726利用MATLAB计算随机变量的期望和方差

1、 7.4.2 利用利用matlab计算随机变量的期望和方差计算随机变量的期望和方差 一、用一、用matlab计算离散型随机计算离散型随机变量的数学期望变量的数学期望通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程序进行计算：序进行计算：1212,;,;* nnxxxxppppexxp对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算公式为：公式为：0() iiie xx p可用如下程序进行计算：可用如下程序进行计算：(,0,inf) iiexsymsum x p案例案例7.63 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品一

2、批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，种，相应的概率分别为相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及及0.04,若其产值分别若其产值分别为为6元、元、5.4元、元、5元、元、4元及元及0元元.求产值的平均值求产值的平均值解：将产品产值用随机变量将产品产值用随机变量 表示，则表示，则 的分布的分布为：为： 产值的平均值为产值的平均值为 的数学期望。在的数学期望。在matlabmatlab中，输入中，输入：再击回车键，显示：再击回车键，显示： 概概率率p产产值值 6 5.4 5 4 00.7 0.1 0.1 0.06 0.04 65.4540 0.7 0.1 0.1 0.06 0.0

3、4 p* pe 4800. 5 e即产品产值的平均值为即产品产值的平均值为5.48.5.48.案例案例7.64已知随机变量已知随机变量 的分布列如下：的分布列如下： 计算计算解：在在matlabmatlab中，输入：中，输入：再击回车键，显示：再击回车键，显示：x ,2121nkkxpk，.ex112 kkexkksyms inf), 1 ,)2/1(*(kkksymsum 2 ans2 ex即即若若 是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：程序如下：程序如下： 二、用二、用matlab计算连续型随机变量的数学期望计算连续型随机变量的数学期望x( ) e

4、xxf x dxint( *( ), inf,inf)exxf x案例案例7.65 用用matlabmatlab计算计算案例案例7.477.47中商品的期望销售量，已中商品的期望销售量，已知其概率密度为：知其概率密度为： 计算计算 . .1( )0 其其它它axbxba e解解： 1 由由baexfx dxxdxba 在在matlabmatlab中，输入中，输入: :;clearsyms x a b ),),/(int(baxabxe 击回车键，显示击回车键，显示)22(*)/(2/1ababe 2/ )(bae 即即若若 是随机变量是随机变量 的函数，则当的函数，则当 为离散为离散型随机变量

5、且有分布律型随机变量且有分布律 时，随机变量时，随机变量 的数学期望为：的数学期望为：其其matlabmatlab计算程序为：计算程序为： 当当 为连续型随机变量且有概率密度为连续型随机变量且有概率密度 时，时，随机变量随机变量 的数学期望为：的数学期望为：其其matlabmatlab计算程序为：计算程序为：三、用三、用matlab计算随机变量函数的数学期望计算随机变量函数的数学期望()g xxx)2 , 1, 2 , 1( knkpxxpkk或或()g x1 ()()kkke g xg xp ()( ()*,1,inf)kke g xsymsum g xp x)(x ()g x dxxxgx

6、ge)()()( int( ( )*( ), inf,inf)exg xf x案例7.66 利用利用matlabmatlab软件重新解答软件重新解答案例案例7.507.50解解：由原题已知收益由原题已知收益y y的期望的期望 402011( )(4)32020 yye yxy dxydx在在matlabmatlab命令窗口输入：命令窗口输入：;clearsyms x yey=1/20*(int(4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40)结果显示结果显示:1/10*y2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 将其化简，输入命令将其化简，输入命令: : s

7、implify(1/10*y2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)结果显示结果显示: -1/10*y2-40+7*y 再对再对y y在区间在区间20,4020,40上求最大值，在命令窗口入上求最大值，在命令窗口入min(1/10*27*40,20,40)fbndxx结果显示结果显示: 3.5000e+001: 3.5000e+001即当组织即当组织3535吨货源时，收益最大吨货源时，收益最大。( (注注： simplifysimplify（f f）是对函数）是对函数f f化简；化简；fminbnd(f,a,b)fminbnd(f,a,b)是对函数是对函数f f在区间在

8、区间a,ba,b上求上求极小值。要求函数的极大值时只需将极小值。要求函数的极大值时只需将ff变为变为 -f)-f)四、用四、用matlab计算方差计算方差计算方差的常用公式为：计算方差的常用公式为： 若离散型随机变量有分布律若离散型随机变量有分布律 其其matlab计算程序为计算程序为若是连续型随机变量且密度函数为若是连续型随机变量且密度函数为 ，则方差的，则方差的matlab计算程序为计算程序为22()() () d xe xe x)2 , 12 , 1( knkpxxpkk或或1212,;,;*;nnxxxxppppexxp ().2*2d xxpex ( )f xint( *( ), i

