面板数据模型(8)课案

1、第 8 章 面板数据( panel data )模型§8.1 面板数据模型及其检验一、面板数据例 例，失业状况分析。 第 1 种情况 假设现有 2007 年辽宁 14 个市产业结构与失业状况的数据，则采用回归分析模型 可分析产业结构与失业状况关系。市 失业率 产业结构121 2 k yixi,x i ,., x iN=14假设现有辽宁沈阳市产业结构与失业状况的1990 2007 年数据，则采用时序分析模型可分析沈阳市的产业结构与失业状况关系。年 失业率12丨ytT=18如果有辽宁 14 个市产业结构与失业状况的产业结构12 x1t , x2t ,.,x19902007 年面板数据，

2、则须采用 paneldata 模型，同时，既可分析产业结构与失业状况关系，按年1990市失业率12111yi11N=141第t年yit也可分析产业政策与失业的关系。产业结构1 2 kx i1,x i1,., x i11 2 kx it ,x it ,., x it2007市失业率12111yi18N=14或者按市1年失业率12111y1t产业结构1 2 kx i18,x i18 ,., x i18产业结构1x11t,2kx 1t ,., x 1ty2t =- X2t； 1 u2tT=18Yit12kX it ,X it ,., X it年失业率产业结构1212k1Yn；X Nt ,X Nt,.

3、,X NtT=18第一种情况是，只有 N个样本的截面数据，采用回归分析模型的分析；第二种情况 是，只有某一样本的 T时间长度的纵向（时间序列）数据，采用时间序列模型的分析； 而第三种情况是，同时有 N个样本的T时间长度的数据，即面板数据（平行数据、纵向 数据、综列数据）、面板数据模型及其类型设被解释变量为y与k个解释变量x1,x2,.,xk有线性相关关系i = 1,2,，N ; t =1,2,., TYit7ii2X2it -ikXkit Uit(8.1.1)右记xit = ( X让，X让，.，X让)，= ( ' i1, - i2 ,，_ik )，则上式可写成Yit =°i

4、+人* +Ut（8.1.2）i = 1,2,., N ; t = 1,2,., T通常模型满足基本假设条件为出"4（0,貯2），即相互独立、服从以0为期望、2为方差的相同分布。我们称上述结构形式的模型为面板数据模型。上述模型在关于冷、的不同假设下，可产生不同的面板数据模型。1、联合回归模型假设訂=打、, i, j =1,2,., N，这时模型（8.1.2）变成Yt " +X；P +山（8.1.3）i -1,2,., N ; t -1,2,., T按 i 展开，即y1t = X1r ' u1tyNt =' XNt -* UNt , t = 1,2,T这表明模型

5、显示出，对不同样本个体无个体影响（无截距变化）、无结构变化（无参数变化），它相当于是由 N个多元线性回归模型堆积而成，故这时可把它称为联合回 归模型。对此模型可采用普通最小二乘法估计模型参数建立模型。2、变截距面板数据模型假设冷=打、-i = j, i, j -1,2,., N，这时模型（8.1.2）变成yit =XitUit（ 8.1.4）i = 1,2,., N ; t =1,2,., T按 i 展开，即y1t = :X1t ： * U1ty2t2 X2/ u2tyNt =N XNt - UNt, t=1,2,.,T这表明模型显示出，对不同样本个体存在个体影响（截距变化）但仍无结构变化（无

6、参数变化），这时称为变截距面板数据模型。它是应用最广泛的一种面板数据模型。变截距面板数据模型又可分为两种情形： 固定效应变截距面板数据模型如果变截距面板数据模型中的:i为固定常数，则为固定效应变截距面板数据模型。在截面中所有样本恰是总体所有单位时，并且存在个体单位影响下，可采用此模型。 随机效应变截距面板数据模型如果变截距面板数据模型中的为非固定常数，而是随机变化的，则为随机效应变截距面板数据模型。在截面中所有样本是从总体所有单位中随机抽取的时，并且存在样本单位个体影响下，可采用此模型。3、变参数面板数据模型假设打> i, j =1,2,., N，则模型形式为3% = J Xit 

