概率论与数理统计习题(答案)大合集

1、 概率与统计试卷（1）1、(9分) 从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进行排列，问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多大.2、（9分）用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率. 3、 （11分）某机械零件的指标值在90，110内服从均匀分布，试求：（1）的分布密度、分布函数；（2）取值于区间（92.5，107.5）内的概率.4、（9分）“射击次数” 的期望. 5、（17分）对于下列三组参数，写出二维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度.（1）3011（

2、2）11（3）12106、（15分）求下列各题中有关分布的临界值.1），；2），；3），.7、（11分）某水域由于工业排水而受污染，现对捕获的10条鱼样检测，得蛋白质中含汞浓度（%）为0.2130.2280.1670.7660.0540.0370.2660.1350.0950.101，若生活在这个区域的鱼的蛋白质中含汞浓度N（，），试求E，D的无偏估计.8、（12分）某种导线的电阻服从正态分布N(，)，要求电阻的标准差不得超过0.004欧姆. 今从新生产的一批导线中抽取10根，测其电阻，得s*0.006欧姆. 对于0.05，能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大？9、 （7分）某校电器（3）班学

3、生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，10），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？ 概率与统计试卷（2）1、(9分)已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚报，85%用户至少这两种报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几. 2、（9分）从4台甲型、5台乙型电脑中，任取3台，求其中至少要有甲型与乙型电脑各一台的概率。3、（10分）在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量表示取到的次品数，试写出的分布列.4、（11分）盒中有五个球，其中有三白二黑，从中随机抽取两个球，求“抽得的白球数” 的期望.5、（12分）设随机变量的分布密度为=且32，求E

4、与D.6、 （12分）一机器制造直径为的圆轴，另一机器制造内径为的轴衬，设的联合分布密度为=，若轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.36，则两者可以相适衬，求任一轴与任一轴衬适衬的概率.7、（13分） 设，是总体的样本，试求：E、D、E.1） N(,) ；2） b(1,p).8、 （12分）对于总体有E，D，(，)是的样本，讨论下列统计量的无偏性与有效性.，.9、 （12分）打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤). 某日开工后，测得九包糖重如下(单位：斤)： 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7

5、 99.5 102.1 100.5 如果打包机装糖的包重服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（）？ 概率与统计试卷（3）1、 （8分）在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率. 2、（9分）已知的展开式中第三项的二项式系数是66，求展开式中含的项的系数。3、（9分） 在一个繁忙的交通路口，单独一辆汽车发生意外事故的概率是很小的，设p0.0001. 如果某段时间内有1000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？ 4、（10分）设随机变量的分布密度为=求E.5、（12分）设随机变量的分布密度为=，求E，D，E（），D（）

6、.6、（8分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为，问他期望能得多少分？7、（12分）随机向量的联合分布密度为=，求：1）系数A；2）的边缘分布密度.8、（12分） 设总体的分布密度为()，0为参数，是总体中的一个样本，试求：E、D、E、E.9、（10分）设总体的分布密度为，>0为待估参数，现从中抽取10观察值，具体数据如下1050110010801200130012501340106011501150，求的最大似然估计值.10、（10分） 已知某一试验，其温度服从正态分布N(，)，现

7、在测量了温度的5个值为：1250 1265 1245 1260 1275问是否可以认为1277（）？ 概率与统计试卷（4）1、（10分）设集合，从中任取3个互异的数排成一个数列，求该数列为等比数列的概率2、（10分）从9，7，0，1，2，5这6个数中，任取3个不同的数，分别作为函数中的的值，求其中所得的函数恰为偶函数的概率。3、（10分）设随机变量的分布列为，试求：（1）常数a；（2）P（）；（3）P（1）. 4、，问他期望能得多少分？5、（12分）设随机变量的分布密度为=且E，求常数，并D.6、（14分）随机向量在矩形区域内服从均匀分布，求的联合分布密度与边缘分布密度，又问随机变量是否独立？

8、7、（12分）已知某样本值为：2.06，2.44，5.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23，18.22，22.72. 试求样本平均值、样本方差、样本修正方差.8、（11分）设总体服从两点分布，分布列为P(x)，x0,1，0<<1为待估参数，为的一观察值，求的最大似然估计值.9、（11分）已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布，2 )，现在测定了5炉铁水，其含碳量为4.34 如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量为（）？ 概率与统计试卷（5）1、（11分）在射击中，最多的环数为10环，一射手命中10环的概率等于，命中9环的概率等于，命中

