比例中项黄金分割

1、 a=2b=4c=8已知，算一算，算一算，b2=ac 吗？吗？a,b,c 这三个数是否成比例？这三个数是否成比例？比例式是？比例式是？ab=(:)bcabbc或 你也来写出这样的三个数，使它们满足上述你也来写出这样的三个数，使它们满足上述比例式。比例式。a,b,b,c 这四个数是否成比例？这四个数是否成比例？这个比例式这个比例式有什么有什么特别特别之处之处吗？吗？此比例式的特点：三个数满足比例式此比例式的特点：三个数满足比例式 ,其中两个比例內项用的是同一个数其中两个比例內项用的是同一个数ab=bc回顾引入回顾引入 若取一张长与宽之比为的长方形，若取一张长与宽之比为的长方形，将它对折，请判断图

2、中两个长方形长与宽将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这条线段是否成比例，如果成比例，请这条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式。写出比例式。1:2解：这四条线段成比例解：这四条线段成比例,12ba12221cbab=(:)bcabbc或这个比例式这个比例式有什么有什么特别特别之处之处吗？吗？bcab此比例式的特点此比例式的特点:三条线段满足比例式三条线段满足比例式 ,其中两个比例內项用的是同一条线段。其中两个比例內项用的是同一条线段。ab=bcabc一般地，如果三个数一般地，如果三个数a,b,c满足比例式满足比例式 ， 则则b就就叫做叫做a,c的的比例中项比例中项):(cbbacbba

3、2abbacbc据比例的基本性质：据比例的基本性质：揭示新知：揭示新知： 据此据此: (1)既既可判断一个数可判断一个数(b)是不是另两个数是不是另两个数(a和和c) 的的比例中项比例中项, (2)也也能求两个数能求两个数(a和和c)的比例中项。的比例中项。比较比较b2与与ac相等不相等！相等不相等！b=acb= ac()(数)或线段新知应用新知应用 (1) . 1是不是是不是 的比例中项？如果是比例中的比例中项？如果是比例中 项，请写出相应的比例式项，请写出相应的比例式. (2) . 2和和8的比例中项是的比例中项是_32211 和和121 :1=123是，比例式为：注意注意:线段的比例中项

4、与数的比例中项是两个不同的概线段的比例中项与数的比例中项是两个不同的概念念,前者是一个正数前者是一个正数,而后者是一对互为相反数而后者是一对互为相反数.(3). 线段线段a3，线段，线段b27，线段，线段a，b的比例的比例中项是中项是 。49比较比较b2与与ac相等不相等！相等不相等！b=acb= ac()(数)或线段已知：如图，线段已知：如图，线段AB长为长为2，点，点P把线段分成把线段分成长分别为长分别为 和和 的的AP和和BP两条线两条线段，请问：线段段，请问：线段AP是不是线段是不是线段AB与与BP的比例的比例中项线段？中项线段？3 -55 -1BPAPAPAB即2APBP ABA5

5、-1BP3- 52线段线段AP是线段是线段AB与与BP的比例中项线段的比例中项线段 同一线段上的三同一线段上的三条线段有没有可能出条线段有没有可能出现比例中项线段？现比例中项线段？比较比较b2与与ac相等不相等！相等不相等！ABPBPAPAPAB点点P叫做线段叫做线段AB的黄金分割点；的黄金分割点；所分成的较长线段所分成的较长线段AP与整条线段与整条线段AB的的比叫做比叫做黄金比黄金比。如果点如果点P把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AP和和BP，使，使APBP，且，且 ，那么我们，那么我们就说就说线段线段AB被点被点P黄金分割黄金分割；BPAPAPAB5 -13- 52你能计算出你能计