9、nf,inf);exxf x()int( 2*( ), inf,inf)2d xxf xex 案例案例7.67 7.67 利用利用matlabmatlab软件重新解答软件重新解答案例案例7.567.56 解解：p两公司的股票价格都是离散型随机变量两公司的股票价格都是离散型随机变量. .先计算甲公先计算甲公司股票的方差，在司股票的方差，在matlabmatlab命令窗口输入：命令窗口输入： 8,12.1,15;0.4,0.5,0.1;.*;.2*2xpexxpdxxpex 运行结果显示运行结果显示：5.7425dx 类似的程序我们可得乙公司股票的方差为：类似的程序我们可得乙公司股票的方差为：39

10、.09 dy相比之下，甲公司股票方差小得多，故购买甲公相比之下，甲公司股票方差小得多，故购买甲公司股票风险较小。司股票风险较小。案例案例7.68 用用matlabmatlab软件重新解答软件重新解答案例案例7.577.57 解解：p已知销售量为上均匀分布，即密度函数为已知销售量为上均匀分布，即密度函数为 ： 在在matlabmatlab命令窗口输入：命令窗口输入：运行后结果显示：运行后结果显示：1/3/(b-a)1/3/(b-a)* *(b3-a3)-1/4/(b-a)2(b3-a3)-1/4/(b-a)2* *(b2-a2)2(b2-a2)2将其化简，在命令窗口中输入：将其化简，在命令窗口中

11、输入：simplify(1/3/(b-a)simplify(1/3/(b-a)* *(b3-a3)-1/4/(b-a)2(b3-a3)-1/4/(b-a)2* *(b2-(b2-a2)2)a2)2)1( )0 其其它它axbxba ;baxsymsclear );,),/(int(baxabxe int(1/()*2, , , )2dbaxx a be结果显示：结果显示： 1/121/12* *a2-1/6a2-1/6* *b b* *a+1/12a+1/12* *b2b2 2/12ba 即即：这与前面的结论是一致的这与前面的结论是一致的 五、常见分布的期望与方差五、常见分布的期望与方差 分布

12、类型名称分布类型名称 函数名称函数名称 函数调用格式函数调用格式 二项分布二项分布 binostat binostat e,d= binostat(n,p) e,d= binostat(n,p) 几何分布几何分布 geostat geostat e,d= geostat(p) e,d= geostat(p) 超几何分布超几何分布 hygestat hygestat e,d= hygestat(m,k,n) e,d= hygestat(m,k,n) 泊松分布泊松分布 poisstat poisstat e,d= poisstat( ) e,d= poisstat( ) 连续均匀分布连续均匀分布

13、unifstat unifstat e,d= unifstat(n) e,d= unifstat(n) 指数分布指数分布 expstat expstat e,d= expstat(mu) e,d= expstat(mu) 正态分布正态分布 normstat normstat e,d= normstat(mu,sigma) e,d= normstat(mu,sigma) 分布分布 tstat tstat e,d= tstat(v) e,d= tstat(v) 分布分布 chi2stat chi2stat e,d= chi2stat(v) e,d= chi2stat(v) 分布分布 fstat f

14、stat e,d= fstat(v1,v2) e,d= fstat(v1,v2) t2f案例案例7.69 求二项分布参数求二项分布参数 的期望方差的期望方差。 解解：p程序如下：程序如下：结果显示：结果显示：e=e= 20 20 d= d= 16 16100,0.2np100;0.2;,( , )npe dbinostat n p案例案例7.70求正态分布参数求正态分布参数 的期望方差的期望方差 。解解：p程序如下：程序如下：结果显示：结果显示：e=e= 6 6 d= d= 0.0625 0.0625100,0.2 musigma6;0.25;,(,)musigmae dnormstat mu

15、 sigma案例案例7.47假定国际市场上对我国某种商品的年需求量假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量是一个随机变量 （单位：吨），它服从区间（单位：吨），它服从区间 上的均匀分布，计算我国该种商品在国际市场上的年上的均匀分布，计算我国该种商品在国际市场上的年期望销售量期望销售量. . , a b案例案例7.50假定国际市场每年对我国某种商品的需求量假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量是一个随机变量x x（单位：吨），它服从（单位：吨），它服从20,4020,40上的上的均匀分布，已知该商品每售出均匀分布，已知该商品每售出1 1吨，可获利吨，可获利3 3万美元的

16、万美元的外汇，但若销售不出去，则每吨要损失各种费用外汇，但若销售不出去，则每吨要损失各种费用1 1万美万美元，那么如何组织货源，才可使收益最大？元，那么如何组织货源，才可使收益最大？案例案例7.57 计算案例计算案例7.477.47中我国商品在国际市场上的销中我国商品在国际市场上的销售量的方差售量的方差. .返回返回返回返回返回返回案例案例7.56一种股票的未来价格是一随机变量，一一种股票的未来价格是一随机变量，一个要买股票的人可以通过比较两种股票未来价格个要买股票的人可以通过比较两种股票未来价格的期望和方差来决定购买何种股票，由未来价格的期望和方差来决定购买何种股票，由未来价格的期望值（即期望价格）可以判定未来收益，而的期望值（即期望价格）可以判定未来收益，而由方差可以判定投资的风