9、8环的概率等于，求该射手打三发得到不少于28环的概率2、（9分）袋中有a只白球、b只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第k次摸到白球的概率（）。3、（10分）设随机变量的分布列为P（k）= (k=1,2,3)，试求P（2）；P（3）；P（5）；P（）.4、（12分）设随机变量的分布密度为=求E，E（23），E2，E（22+3）5、（12分）离散型随机向量有如下的概率分布求的边缘分布，并考察与相互独立性.6、（10分）如图，开关电路中，开关开或关的概率为，且是相互独立的，求灯亮的概率7、（12分）设服从N（1，），求P（0），P（）. 3. 设总体的分布密度为()，0x1，1为参数，试求样本(

10、，)的联合分布密度. 8、（12分） 已知一批元件的长度测量误差服从N（，），为未知参数，现从总体中抽出200个样本值，经分组后整理成下表数据1020304050607080频数51832514630144200求，的估计值.9、（12分）进行5次试验，测得锰的熔化点（）如下： 1269 1271 1256 1265 1254已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250？（0.01）概率与统计试卷（1）1、P（A）0.4333.2、 P（B）0.93.3、（1）；（2）0.75.4、E.5、1）=，=，=.2）=，=，=.3）=，=，=.6、1）12.592，21.66

11、6；2）2.6810，1.8595；3）4.24，0.3003.7、 ，s*20.0444.8、显著偏大.9、16%。概率与统计试卷（2）1、 P（AB）30%.2、3、4、 5、 E，D.6、 .7、 1）E,D，E.2）E，D，E.8、，为无偏估计量，比有效.9、正常.概率与统计试卷（3）1、2、-2203、9.05%.4、 E0.5、 E，D，E（）0，D（）.6、7、1）系数A；2）=，=.8、 E0、D、E、E.9、因，而1168，所以0.000856.10、不可以认为1277.概率与统计试卷（4）1、2、。3、（1）；（2）；（3）.4、 E.5、 ，D，.6、 =，=，=, 与不

12、独立.7、11.56、40.73、44.81.8、.9、u-u，可以认为现在生产之铁水平均含碳量降低了.概率与统计试卷（5）1、2、3、；1；.4、 E，E（23）0，E2，E（22+3）.5、 与不独立.6、 7、.8、 因，所以，s2或s*2237.28.9、 t3.80t，可以认为锰的熔化点显著高于 1250.试卷一一、填空（每小题2分，共10分）设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为_。. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示_。已知互斥的两个事件满足，则_。设为两个随机事件，则_。设是三个随机事件，、，则至少发生一个的概率为_。二、单项选择（每小题的四个选项

13、中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（ ）。(A) 取到2只红球 (B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到1只红球2对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（ ）。(A) A (B) B (C) AB (D) 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是

14、（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则（ ）。 (A) 0.1(B)(C) 0.8(D) 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A

15、) + P (B) P (C) 1(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与

16、其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。求该产品的一级品率。7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共6分）设， 。证明 试卷一 参考答案一、填空1. 或 2. 出现的点数恰为53. 与互斥 则 故 5. 至少发

17、生一个，即为又由 得 故 二、单项选择12. A3. A 利用集合的运算性质可得.4与互斥故 5故 6相互独立7. 且 则 8. 9. B10. B 故 P (A) + P (B) P (C) 1 三、计算与应用题1. 解：设 表示“取到的两球颜色不同”，则而样本点总数故 2. 解：设 表示“能把门锁打开”，则，而故 3. 解：设 表示“有4个人的生日在同一月份”，则而样本点总数为故 4. 解：设 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”则 包含的样本点数为。而样本点总数为故 5. 解：设 “任取一个零件为次品”由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，

18、表示通过三道工序都合格，则 于是 6. 解：设 表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”显然，则于是 即 该产品的一级品率为7. 解：设 “箱中有件次品”，由题设，有，又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有于是 8. 解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为 设 表示“有放回取5件，最多取到一件次品”则 四、证明题证明 ， ，由概率的性质知 则又 且 故 试卷二一、填空（每小题2分，共10分）1. 若随机变量 的概率分布为 ，则_。2. 设随机变量 ，且 ，则_。3. 设随机变量 ,则 _。4. 设随机变量 ，则 _。5. 若随机变量的概率分布为则 _。二、单项选择(每题的四个选

