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文档简介
1、高考复习资料第四节 函数yasin(x)的图象及简单三角函数模型的应用【回顾知识点】一、必记3个知识点1函数ysin x的图象变换得到yasin(x)(a0,0)的图象的步骤2用五点法画yasin(x)一个周期内的简图用五点法画yasin(x)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示xx_yasin(x)0a0a03.简谐振动yasin(x)中的有关物理量yasin(x)(a0,0),x0,)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相at_f_ _x二、必明3个易误点1函数图象变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱
2、导公式化为同名函数3由yasin x的图象得到yasin(x)的图象时,需平移的单位数应为,而不是|.【小题热身锻炼】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的()(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致()(3)函数yasin(x)的最小正周期为t.()(4)把函数ysin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数题目解析式为ysinx.()二、教材改编2必修4·p56练习 t3改编函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()a2,
3、 b2,c2, d2,3必修4·p55练习 t2改编为了得到函数y2sin的图象,可以将函数y2sin 2x的图象()a向右平移个单位长度 b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度 d向左平移个单位长度三、易错易混4函数f(x)sin,xr的最小正周期为()a.b c2d45函数ycos x|tan x|的图象为()四、走进高考62020·天津卷已知函数f(x)sin.给出下列结论:f(x)的最小正周期为2;f是f(x)的最大值;把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数yf(x)的图象其中所有正确结论的序号是()a bc d函数yasin(x)的图象及
4、变换自主练透型12021·广州模拟将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图象,则f(x)()asin bsincsin dsin2已知函数ycos.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在区间0,内的图象;(3)说明ycos的图象可由ycos x的图象经过怎样的变换而得到悟·技法函数yasin(x)(a>0,>0)的图象的两种作法五点法设zx,由z取0,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yasin(x)的图象,有两
5、种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提示平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值.考点二由图象确定yasin(x)的题目解析式互动讲练型例1(1)2020·全国卷设函数f(x)cos在,的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为()a.b.c.d.(2)2021·武昌区高三调研函数f(x)asin(x)的部分图象如图所示,则f(x)_.悟·技法确定yasin(x)b(a>0,>0)的题目解析式的步骤(1)求a,b,确定函数的最大值m和最小值m,则a,b.(2)求,确定函数的周期t,则.(3)求,常用方法有代入
6、法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.变式练(着眼于举一反三)12021·郑州测试将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示,则函数f(x)的题目解析式是()af(x)sin(xr)bf(x)sin(xr)cf(x)sin(xr)df(x)sin(xr)22021·江西省名校高三教学质量检测已知函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间为()a.(kz)b.(kz)c.(kz)d.(kz)考点三
7、三角函数图象性质的综合应用分层深化型考向一:三角函数模型的应用例2如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()a5b6c8d10考向二:函数零点(方程根)问题例32021·哈尔滨六中模拟设函数f(x)sin,x,若方程f(x)a恰好有三个根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1x2x3的取值范围是()a. b.c. d.考向三:三角函数图象性质的综合例42020·江苏卷将函数y3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_悟·技法函数yas
8、in(x)(a0,0)的性质(1)奇偶性:k时,函数yasin(x)为奇函数;k(kz)时,函数yasin(x)为偶函数(2)周期性:yasin(x)具有周期性,其最小正周期为t.(3)单调性:根据ysin t和tx(0)的单调性来研究,由2kx2k(kz)得单调增区间;由2kx2k(kz)得单调减区间(4)对称性:利用ysin x的对称中心为(k,0)(kz)求解,令xk(kz),求得对称中心坐标利用ysin x的对称轴为xk(kz)求解,令xk(kz)得其对称轴方程.同类练(着眼于触类旁通)3.2021·四川树德中学模拟为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,