7、9; iUiti =1,2,., N ; t = 1,2,., T令xt =（1x）, H =他piy，这时模型（16.1.2）也可写成形式%t = Xit 乂 5（8.1.5）i = 1,2,., N ; t =1,2,., T按 i展开，即t胡t$11ty2t = X2t 口2U2tyNt *Nt N uNt,t =1,2,.,T这表明模型显示出，对不同样本个体，既存在个体影响（截距变化），又存在结构变化（参数变化），这时称为变参数面板数据模型。变参数面板数据模型又可分为两种情形： 固定效应变参数面板数据模型如果变参数面板数据模型中的< 为固定常数，则为固定效应变参数面板数据模型。

8、随机效应变参数面板数据模型如果变参数面板数据模型中的< 为随机变化，则为随机效应变参数面板数据模型。三、面板数据模型的统计检验由上述可知，面板数据模型不同类型参数差别很大，因此，建立面板数据模型首要一步是检验模型参数：有无个体影响和结构变化，这可通过对面板数据模型进行如 下统计检验来进行:假设检验H2：2 二=N1 二匕二二-N在检验过程中，如果接受 H2，则可认为该面板数据模型为联合回归模型，无需做进步检验。如果拒绝 H2，则需检验H1。如果拒绝H1，则可认为该面板数据模型为变参#数面板数据模型，否则，则可认为该面板数据模型为变截距面板数据模型。 检验方法，可采 用协方差分析检验 来进

9、行，具体如下： 若记TWxx.i 二(xit - x ) (xit - Xj )t 4TWxyS (Xit -X) Wit -卯,tdT2Wy,i=E (VK "Vi)TT其中，X；Xit / T, Vit /Tt ay则变参数面板数据模型的残差平方和N(8.1.6)S 八(Wyy.i -Wxy.iW JxX.iWxy.i )i =17若记Nw =Z w iXXXX.i 7i =1Nw =Z w ixyxy7i=1Nw =Z w i yyyy.ii=1则变截距面板数据模型的残差平方和S2 -Wyy -WxyW'xxWxy(8.1.7)若记N TTxx=送瓦(Xi； -X)(x

10、：-X)i =1 t =1N TTxy二二(XitX) (yit 一 V)im t=iN TTyy 八 V (Vit -V)2im t=iN T其中，X 二二 xit / NT,i ：! t ：!NV 二瓦瓦 Vit / NTi z1 t d则联合回归模型的残差平方和S3 _ TyyTxyTxxxy(8.1.8)模型扰动项正态分布条件下，由此可得到如下结论 S/氏 32N(T -k-1)在H?成立条件下，S32u 2NT -(k 1), (Ss-SJ/t 2(N-1)(k 1)(S3 -3)/匚与S/'u独立。在Hi成立条件下，"2u 2N(T-k-1)，0-和/；汽 2(N

11、 -1)k(S2 S)/与S1M2u 独立。由、可推得，在h2成立条件下，F(S3SZ(N；(k)(k1)1)F(N-1)(k D，N(1)s / NT N(k +1)(8.1.9)上式中，分子：联合回归模型的残差平方和 S3与变参数面板数据模型的残差平方和S,之间的均方差异性，分母：变参数面板数据模型的残差平方和Si的均方差。显然，分子越大，则F2越大，于是，异于联合回归模型为变参数面板数据模型的可能性越大，故可根据此统计量进行检验。由、可推得，在H1成立条件下，(S2 -SJ/KN 團 F( N 1)k,N(T-k-1) S,/NT -N(k 1)(8.1.10)上式中，分子：变截距面板数

12、据模型的残差平方和S2与变参数面板数据模型的残差平方和s之间的均方差异性，分母：变参数面板数据模型的残差平方和S的均方差。显然，分子越大，则 Fi越大，于是，异于变截距面板数据模型为变参数面板数据模型的可能性越大，故可根据此统计量进行检验。因此，在给定显著性水平:下，当算得的F2 > F.(N -1)(k 1),N(T -k -1)时,则拒绝假设H2，即非联合回归模型，继续检验，反之，则可认为是联合回归模型。当算得的F1 > F.(N - 1)k,N(T -k -1)时，则拒绝假设H1，即非变截距面板数据模型，而为变参数面板数据模型，反之，则可认为是变截距面板数据模型。§

13、 8.2变截距面板数据模型的参数估计由(8.1.4)式，变截距面板数据模型为yu冷山i =1,2,., N ; t = 1,2,., T1、固定效应变截距面板数据模型的参数估计这时，模型中的冷为固定常数。该模型在截面中所有样本恰是总体所有单位时，并且存在样本单位个体影响下，可采用普通最小二乘估计参数，建立样本模型。具体如下: 记% =(%1 %2.%)： Xi =(x；=(比 吐.山)打=(11.1)则上述模型可改写成Ui(821)11进一步，若记yjy2xjX2d_yNXn1 -Ct则上述模型又可写成或者=(DX)(822)可看出该模型(822)共有N"参数(N个：, k个(-1，