19、项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 设服从二项分布，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 7. 设，则（

20、 ）。(A) (B) (C) (D) 8设随机变量的分布密度为 , 则（ ）。(A) 2(B) 1(C) 1/2(D) 49对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ）。(A) 二项分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D) 泊松分布10设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人

21、数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。5. 设随机变量。求 概率密度。6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。求 。7. 设随机变量的概率密度为。求 和。8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相

22、互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。四、证明题（共6分）设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有 即 ，得 。2. ，则4. 由题设，可设即01则 二、单项选择1. ()由分布函数的性质，知 则 ，经验证只有满足，选2. ()由概率密度的性质，有 3. ()由概率密度的性质，有4. ()由密度函数的性质，有 5. ()是单减函数，其反函数为 ，求导数得 由公式，的密度为 6. ()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7. ()于是 8. (A)

23、由正态分布密度的定义,有 9. (D) 如果时,只能选择泊松分布.10. (D) X为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数 只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有则12342. 解：设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，于是（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而 故 4. 解： （1）（查正态分布表）（2）由题意 即 查表得 。5

24、. 解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知 故由公式知： 6. 解:，则而由题设知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由数学期望的定义知,而 故 8. 解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知 则又由 得 连续，单调，存在反函数 且 当时， 则 故 即 试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）1. 设二维随机变量的联合分布律为，则 _，_.2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则 _.3. 若随机变量与相互独立，且，则 服从_分布.4. 已知与相互独立同分布，且则 _

25、.5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有_.二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1. 若二维随机变量的联合概率密度为 ，则系数（ ）.(A) (B) (C) (D) 2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（ ）.(A) (X , Y) 服从指数分布(B) X与Y不独立 (C) X与Y相互独立(D) cov(X , Y) 04. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机

26、变量中服从均匀分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 6设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（ ）.(A) (B) (C) (D) 8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 设是个相互独立同分布的随机变量，则对于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) 10. 设,为独立同分布随机变量序列

27、，且Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（ ）. 三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.2. 设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；（2）求 .3. 设的联合密度为（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立.4. 设的联合密度为求的概率密度.5. 设，且与相互独立.求（1）的联合概率密度；（2）；（3）.6. 设的联合概率密度为求及.7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准

28、差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题（共6分）设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得 2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，4. 5. 二、单项选择1. (B)由 即 选择(B).2. (B)由题设可知，故将标准化得 选择(B).3. (C)选择(C).4. (C)随机变量相互独立且都服从区间0,1

29、上的均匀分布, 则选择(C).5. (A)选择(A).6. (A) 由期望的性质知选择(A).7. (D)选择(D).8. (B)与不相关的充要条件是即 则 选择(B).9. (C) 选择(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，则故 选择(A).三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有即 的联合分布律为2. 解（1）由概率密度的性质有可得 （2）设，则3. 解（1） 即 即 ，（2）当时故随机变量与不相互独立.4. 解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当 时，当 时，故 的概率密度为5. 解

30、（1） 与相互独立 的联合密度为（2）（3）6. 解于是 由对称性 故 .7. 解设 表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则次炮击命中目标的炮弹数 ，因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布于是 8. 解设应检查个产品，其中次品数为，则由题设，这里，可以认为较大，则由棣莫弗拉普拉斯定理知，近似服从正态分布依题意，有 即 亦即 查表得 故至少应检查个产品，才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质，得概率论与数理统计B一单项选择题（每小题3分，共15分）1设事件A和B的概率为 则可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62.

31、从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对3投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对4某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上

32、都不对二填空题（每小题3分，共15分）1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则= .2设随机变量，则n=_.3随机变量的期望为，标准差为，则=_.4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_.5设连续型随机变量的概率分布密度为，a为常数，则P(0)=_.三(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四(本题10分) 设随机变量的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(<1)； (3) 求的数学期望.五(本题10分) 设二维随机变量(,)的联合分布是1=245012(1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及；六(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90，其他9盒为20.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在