【知识要点】1等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一” )2等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等

14、角对等边”)3等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形4直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半【温馨提示】1“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立2在应用直角三角形的性质时应注意以下两点： (1) 必须是在直角三角形中； (2)必须有一个锐角等于 30°【方法技巧】1等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证

15、明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角” 2等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边” 3利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边参考答案 :1解析： DE BC， DFB= FBC ， EFC= FCB BF 是 ABC 的平分线， CF 是 ACB的平分线， FBC=DBF ， FCE=FCB DBF= DFB ， EFC=ECF ， DFB ， FEC 都是 等腰三 角形 DF=DB ， FE=EC ，即 有DE=DF+FE=DB+EC

16、 ADE 的周长 =AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC 综上所述，命题正确2解： (1) 证明： AD+EC=AB ， BD=CE AB=AC ， B= C BE=CF ， BDE CEF DE=EF ，即 DEF 是等腰三角形11(2) A=40 °， B= C=(180° A)=(180° 40° )=70 °22 BDE CEF， BDE= CEF DEF=180 ° BED CEF=180 ° BED BDE= B=70 °(3) 不能 DEF= B 90°， DEF 不可能是等

17、腰直角三角形(4)60°理由：当A=60 °时， B= C=60 °，由（ 2）可得 DEF=60 ° EDF+ EFD=120°3解：（ 1） ABC ， ABD ， ADE ， EDC（ 2） AD 与 BE 垂直证明： BE 为 ABC 的平分线， ABE= DBE.又 BAE= BDE=90°， BE=BE ， ABE 沿 BE 折叠，一定与DBE 重合 A 、 D 是对称点 AD BE （ 3） BE 是 ABC 的平分线， DE BC ，EA AB ， AE=DE 在 Rt ABE 和 RtDBE 中，AE = DE，BE

18、 = BE， Rt ABE RtDBE （ HL ） AB=BD 又 ABC 是等腰直角三角形，BAC=90°， C=45°又 EDBC， DCE 为等腰直角三角形 DE=DC 即 AB+AE=BD+DC=BC=10 4 6 解析：连接 OD ， PO=PD ， OP=DP=OD DPO=60° ABC 是等边三角形， A= B=60°，AC=AB=9 OPA= PDB=DPA60° OPA PDB AO=3 ， AO=PB=3 ， AP=65解：（ 1） ODE 是等边三角形，其理由是：ABC 是等边三角形， ABC= ACB=60° OD AB ， OEAC ， ODE= ABC=60° ， OED= ACB=60° ODE 是等边三角形（ 2） BD=DE=EC 其理由是： OB 平分 ABC ，且 ABC=60° ， ABO= OBD=30° ODAB ， BOD= ABO=30° DBO= DOB DB=DO 同理， EC=EO DE=OD=OE ，BD=DE=EC 6解：（ 1）设点 M 、N 运动 x 秒后， M 、 N 两点重合，x×1+