14、- 2/k)'=)，由于U满足古典条件，故在 N较小的情况下，可采用普通最小二乘法估计模型参数，建 立样本模型。这时该模型又称为最小二乘虚拟变量模型(LSDV)，也有称之为协方差分析模型。由普通最小二乘法可知，这时模型参数的估计式为金)1=(D X)(D X)'(D X)A( 8.2.3)V J在N较大的情况下，计算量太大，可能超出计算机容量，这时可采用如下分步估计法估计模型参数， 建立样本模型：首先，设法消除虚拟变量 D的影响，以便实现第一步估计模型参数- o令Pd 二D(DD)D , Md =1 -Pd可验证fd,md皆为幕等阵，且有mdd =0以Md左乘模型(16.2.2

15、)两边MDy =m dd： m Dx 1 mdu冉(8.2.4)= MdX ： M Du可看出虚拟变量 D的影响在模型中已消失，模型变成无常数项的回归模型，扰动项仍然满足古典条件，故仍可采用普通最小二乘法估计1,而得到(825)称之为最小二乘虚拟变量估计，也称为协方差估计 然后，进行第二步，估计模型参数：，可得:?=(DD)，D (y-X ?W)(826)上述估计量为无偏、一致估计。参数估计量:?, ?W的方差协方差的估计量为:Cov(?W)二 s2(XMdX)，, Cov(：?)二 S2/T xiCov( ?W)Xi(827)其中，s =送(-ft f?v) /(NT - N - k)(82

16、8)i,t为模型扰动项u的方差2u的无偏估计。说明： 对于变截距棉板数据模型，如果将截距冷中分解出总均值m (共同影响部分)，即N：-=m ai, i = 1,., N ; ' aj = 0i =1其中，aj为个体不同影响，则处理方法与上述类似。 对于不同样本个体，时间序列数据长度不等的情况，既时间长度为T,i =1,2,.,N，处理方法与上述类同。 当变截距棉板数据模型，同一截面的不同样本个体存在异方差；不同截面存在时 间上的异方差；同一截面的不同样本个体存在相关；不同截面存在时间上的序列相关的 情况，可采用广义最小二乘法估计参数，建立样本模型。 当变截距棉板数据模型，既不存在异方差

17、，也不存在序列相关，但扰动项u与解释变量X1,x2,.,xk存在相关性时，需采用两阶段最小二乘法来估计模型参数建立样本模 型。2、随机效应变截距面板数据模型的参数估计 由(8.1.4)式，变截距面板数据模型为wu冷山i = 1,2,., N ; t = 1,2,., T这时，模型中的J为随机变量。当模型在截面中所有样本是从总体所有单位中随机 抽取的，并且存在样本单位个体影响下，可采用此模型。仍然记% =(%1 %2.%)： Xi =(Xi1 Xi；.XT)：Ui =(Ui1 Ui2.UiT)：i =(11.1)(829)则上述模型可改写成为了分析，模型还需要满足以下假设条件:E（UiJ =E（

18、i） =0，对所有i,t（零均值性）E（u2Q =：凡，对所有i,t （等方差性）E（： 2J -；2一.，对所有i （等方差性）E（Ujtj） = 0，对所有i,t和j （互不相关性）EgUjs） =0，对所有i = j、t = s （互不相关性）EC&j） =0，对所有i = j （互不相关性）E（Xiti） =0，对所有i,t （互不相关性）15 在以上假设条件下，模型（8.2.9）可写成(8210)yxrVi18 1_U! I口 2U2,肚= ,U =hhL0N一 小一ujU 2宀.=(l 述 i)G + u = Da +u卜bJJn 一(8.2.11)其中，进一步，记yi 1

19、y2 y = +一V!Vv = 则模型又可写成Vi = i ： i uiX!iX2iX = x D =+人一-i 严1_ ia 2hb:i 一陈y =X 一： v根据模型所满足的假设条件，可求得11 二Cov（vJ2uIt戈=Cov（v） = l N=<j2ul NT +cr20flN ii *由于不是纯数量阵，故模型参数估计不能采用OLS估计法，需用 GLS估计法。(1)如果匚2u、二2 一.已知，则可直接采用 GLS估计法，求得模型参数估计gls =(X *X)X +y(8.2.12)A-GLS的协方差阵为CovCgls) =(X(8.2.13)其中，打=(Q Jp)/；2u(8.2

