2013年考研数三真题与答案

1、2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1 8小题.每小题4分，共32分.、1当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()23(A) x o(x ) o(x )2 2 2(C) o(x ) o(x ) o(x )3(B) o(x)o(x ) o(x )22(D) o(x) o(x ) o(x )【详解】由高阶无穷小的定义可知( A)(B)( C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例如当时f (x)x2 x3o(x), g(x)32x o(x )，但 f (x)g(x)o(x)而不是故应该选(D )2 函数f(X)x1的可去间断点的个数为(x(x 1) ln x(A)(B) 1(C)

2、 2(D) 3【详解】当xln0时，xxl n|x1 e00f(x)xx 1xm0x(x 1)lnxxln xlimx 0 xln x1，所以是函数的可去间断点.lxm1f(x)|xx1x(x1)ln x01xln ix00 2xlnx1，所以是函数的可去间断点.2xim1f(x)|xx1x(x1)ln xlimxxim1xln x(x 1)l nx，所以所以不是函数的可去间断点.故应该选(C )23 .设是圆域D (x, y) | x1的第象限的部分，记Ik(y x)dxdy，则()Dk(A)(B)(C)(D)【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ik(yDkx)dxdyk_2 d(k 1)

3、_21(sin0 cos )r 2dr2 弓(sinsin )d1k-sincos| k 13所以丨1丨30,丨22,丨42应该选（:B).334设为正项数列，则下列选择项正确的是（）收敛;n 1an an 1，则(1) ann 1(B)n 1(1) an收敛，则an1an 1 ；(C)an收敛.则存在常数，使1lim npan 存在;n(D)若存在常数，使lim npan存在，则nan收敛.n 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项D）正确，故应选（D）.此小题的（A）（ B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件lim an 0,显然错误.而莱布尼兹条件只是

4、交错级数收敛的充分条件,n不是必要条件,选项（B）也不正确，反例自己去构造.5 .设A,B,C均为阶矩阵，若AB = C,且E可逆，则(A)矩阵C的行向量组与矩阵的行向量组等价.(B)矩阵C的列向量组与矩阵的列向量组等价.矩阵C的行向量组与矩阵的行向量组等价.(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.,由于AB = C,【详解】把矩阵A , C列分块如下：A则可知ibi1 1 bi2 2bin n （i 1,2,n），得到矩阵C的列向量组可用矩阵 A的1列向量组线性表示同时由于 B可逆，即A CB ,同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵1 a12006 .矩阵a ba与矩阵0b0相似的充分必要

5、条件是1 a1000(A) a0,b2(B),为任意常数(C) a2,b0(D)，为任意常数20 01a1200【详解】注意矩阵 0b 0是对角矩阵，所以矩阵 A= aba与矩阵0b0相00 01a1000C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价.应该选B)似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.1 a 12 2E A a b a ( (b 2) 2b 2a )1 a 1从而可知2b 2a2 2b，即，为任意常数，故选择(B)7 设 X1,X2,X3 是随机变量，且 X1 N(0,1),X2 N(0,22),X3 N(5,32),R P 2 Xi 2，则(A)PP

6、2P3(B)P2P1P3(C)P3P2P(D)PP3P2【详解】若XN(，2)，则N(0,1)P 2 (2)1 ,P2P2 X22 P 1X22121 ,P3P 2X32P2 5X3525(1)771)333333 3 2 3 (1) 0 故选择（A）1,YP X 2,Y0 P3,Y1121241248 .设随机变量 X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则 P X Y 2()1111(A)(B)-(C)(D )-12862【详解】，故选择（C）.、填空题（本题共6小题，每小题分，满分24分.把答案填在题中横线上）9 .设曲

7、线y f (x)和yx在点处有切线，则limnnf【详解】由条件可知 f 10, f'(1)1 .所以lim nflimn1n 22 n 22 2n2f'(1)210 .设函数z z x, y是由方程xy确定，则 |(1,2)x【详解】F x, y, z(zy)xxyFx x, y,z(z y) ln( z y) y,Fz(x, y,z)x(z X 1y),当 x 1, y 2 时，所以 一 |(i,2)x11 1In x(1 x)2dx【详解】In1(1 x)In xd 1 xln x1 x1 dx x(1 x)xln |1 ln 2 x 112 微分方程y-y 0的通解为.

8、4【详解】方程的特征方程为10，两个特征根分别为 142-，所以方程通2解为x(C1 C2X)e2，其中为任意常数.13 aij0(i, j 1,2,3)，则=A是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足【详解】由条件Aj aj 0(i, j 1,2,3)可知A A*T0，其中为A的伴随矩阵，从而可知A* a*t |A31|a , 所以可能为或0.但由结论r(A*)n,r(A)1,r(A)0,r(A)nnn1可知，1A A*t 0可知 r(A)r(A*)，伴随矩阵的秩只能为3，所以A1.14 .设随机变量X服从标准正分布X 2 XN(0,1)，则 E Xe【详解】一、"2

9、XE Xex2(x 2)2_2(x 2)2xe . e 2 dx V2x-e 22edx(x 22)e2 dxtet2迈dt 2t2eTdte2E(X) 2e22e2.所以为.三、解答题15 .（本题满分10 分)当时，1 cosxcos2xcos3x与是等价无穷小，求常数.【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式.【详解】当时，cosx 1-x222o(x ), cos2x1o222-(2x)2 o(x2) 1 2x2 o(x2),cos3x1 2 21 2(3x) o(x )1 9x2 o(x2),21 cosxcos2xcos3x 1(1*2o(x2)(12x2o(x2)(1 9 x

10、2 o(x2)7x2o(x2)由于1 cosxcos2xcos3x与是等价无穷小，所以a 7, n 2 .16 .（本题满分10分）设D是由曲线y 3x, 直线（a0）及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10VxVy，求的值.【详解】由微元法可知Vxay2dx02ax3dx0VyaOxf (x)dx 24x3dx0由条件10VX Vy，知a7.7 .17 .（本题满分10分）2设平面区域D是由曲线x 3y,y 3x, x y 8所围成，求 x dxdy .D【详解】x2dxdyx2dxdyx2dxdyDDD 22x2dx3xx dy3628 xx2dx x dy23416318 .(本题满分10 分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60 1000'(P是单价，单位：元， Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求:(1 )该的边际利润.(2 )当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.(3)使得利润最大的定价 P.【详解】(1 )设利润为，则yPQ (600020Q)40QQ210006000 ,边际利润为y' 40Q500(2 )当P=50时，Q=10000 ，边际利润为20 .经济意义为：当 P=50时，销量每增加一个，利