9、设秒针针尖的坐标为p(x,y)若针尖的初始坐标为p0,当秒针从过点p0的位置(此时t0)开始走时,点p的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为()aysin bysincysin dysin变式练(着眼于举一反三)42021·湖北联考已知函数f(x)sin(x)cos(x)cos2(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为,若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到奇函数g(x)的图象,则f(x)的一个单调递增区间为()a.b.c. d.52020·北京卷若函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2,则常数的一个取值为_拓展练(着眼于迁移应用)62021·
10、;山东潍坊高考模拟考试若函数f(x)2sin(x2)·cos x(0<<)的图象过点(0,2),则下列说法正确的是()a点(,0)是yf(x)的一个对称中心b直线x是yf(x)的一条对称轴c函数yf(x)的最小正周期是2d函数yf(x)的值域是0,272019·全国卷设函数f(x)sin (>0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是()a bc d第四节函数yasin(x)的图象及简单三角函数模型的应用【回顾
11、知识点】|aa02【小题热身锻炼】1参考答案:(1)(2)×(3)×(4)×2题目解析:由振幅、频率和初相的定义可知,函数y2sin的振幅为2,频率为,初相为.故选a项参考答案:a3题目解析:因为y2sin 2x2sin,所以将y2sin 2x的图象向右平移个单位长度可得y2sin的图象参考答案:a4题目解析:最小正周期为t4.参考答案:d5题目解析:因为|tan x|0,所以当x时,cos x0,y0;当x时,cos x0,y0.参考答案:c6题目解析:f(x)sin的最小正周期为2,正确;sin1f为f(x)的最大值,错误;将ysin x的图象上所有点向左平移
12、个单位长度,得到f(x)sin的图象,正确故选b.参考答案:b课堂考点突破考点一1题目解析:由题意知,先将函数ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象,故f(x)sinsin.参考答案:b2题目解析:(1)函数ycos的振幅为1,周期t,初相是.(2)列表:2x0x0y1010描点,连线(3)解法一把ycos x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到ycos的图象;再把ycos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到ycos的图象解法二将ycos x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到ycos 2x的图
13、象;再将ycos 2x的图象向右平移个单位长度,得到ycoscos的图象考点二例1题目解析:(1)解法一设函数f(x)的最小正周期为t,由题图可得t<且>(),所以<t<,又因为|,所以<|<.由题图可知f0,且是函数f(x)的上升零点,所以2k(kz),所以2k(kz),所以|3k1|(kz)又因为<|<,所以k0,所以|,所以t.故选c.解法二(五点法)由函数f(x)的图象知,×,解得,所以函数f(x)的最小正周期为,故选c.(2)结合题图知函数f(x)的最小正周期t4×,由t得2,结合题图知a,所以f(x)sin(2x)
14、,因为在f(x)的图象上,所以0sin2×,所以k(kz),因为0<<,所以,所以f(x)sin.参考答案:(1)c(2)sin变式练1题目解析:依题意,设g(x)sin(x),其中>0,|<,则有t4,2,gsin1,则,因此g(x)sin,f(x)gsinsin,故选a.参考答案:a2题目解析:通解由题图知,函数f(x)cos(x)的最小正周期t,所以2.将点代入f(x)cos(2x),得1cos(2×),得2k,kz,则2k,kz,又|<,所以,所以f(x)cos.令2k2x2k,kz,得kxk,kz,所以函数f(x)的单调递减区间为(k
15、z)优解由题图知,函数f(x)cos(x)的最小正周期t,故排除a,c.又函数f(x)在上单调递减,所以函数f(x)cos(x)的单调递减区间为(kz)参考答案:d考点三例2题目解析:由图象可知,ymin2,因为ymin3k,所以3k2,解得k5,所以这段时间水深的最大值是ymax3k358.参考答案:c例3题目解析:由题意x,则2x,画出函数的大致图象,如图所示,由图得,当a<1时,方程f(x)a恰好有三个根,由2x得x,由2x得x,由图知,点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x对称,点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x对称,x1x2,x3<,则x1x2x3<,即x1
16、x2x3的取值范围是,故选b.参考答案:b例4题目解析:将函数y3sin的图象向右平移个单位长度,得到y3sin3sin的图象,由2xk,kz,得对称轴方程为xk,kz,其中与y轴最近的对称轴的方程为x.参考答案:x同类练3题目解析:t时刻,秒针针尖经过的圆弧对应的角度为×2,以x轴正半轴为始边,p(x,y)所在射线为终边,得p0对应的角度为,则p(x,y)对应的角度为,由p0可知p(x,y)在单位圆上,所以t时刻p(x,y)的纵坐标ysin,故选c.秒杀解t0时,纵坐标y,排除bd;t10时,观察图形,此时纵坐标y1,排除a.选c.参考答案:c变式练4题目解析:f(x)sin(2x
17、2)cos(2x2)sin,函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为,×,1,将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到奇函数g(x)的图象,g(x)sinsin,2k(kz),(kz),又0,f(x)sin,令2x(kz),得x(kz),取k0,得x,故选c.参考答案:c5题目解析:易知当ysin(x),ycos x同时取得最大值1时,函数f(x)sin(x)cos x取得最大值2,故sin(x)cos x,则2k,kz,故常数的一个取值为.参考答案:拓展练6题目解析:由题意,函数f(x)2sin(x2)·cos x(0<<)的图象过点(0,2),可得2sin 22,即sin 21,0<<,故f(x)
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