20、.14)而P =In ： ii /T, Q 二 Int -巳 J2u/G2u(2 )如果：22 2 2、二一.未知，需要利用其估计量U、宁一.来替代。首先，采用与固定效应变截距面板数据模型相同的两步估计法估计参数建立样本回 归方程：将模型(8.2.9)y =： i X-r ui改写成(8.2.2)式的形式(8.2.15)y = g + X + u或者 y = (D X)+u丿令Pd 二D(DD)D , Md =1 -Pd以Md左乘模型(8.2.15)两边(8.2.16)MDy =m dd： m Dx mdu 二 MdX 1 M Du消除虚拟变量D对模型的影响，模型变成无常数项的回归模型，采用普

21、通最小二乘 法作第一步估计1,而得到?W =(xMDX)'xMDy( 8.2.17)此估计量又称 为内部估计。进而得到模型参数:-的第二步估计:?=(DD)'D (y-X ?W)( 8.2.18)由此求得的模型的残差平方和记为SSEW 。然后，以PD左乘模型（8.2.11）两边，可得FDy =PDX 1 PDv（8.2.19）对此模型，再采用普通最小二乘法作第一步估计1 ,而得到=（XFDX）XPDy（ 8220）此估计量称为 中间估计。进而得到模型参数:-的第二步估计:? =（D D）D （y X ?B）（8.2.21）由此求得的模型的残差平方和记为SSEB。2 2可证明二w

22、二SSEW/N（T -1） u （按概率收敛）A 222d二SS岳/ " " u /T （按概率收敛）由此即可求得 今、。实际中，可将？k?W/（T；?B）代入到（8.2.14）式中，即可得到3 的估计？'，从而即可求得 二3、二未知条件下模型参数的估计量；fgls =（X ?JX）X ?Jy（8.2.22）说明： 当二2uL二2：.,二：1 ,匕接近于数量阵时可直接采用OLS估计。 当匚L二2：.,： 0时，可采用上述固定效应变截距面板数据模型两步估计法进行估计。 随机效应变截距面板数据模型yitX Uiti 1,2,., N ; t 1,2,., T还可以扩展到

23、含有受某些与时间无关的解释变量影响的情况上去，这时模型变成yt" i + X R +z；+u（8.2.23）i = 1,2,., N ; t = 1,2,., T其中，Zi为某些与时间无关的解释变量向量，为其参数向量-o对此模型可采用工具变量法估计模型参数，建立样本方程模型。3、变截距面板数据模型的统计检验如果模型假定为变截距面板数据模型，但无法断定是固定效应还是随机效应，则可 通过以下检验来进行识别。即检验假设H0：；_.=O，这相当于检验 冷的方差是否为0方差性。如果接受检验 假设H。，则意味着为固定效应变截距面板数据模型；如果拒绝假设H。，则意味着为随机效应变截距面板数据模型。

24、两种检验法：（1）LM检验法：用于检验统计量NT （eDD e壮 2LM1 2（1）（ 8.2.24）2（T-1八 ee丿其中，e是模型拟和合后的残差向量；D仍然为前面的虚拟变量阵_i1D =i J（2） Hausmanj （哈斯曼基）检验法：是基于Wald检验而得到的，用于检验的统计量 为(8225)W=(?-?3ls4-：(?W-?Gls) 2(k)其中，3二 Cov( ?v) -Cov( ：gls)。§ 8.3变参数面板数据模型的参数估计假设：j =打、=i,j =1,2,., N，则变参数面板数据模型，由（8.1.2）为19yit=码 +Xi；A +Ut，i= 1,2,.,

25、N ; t = 1,2,., T其中=Ci1,【2,., '.k)'y2yiT),x(XiFFX i .X i T1U(i2U i .u(1 1. 1)”2+,X =小一y =若记 yi =( y1X2X1V2+=+Vn .LVi 1iiv：2则模型又可写成Xn(I ： i)二' u =" uy = Xrr ),(831)1固定效应变参数面板数据模型的参数估计如果模型(8.3.1 )中的参数1为固定向量，情况如下: 当V在不同截面之间不相关时，可以将整个模型分解成 N个不同截面模型，然后对每一截面模型，按一般采用时间序列数据进行多元回归分析方法进行估计。 当：