6、算出这个黄金比这个黄金比吗？！吗？！5-1=0.6182BPAPAPAB黄金比短长即长全ABP例例 如图，已知线段如图，已知线段AB=10, 点点p是它的黄是它的黄金分割点，金分割点，APBP,求求AP,BP的长。的长。练习：练习： 1. 一本书的宽与长之比为黄金比，已知它一本书的宽与长之比为黄金比，已知它的宽为的宽为14cm,它的长约为它的长约为 (精确精确到到0.1cm)22.7cm5-1=0.6182短长提 示 ： 黄 金 比长全练习：练习： 2. 如图，已知点如图，已知点P是线段是线段AB的黄金分割点，的黄金分割点，APBP,求求:(1) (精确到精确到0.1)(2) AB=2时时PB

7、的长。的长。APPBABP约约1.63 -55-1=0.6182短长提 示 ： 黄 金 比长全黄金分割的深远意义黄金分割的深远意义 历史上，人们视黄金分割历史上，人们视黄金分割为为“最美丽最美丽”的几何比率，的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、维纳斯女神、埃及金字塔、维纳斯女神、上海东方明珠塔等，一些长上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也方形的画框，宽与长之比也设计成设计成0.618，在自然界中，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之身长与双翅展开后的长度

8、之比约为比约为0.618.许多美丽的形许多美丽的形状都与状都与0.618这个比值有关这个比值有关。积累就是知识积累就是知识请用请用所学知识所学知识回答上面的问题回答上面的问题AEBCABBCBCBE，）解：（1ABAEAEBE的黄金分割点是点ABEABCDEF618. 02ABBCBCBE）（的宽与长的比是黄金比矩形 ABCD这时的矩形这时的矩形ABCD称称黄金矩形黄金矩形1.1.作顶角为作顶角为3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC与腰与腰ABAB的长度的长度, ,计算计算: : ; ; 2.2.作作BB的平分线的平分线, ,交交ACAC于点于点D,D,量出量出CDCD的

9、长度的长度, , 再计算再计算: : . (. (精确到精确到0.001)0.001)DDC CA AB BE EBCABCDBC0.6180.6180.6180.618黄金三角形黄金三角形点点D D是线段是线段ACAC的黄金分割点的黄金分割点. .六、拓展新知六、拓展新知 课后探索：课后探索： 如图，已知线段如图，已知线段AB, 点点p是它的黄金分是它的黄金分割点，请用尺规作图法确定点割点，请用尺规作图法确定点p的位置的位置。AB谈谈感受谈谈感受 清点收获清点收获 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；线段的比例中项与数的比例中项的区别；1.比例中项的概念比例中项的概念.3.什么是线段的黄

10、金分割什么是线段的黄金分割.4.如何确定黄金比，是多少如何确定黄金比，是多少.5.用用数学美数学美去装点和美化生活去装点和美化生活.十、布置作业十、布置作业 : 课本课本P123 1、3、4、5 课外作业课外作业:请同学们收集建筑、雕刻和自然请同学们收集建筑、雕刻和自然界的黄金分割界的黄金分割0.618短长长全.21ABBD w1.经过经过点点B作作BDAB,使使w2.连接连接AD,在在AD上截取上截取DE=DB.w3.在在AB上截取上截取AC=AE.你能验证这个结论吗你能验证这个结论吗?相信你完成下列相信你完成下列两个小题后就会有答案两个小题后就会有答案.ACBCABAC,四、动手画一画四、

11、动手画一画 找黄金分割点找黄金分割点已知线段已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点用直尺和圆规作出它的黄金分割点作法作法:2请计算请计算1如果设如果设AB=1,那那BD,AD,AC,BC分别分别等于多少等于多少?点点C就是所求线段就是所求线段AB的黄金分割点的黄金分割点AEBCD八、读一读八、读一读 神奇的神奇的0.618打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬3030度度左右。特别是红茶中的极品左右。特别是红茶中的极品“祁红祁红”，产地在安徽的祁，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与门，也恰好在此纬度上。这不免让

12、人联想起许多与北纬北纬3030度度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在在这黄金分割的纬度这黄金分割的纬度上。上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, , 普通树叶的宽与普通树叶的宽与长之比也接近长之比也接近0.6180.618; ; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站而总是站在舞台的在舞台的1 13 3处，站在处，站在舞台上侧近于舞台上侧近于0.6180.618的位

