2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学校高二上学期期中考试数学试题（理）（解析版）

1、辽源田家炳高中2020-2021学年度上学期期中考试试卷高二数学（理）一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1p：点p在直线y2x3上，q：点p在抛物线yx2上，下面使“pq”为真命题的一个点p(x，y)是()a(0，3)b(1,2) c(1，1) d(1,1)2已知f1(8,3)，f2(2,3)，动点p满足|pf1|pf2|10，则p点的轨迹是()a双曲线b双曲线的一支 c直线 d一条射线3.命题“xr，nn*，使得nx2”的否定形式是()axr，nn*，使得nx2 bxr，nn*，使得nx2cxr，nn*，使得nx2 dxr，nn*，使得nx24若点p到直线x1的距离比它

2、到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为()a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线5已知m，nr，则“m·n0”是“方程1表示双曲线”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()a.1 b.1 cx21 d.17与椭圆y21共焦点且过点p(2,1)的双曲线方程是()a.y21 b.y21 c.1 dx218已知abc的顶点b，c在椭圆y21上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是()a2 b6 c4 d129.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率

3、为()a. b. c. d.10已知点p(8，a)在抛物线y24px上，且点p到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()a2b4 c8 d1611已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()a.y21 bx21 c.1 d.112已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()a.或 b.或 c.或 d.二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）13已知椭圆1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于_14若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m_.15已知动圆m过定点a(3,0)，并且内切于定圆b：(

4、x3)2y264，则动圆圆心m的轨迹方程16.已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，则|pa|pf|的最小值为三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.(本小题满分12分)求椭圆4x29y236的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率18.(本小题满分12分)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程19.(本小题满分12分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点m(6,6)；(2)焦点f在直线l：3x2y60上20(本小题满分12分)已知双曲线c：1(a0，b

5、0)的离心率为，且.(1)求双曲线c的方程；(2)已知直线xym0与双曲线c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆x2y25上，求m的值21(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点a(0，b)和b(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程(2)已知定点e(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于c，d两点，问：是否存在k的值，使以cd为直径的圆过e点，请说明理由22.(本小题满分10分)已知椭圆c：1(ab0)的一个顶点为a(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1)求椭圆c的方程；(2)当amn的面积为时，求k的值1p：点p在直线y

6、2x3上，q：点p在抛物线yx2上，下面使“pq”为真命题的一个点p(x，y)是( )a(0，3) b(1,2) c(1，1) d(1,1)解析：选c 使“pq”为真命题的点即为直线y2x3与抛物线yx2的交点2已知f1(8,3)，f2(2,3)，动点p满足|pf1|pf2|10，则p点的轨迹是( )a双曲线 b双曲线的一支 c直线 d一条射线解析：选d f1，f2是定点，且|f1f2|10，所以满足条件|pf1|pf2|10的点p的轨迹应为一条射线3 (浙江高考)命题“xr，nn*，使得nx2”的否定形式是( )axr，nn*，使得nx2 bxr，nn*，使得nx2cxr，nn*，使得nx2

7、 dxr，nn*，使得nx2解析 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xr，nn*，使得nx2”的否定形式为“xr，nn*，使得nx2”答案 d4若点p到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为( )a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线解析：选d 由题意得点p到直线x2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点p的轨迹是抛物线5已知m，nr，则“m·n0”是“方程1表示双曲线”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选c 若方程1表示双曲线，则必有m·n0；当m·n0时，方程1表

8、示双曲线所以“m·n0”是“方程1表示双曲线”的充要条件6已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )a.1 b.1 cx21 d.1解析：选d 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，a2246，因此椭圆方程为1，故选d.7与椭圆y21共焦点且过点p(2,1)的双曲线方程是( )a.y21 b.y21 c.1 dx21解析：选b 法一：椭圆y21的焦点坐标是(±，0)设双曲线方程为1(a>0，b>0)，因为双曲线过点p(2,1)，所以1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.法二：设所求双曲线方程为1(1<<4)，将点