26、i为固定效应时，可直接采用OLS估计模型参数，建立样本方程模型，且所得到的模型参数估计具有无偏、一致、有效性。 当为随机效应时，则Vituit具有自相关性，这时 OLS估计法无效，由于Cov(Vj ,Vik)这时，可以先采用 OLS估计法得到Cov(v)二二的估计阵?，然后再采用 GLS估计模型 参数，建立样本模型。如果Vi( i =1,2,., N )之间具有相关性，这时，可以先采用OLS估计法得到Cov(v)的估计阵?，然后再采用 GLS估计模型参数，建立样本模型。13 2、随机效应变参数面板数据模型的参数估计假设：=打、-i - %, i,j =1,2,，N，则变参数面板数据模型可写成y

27、it =%+就 +Ut , i=12,N; t=1,2,T其中，：i = ( :i1, :i2,:ik)如果上述变参数面板数据模型为随机效应，则模型参数一：=(' ：2.J：，N)'为随机向量。令 i， -为确定性向量，j为随机向量，且满足r-i.2IijE(j)=O, Cov(3) =E(叩,."F'EdJiXO, E(vM)=Vi T，J j9 Ej10,j最后一条件意味着模型中参数冷为固定效应(因E(vivj)中不含二2 一.。仍然记 % =( y y2. . .%；)冷 $i /.X-T 知，i 1 u(2 u i u=，i T i) ,，r(1 1.

28、 . . 1Vi = r iUi_X1y2,xJn 一iX2X2a2=(l ： i)： uuQnXn,u 二U2_Un则可将模型重新写成(8.3.2)(838)17 对此模型参数估计须采用GLS法进行。由于Cov(v)七匸=(833)未知，因此，在还没进行模型参数估计之前，需要先估计?。为此，首先在给定样本数据下，对（8.3.2 ）式，采用OLS估计，可得到模型扰动项Vi的估计残差V，从而可求得扰动项 Vi的协方差阵的估计:(8.3.4)及上的估计：丄?)(?N i士？）丄、牝区人厂1N i(8.3.5)以及进一步，的估计:碁Xi?X： +席It最后即可求得工的估计：-h一忙(836)(837

29、)有了匕的估计?，就可对（8.3.2）式采用GLS估计，求得到模型参数估计量?Gls =(X ?X)X ?'y§ 8.4动态面板数据模型的参数估计1、动态面板数据模型的估计由§ 8.1的（8.1.1）式已知，假设被解释变量为y与k个解释变量x1,x2,.,xk有线性相关关系，则有面板数据模型(8.4.1)%i1X1iti2X2it ikXkit Uiti = 1,2,., N ; t = 1,2,., T若记Xit =( x1it,x2it,.,xkit)'，：('：i1, ：i2,., -ik)'，则上式可写成(842)i =1,2,.,

30、N ; t =1,2,., T且我们假定模型满足基本假设条件为uit iid （0, 2），即相互独立、服从以0为期望、二2为方差的相同分布。现在，我们把它作进一步扩展，假设被解释变量的当期值除了受k个解释变量的影响外，还受含有滞后被解释变量影响。这时，式（16.4.2）变成yit =码 +yit6 +Xi：0i +u，|S| <1（ 8.4.3）i 二 1,2,., N; t =1,2,., T其中，|6| <1是为了保证yj具有平稳性。称此模型为动态面板数据模型。该模型当然也可以具有滞后期更长的情况。如果我们将模型（8.4.3 ）式反复替代下去，即将yit+y+席 +u，|5J

31、 <1中的yit：用滞后一期表达式丫2=円 +yt, +x；/ +uz代入到，然后，再将其中的yit用滞后一期表达式二:i丫2Kt 才 i Uit代入.,如此替代t -1次，最后,就可将模型表达式化成为yitiyit j-i & -iu,i：1(847)_ . tt Jtdyit =% +yio3 +£ ©XitjBi +£ 6/Uit，$ < 1( 8.4.4)1 一5j =0j=0i = 1,2,., N ; t = 1,2,., T这时，视。的设定条件不同有不同的估计方法。如果引入与前同样记号, 令% 讥 %2.丁)；=(y° %1.$丁 J ,Xi =区 <2.冷),ui =(UilUi2.UT),i =(1L.L)则模型（8.4.3）