复变函数与积分变换(7)课件

1、1第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考2一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义: )( 个条件个条件在复平面内满足以下三在复平面内满足以下三当函数当函数zf;)( (1)在在复复平平面面内内处处处处解解析析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其其中中时时当当, exp exp(cossin )xzzzeyiy此函数称为复变数 的指数函数 记为有前例有3指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )(,2)(expArg,|ex

2、p|为任何整数为任何整数其中其中kkyzezx . exp 来来表表示示可可以以用用指指数数函函数数zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的的符符号号只只是是代代替替没没有有幂幂的的意意义义注注意意zez4 , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根据加法定理根据加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(为为任任何何整整数数其其中中k . 所没有的所没有的该性质是实变指数函数该性质是实变指数函数xe52. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 证证 , , 222111iyxziyxz 设设21expexpzz

3、左左端端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx .)exp(21右右端端 zz6例例3 的的周周期期求求函函数数. )( 5zezf 解解,2ikez 的的周周期期是是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 7二、对数函数二、对数函数1. 定义定义.ArglnLn , )( zizzwzfwezw记为称为对数函数的反函数 .2 , )(

4、 , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz 8,arg Arg ArglnLn zzzizz取取主主值值中中如如果果将将 . Ln ln Ln 的主值称为，记为一单值分支函数，得zzz.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一个分支的一个分支称为称为上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zk9例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln i

5、k 因因为为 ln2. Ln2 的的主主值值就就是是所所以以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为为整整数数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.10例例5解解. 031 iez解解方方程程,31 iez 因因为为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k11例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求求下下列列各各式式的的值值)32(1

6、)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k12.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln132. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(l

7、nzzzz 14证证 (3) , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy,arglim0 zy , ln arg是是单单值值的的内内的的反反函函数数在在区区域域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z . ln , ,处处解析，连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以z15三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数ba1. 乘幂的定义乘幂的定义 , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值

8、的由于由于bakaiaa , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabe16ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有单一的值具有单一的值ba ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk17特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaa

9、e ) (项项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因因子子 n.aaa ) (个个因因子子 n ,)( 1 )2时时分数分数当当nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln118 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其其中中; , bzwza 就就得得到到一一般般的的幂幂函函数数为为一一复复变变数数如如果果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的的反反函函数数及及数数就就分分别别得得到到通通常常的的幂幂函函时时与与当当19例例7 7 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln122

10、1e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其其中中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其其中中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计计算算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik202. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个个分分支支具具有有是是多多值值函函数数幂幂函函数数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, n

11、nzz1 zneLn1.111 nzn21它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, ,) 1 ( (3)也是一个多值函数也是一个多值函数两种情况外两种情况外与与除去除去幂函数幂函数nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是无穷多值的为无理数或复数时当b22四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现

12、在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.23,2cos izizeez 我我们们定定义义余余弦弦函函数数为为.2sin izizeez 正正弦弦函函数数为为.cos , sin ,是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数容容易易证证明明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2 为为周周期期的的是是以以正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数都都 24有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1

13、(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz 25 , 时时为为纯纯虚虚数数当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实变函数

14、完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )26其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余余切切函函数数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余余割割函函数数 . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的类似类似和和与与zz272. 双曲函数的定义双曲函数的定义,2cosh zzeez 为为我们定义双曲余弦函数我们定义双曲余弦函数,2sinh zzeez 双双曲曲正正弦弦函函数数为为.tanh zzzzeeeez 双双曲曲正

15、正切切函函数数为为. , 的定义完全一致的定义完全一致函数函数它与高等数学中的双曲它与高等数学中的双曲时时为实数为实数当当xz28.cosh , sinh ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz它们的导数分别为它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 并有如下公式并有如下公式:,coscoshyyi .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,i 2.sin)(coshzz .sinsinhyiyi 29五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双

16、曲函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , cos zwwz记作称为反余弦函数的反函数,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方方程程的的根根为为两端取对数得两端取对数得).1Ln(cosArc2 zziz30 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:),1Ln(Arcsin2ziziz .11Ln2Arctaniziziz 2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义),1Ln( Arsinh2 zzz反反双双曲曲正正弦弦),1

17、Ln(osh Ar2 zzzc反反双双曲曲余余弦弦.11Ln21 Artanhzzz 反反双双曲曲正正切切31六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质, 又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性. 如如: 1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性) 2 (i周周期期为为2. 负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数32思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函