9、p(2,1)的坐标代入可得1，解得2(2舍去)，所以所求双曲线方程为y21.8已知abc的顶点b，c在椭圆y21上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是( )a2 b6 c4 d12解析：选c 由于abc的周长与焦点有关，设另一焦点为f，利用椭圆的定义，|ba|bf|2，|ca|cf|2，便可求得abc的周长为4.9.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )a. b. c. d.解析：选a 依题意，bf1f2是正三角形在rtobf2中，|of2|c，|bf2|a，of2b60°，acos 60°c，即椭圆

10、的离心率e.10已知点p(8，a)在抛物线y24px上，且点p到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )a2 b4 c8 d16解析：选b 准线方程为xp，8p10，p2.焦点到准线的距离为2p4.11已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为( )a.y21 bx21 c.1 d.1解析：选a 由焦距为2，得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.12已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )a.或 b.或 c.或 d.解析：选b 由焦点弦长

11、公式|ab|得12，sin ，或.13已知椭圆1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于_解析：由题意得m210m0，解得6m10.又a2m2，b210m，则c2a2b22m124，解得m8.答案：81若方程1表示双曲线，则k的取值范围是_解析：由题意知，(1k)(1k)0，即1k1.答案：(1,1)14若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m_.解析：抛物线焦点为(3,0)，3且m0，则m6.答案：615 已知动圆m过定点a(3,0)，并且内切于定圆b：(x3)2y264，求动圆圆心m的轨迹方程解 设动圆m的半径为r，则|ma|r，|mb|8r，|ma|mb|8，且8|ab|6，动点

12、m的轨迹是椭圆，设其方程为1(a>b>0)，且焦点分别是a(3,0)，b(3,0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心m的轨迹方程是1.16. 已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，则|pa|pf|的最小值为解 如图，作pnl于n(l为准线)，作abl于b，则|pa|pf|pa|pn|ab|，当且仅当p为ab与抛物线的交点时，取等号(|pa|pf|)min|ab|3.此时yp2，代入抛物线得xp2，p点坐标为(2,2)17. (本小题满分12分)求椭圆4x29y236的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 椭圆方

13、程变形为1，a3，b2，c .椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为f1(，0)，f2(，0)，顶点坐标为a1(3,0)，a2(3,0)，b1(0，2)，b2(0,2)，离心率e.18.(本小题满分12分)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解 双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为y±x.19.(本小题满分12分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点m(6,6

14、)；(2)焦点f在直线l：3x2y60上解 (1)由于点m(6,6)在第二象限，过m的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点m(6,6)代入，可得362p×(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点m(6,6)代入可得，362p×6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是f(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是f

15、(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.20(本小题满分12分)已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，且.(1)求双曲线c的方程；(2)已知直线xym0与双曲线c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆x2y25上，求m的值解：(1)由题意得解得所以b2c2a22.所以双曲线c的方程为x21.(2)设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段ab的中点为m(x0，y0)由得x22mxm220(判别式0)所以x0m，y0x0m2m.因为点m(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25.故m±

16、1.21(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点a(0，b)和b(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程(2)已知定点e(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于c，d两点，问：是否存在k的值，使以cd为直径的圆过e点，请说明理由解：(1)直线ab方程为：bxayab0.依题意3解得椭圆方程为y21.(2)假若存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设c(x1，y1)，d(x2，y2)，则而y1·y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以cd为直径的圆过点e(1,0)，当且仅当cede时，则

17、·1，即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使以cd为直径的圆过点e.22.(本小题满分10分)已知椭圆c：1(ab0)的一个顶点为a(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1)求椭圆c的方程；(2)当amn的面积为时，求k的值 解题流程 6椭圆1的焦距是2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3.答案：3或5椭圆1(ab0)的离心率为，且椭圆与直

18、线x2y80相交于p，q，且|pq|，求椭圆的方程解：e，b2a2.椭圆的方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，由弦长公式得10×642(64a2)a236，b29.椭圆的方程为1.例3 已知点p(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求直线l的方程解 法一：由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360.将直线方程代入椭圆的方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.x1x28，k.直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.法二：设直线l与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，两式相减，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2