13、置才是最的位置才是最佳的位置佳的位置; ; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，舒服顺眼，正规裁法得到的纸张正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于，不管其大小，如对于8 8开、开、1616开、开、3232开等，都仍然是近似的开等，都仍然是近似的黄金矩形黄金矩形。 她的上半身她的上半身( (以肚脐以肚脐眼为分界点眼为分界点) )和下半身的比和下半身的比值接近值接近0.6180.618. . 世界艺术珍品世界艺术珍品维纳斯维纳斯女神女神, , 她是西元前一百多她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，表作，二

14、、请你欣赏二、请你欣赏 感受匀称感受匀称 协调之美协调之美欣赏之一欣赏之一:芭蕾舞演员的身段是苗条芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比的，但下半身与身高的比值也只有值也只有0.580.58左右，演员左右，演员在表演时掂起脚尖，身高在表演时掂起脚尖，身高就可以增加就可以增加6-8cm.6-8cm.这时比这时比值就接近值就接近0.6180.618了了, ,给人以给人以更为优美的艺术形象更为优美的艺术形象. .芭蕾舞芭蕾舞欣赏之二欣赏之二:468m468m289.2m上海东方明珠电视塔高上海东方明珠电视塔高468m,上球体到塔底的上球体到塔底的距离约为距离约为289.2m。289.2与与46

15、8的比值是一的比值是一个神奇的数字个神奇的数字,这个塔的这个塔的设计精巧设计精巧,外型匀称、漂外型匀称、漂亮、美观、大方亮、美观、大方.欣赏之三欣赏之三:上海东方明珠塔上海东方明珠塔ABCDEF欣赏之四欣赏之四: 蒙娜丽莎蒙娜丽莎 欣赏之后欣赏之后,请同学们思考请同学们思考:以上图案为什么这样美丽以上图案为什么这样美丽?它们与数学中的一种神圣的它们与数学中的一种神圣的分割和一个神奇的数有关分割和一个神奇的数有关. 同学们你知道这种神圣同学们你知道这种神圣的分割和神奇的数是什么吗的分割和神奇的数是什么吗? 著名画家达著名画家达芬奇的蒙娜丽芬奇的蒙娜丽莎莎,拉斐尔笔下温和、俊秀的圣拉斐尔笔下温和、

16、俊秀的圣像像,其漂亮的面部是矩形其漂亮的面部是矩形ABCD的宽的宽BC与长与长AB的比也是一个的比也是一个神奇的数神奇的数. a=22b=2 3c= 18已知，算一算，算一算，b2=ac 成立吗？成立吗？a,b,b,c 这四个数是否成比例？这四个数是否成比例？ 你也来写出这样的三个数，使它们满足你也来写出这样的三个数，使它们满足上述比例式。上述比例式。比例式是？比例式是？ab=(:)bcabbc或如果两个数的如果两个数的比值比值与另两个数的与另两个数的比值相等比值相等，就说这，就说这四个数成比例四个数成比例表示成四个实数成比例，通常如果dcba,dcbadcba或,:两个外项的积等于两个内项的

17、积两个外项的积等于两个内项的积7:14bcaddcba(a,b,c,d都不为零都不为零)比例的基本性质比例的基本性质a、d 叫做叫做比例外项比例外项， b、c 叫做叫做比例内项比例内项，一般地一般地,如果四条线段如果四条线段a,b,c,d中，中，a与与b的比等于的比等于c与与d的的比比, 即即,那么这四条线段叫做那么这四条线段叫做成比例线段成比例线段，简称简称比例线段比例线段dcbaABCAB11,AB AB AC AC例如例如, 是比例线段是比例线段.C线段线段AB与与 的比的比和线段和线段AC与与 的的比相等，所以线段比相等，所以线段AB, ,AC, 是是比例线段，记作：比例线段，记作： ABACA BA CA B A B A C A C 若取一张长与宽之比为的长方形，将它对折，若取一张长与宽之比为的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这条线段是否