高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法课件 理 苏教版

1、数学数学 苏苏 （理）（理）13.3数学归纳法第十三章 推理与证明、算法、复数 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型分类题型分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 练出高分练出高分数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 (n0n*)时结论成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时结论成立，证明当 时结论也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第一个值n0nk1u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.( )(

2、2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( )(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.( )(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.( )题号答案解析1234 1aa2解析例1求证：(n1)(n2)(n n ) 2n 1 3 5 ( 2 n 1)(nn*).题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华n从k变到k1，左边增乘了2(2k1).例1求

3、证：(n1)(n2)(n n ) 2n 1 3 5 ( 2 n 1)(nn*).题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华证明当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；假设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，例1求证：(n1)(n2)(n n ) 2n 1 3 5 ( 2 n 1)(nn*).题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式那么当nk1时，思维点拨解析思维升华左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，例1求证：(

4、n1)(n2)(n n ) 2n 1 3 5 ( 2 n 1)(nn*).题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华这就是说当nk1时等式也成立.由 可 知 ， 对 所 有nn*等式成立.例1求证：(n1)(n2)(n n ) 2n 1 3 5 ( 2 n 1)(nn*).题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.例1求证：(n1)(n2)(n

5、 n ) 2n 1 3 5 ( 2 n 1)(nn*).题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式思维点拨解析思维升华跟踪训练1左边右边，等式成立.假设nk时，等式成立.左边右边，等式成立.即对所有nn*，原式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式题型二用数学归纳法证明不等式解析思维点拨利用题中条件分别确定a的范围进而求a；题型二用数学归纳法证明不等式题型二用数学归纳法证明不等式解析思维点拨所以a21.题型二用数学归纳法证明不等式题型二用数学归纳法证明不等式解析思维点拨题型二用数学归纳法证明不等式题型二用数学归纳法证明不等式解得a1.又因为a21，所以a1.解析思维点拨思维点拨解析思维

6、升华利用数学归纳法证明.思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华故n2时，原不等式也成立.思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华所以当nk1时，原不等式也成立.思维点拨解析思维升华(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.思维点拨解析思维升华(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.思维点拨解析思维升华跟踪训练2(2014陕西)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g

7、(x)，gn1(x)g(gn(x)，nn*，求gn(x)的表达式；解由题设得，g(x) (x0).下面用数学归纳法证明.当n1时，g1(x) ，结论成立.假设nk时结论成立，由可知，结论对nn*成立.(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；解已知f(x)ag(x)恒成立，当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增.又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1时，ln(1x) 恒成立(仅当x0时等号成立).当a1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x) ，x0.下面用数学归纳法证明.当n1时， 0，nn

8、*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；题型三归纳题型三归纳猜想猜想证明证明思维点拨解析思维升华通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；题型三归纳题型三归纳猜想猜想证明证明思维点拨解析思维升华解当n1时，a1 1(a10).例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；题型三归纳题型三归纳猜想猜想证明证明思维点拨解析思维升华例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且a

9、n0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；题型三归纳题型三归纳猜想猜想证明证明思维点拨解析思维升华利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；题型三归纳题型三归纳猜想猜想证明证明思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(2)证明通项公式的正确性.通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项

10、公式，然后用数学归纳法证明.例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kn*)时，通项公式成立，例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华即当nk1时，通项公式也成立.例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华“

11、归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.例3已知数列an的前n项和sn满足：sn 1，且an0，nn*.(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华跟踪训练3在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nn*，0).(1)求a2，a3，a4；解a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)猜想an 的通项公式，并加以证明.解由(1)可猜想数列通项公式为an(n1)n2n.下面用数学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kn*)时等式成立，即ak(k1)k

12、2k，那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，an(n1)n2n，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nn*，0).典例：(14分)数列an满足sn2nan(nn*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；答题模板系列答题模板系列9 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒由s1a1算出a1；由ansnsn1算出a2，a3，a4观察所得数值的特征猜出通项公式.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒解当n1时，a1s12a1，a11.4分

13、 6分 规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规 范 解 答思 维 点 拨答 题 模 板温 馨 提 醒用数学归纳法证明.规 范 解

14、 答思 维 点 拨答 题 模 板温 馨 提 醒证明当n1时，a11，结论成立.7分 8分 那么nk1时，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.规 范 解 答思 维 点 拨答 题 模 板温 馨 提 醒12分 14分 这表明nk1时，结论成立.规 范 解 答思 维 点 拨答 题 模 板温 馨 提 醒归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的 通项或一般结论.第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n*)成立.第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结论 也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nn*成立.规

15、 范 解 答思 维 点 拨答 题 模 板温 馨 提 醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.规 范 解 答思 维 点 拨答 题 模 板温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有

16、二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.方 法 与 技 巧3.利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失 误 与 防 范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.1.用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是_.解析n1时，212,2113,2n2n1不成立；2345

17、6789101n2时，224,2215,2n2n1不成立；3n3时，238,2317,2n2n1成立.n的第一个取值应是3.345678910122.如果命题p(n)对nk(kn*)成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是_.p(n)对所有正整数n都成立；p(n)对所有正偶数n都成立；p(n)对所有正奇数n都成立；p(n)对所有自然数n都成立.解析n2时，nk，nk2成立，n为2,4,6，所有正偶数.2456789101324567891013解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.当nk1时，不等式成立，则上述证法_.过程全部正确；n1验得不正确；归

18、纳假设不正确；从nk到nk1的推理不正确.235678910141aa223467891015解析从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项.n2n16.设数列an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有(sn1)2ansn，通过计算s1，s2，s3，猜想sn_.2345789101623456891017234567910188.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1) (n1)(n2).523456781019证明(1)当n1时，左边121，右边(1)0 1，原等式成立.(2)假设nk时，等式成立，23456781019那么，当nk1时，则有23456781019nk1时，等式也成立，10.已知数列an，an0，a10，a an11a .求证：当nn*时，anan1.23456789110证明(1)当n1时，因为a2是方程a a210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk时，0akak1，23456789110即当nk1时，anan1也成立，根据(1)和(2)，可知an