平面向量的加法(2)课件

1、知识回顾知识回顾 1. 向量与数量有何区别向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量向量怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示点字母表示.如aAB,长度相等长度相等

2、,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因为如此正因为如此,我们研究的向量是我们研究的向量是与起点无关与起点无关的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.)规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行; 记作记作:0/a如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线重合，则称这两个向量平行或共线. . 平行向量平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量. 表示为：表示为：/ab4.

3、什么叫平行什么叫平行(共线共线)向量向量? 两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则. 上海上海香港香港台北台北引入引入1 1： 由于大陆和台由于大陆和台湾没有直航，因此要到湾没有直航，因此要到台北，乘飞机要先从上台北，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到海到香港，再从香港到台北，则飞机的位移是台北，则飞机的位移是多少多少? ?上海上海香港香港台北台北OAB飞机从上海到香港，再从香港到台北，两次位移的结果与飞机直接从上海到台北的位移显然是相同的，物理中

4、把后一次位移称为前两次位移的和类似地，我们可以获得向量的加法运算，OA+AB=OB向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾连首尾连首尾相接首尾相接作法（1）在平面内任取一点A,abab +已知向量 求作向量.,)2(bBCaAB作baAC则位移的合成可以看作向量加法三角形法 则 的 物 理 模 型尝试练习一：尝试练习一：A

5、CABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据图示填空：）根据图示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 则则 OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：思考思考1：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，加法的时，加法的三角形三角形法法 则则是否还适用？如何作出两个向量的和？是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，则A

6、BCBCAabab00aaa规 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，则（或） 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边| |ababab 当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：| |ababOFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力引入引入2：图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO从力学的

7、观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？abABC作法（1）在平面内任取一点OOAa OBb =(2)作 ,O Cab作=+(3 ) 向量加法的平行四边形法则这种作法叫做向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型O,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法形法。起点相同起点相同例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b

8、 abab 则则 OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，则，则abba BCA平行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则和和平行四边形平行四边形

9、法则作出法则作出a b 、ab abbbaBCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b 数的加法满足交换律与结合律数的加法满足交换律与结合律,即对任意即对任意a,bR,有有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量任意向量a,b的加法是否也满足交换律与的加法是否也满足交换律与结合律结合律?abba()().a b c a b c 例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的

10、速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南

11、岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与

12、水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBCABCDEFO1(2)(3)OABCDEFOA OCBC FEOA FE 例1：已知 为正六边形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（. 03 FEOA）（补充练习例2: 求向量 之和. A AB B+ +D DF F+ +C CD D+ +B BC C+ +F FA A解解: : = =A AB B+ +B BC C+ +C CD D+ +D DF F+ +F FA A = =A AC C+ +C CDD+ +D DF F+ +F FA A = =A AD D+ +D DF F+ +F FA A = =A

13、AF F+ +F FA A = = 0 0 A AB B+ +DD F F+ +C C DD+ +B B C C+ +F FA A A AB B+ +D DF F+ +C CD D+ +B BC C+ +F FA A= =0 0 )4( )3( )2( ) 1 (edcdbadcba.化简_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA_)3(DCCABDAB.根据图示填空abcdefgABDECcfgfADMN0巩固练习:课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算)+=+=+abba( ab )ca( bc学习导航学习导航预习目标预习目标重点难点重点难点

14、重点：向量减法法则的理解重点：向量减法法则的理解难点：向量减法的运算难点：向量减法的运算1、向量加法的、向量加法的三角形法则三角形法则baOa a a a a a a abbbbbbbBbaAa+b温故知新温故知新首尾相接，连首尾首尾相接，连首尾 baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b2、向量加法的、向量加法的平行四边形法则平行四边形法则起点相同连对角起点相同连对角3、向量加法的、向量加法的交换律：交换律：4、向量加法的、向量加法的交换律：交换律：)()(cbacba .abba 探究探究向量是否有减法向量是否有减法? ?如何理解向量的减法如何理解向量的减法? ?我们知

15、道我们知道, ,减去一个数等于加上这个数的相反减去一个数等于加上这个数的相反数，如数，如:5-1=5+(-1):5-1=5+(-1)向量的减法是否也有类似的法则：向量的减法是否也有类似的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？一、相反向量一、相反向量a定义：与定义：与 长度相等，方向相反的向量，长度相等，方向相反的向量，叫做叫做 的相反向量的相反向量，记作：，记作： aa 结论：结论：（1）)( a（2）零向量的相反向量仍是零向量）零向量的相反向量仍是零向量,aaaa)()()3(（4）如果是）如果是a,b互为相反的向量，那么互为相反的向量，那么b

16、aba, 00a0ba0a a在计算中常用,BAAB 二、向量减法：二、向量减法：定义：定义：)( baba 即：减去一个向量相当于加上这个向量的即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。相反向量。把把 也叫做也叫做 与与 的差。的差。 与与 的差的差也是也是一个向量一个向量。ba abab三、向量减法的作图方法：三、向量减法的作图方法：呢？如何作出根据减法的定义，已知baba,abBACab设设,AB b ACa DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ a b, ,a bab 已知根

17、据减法的定义如何作出呢？你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ ()ab :ab的的作作图图方方法法四、向量减法的几何意义四、向量减法的几何意义:abaOAbBab将两向量平移将两向量平移,使它使它们有相同的起点们有相同的起点.连接两向量的终点连接两向量的终点.箭头的方向是指向箭头的方向是指向“被减数被减数”的终点的终点.baab 减减向向量量 的的终终点点被被减减向向量量 的的终终，这这就就是是向向量量点点减减表表示示从从指指向向的的向向量量法法的的几几何何意意义义. .abba 表表示示与与 的的和和等等于于也也可可理理解解为为：的的向向量量.

18、.“共起点，连终点，指向被减向量共起点，连终点，指向被减向量”练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA (1)如图，如果从如图，如果从a的终点到的终点到b的终点作向量，那么的终点作向量，那么所得向量是什么？所得向量是什么？思考思考? ?ab？ab a bab 、线则应样 ：若若向向量量共共，怎怎作作出出呢呢？思思考考abab（1）（2）OABABOabab| | |a bababa bababba 若若 ，方方向向相相反反，若若 ，方方向向相相同同，（或或）| |任意向量 ， ，有|a ba

19、babab | |任意向量 ， ，有|a bababab | |任意向量 ， ，有|a bababab 1., , , ,.a b c dab cd 例 已知向量求作向量ababccddABCD O.,. 2.,. 1:为为所所求求则则作作作作在在平平面面上上任任取取点点作作法法dcDCbaBADCBAdODcOCbOBaOAO 练习, ,.a bab 如图，已知求作abaaabbb（1）（2）（3）（4）abababABoABoABoABBAOAOBab oabab例2：选择题： ( )( )( )( )ABACDBA ADB ACC CDD DC （2） ( )( )( )()ABBCAD

20、A ADB CDC DBD DC （1）DCDBACbabADaABABCD,. 3表示向量用已知平行四边形例abABCD解：有向量加法的平行四边形法则，解：有向量加法的平行四边形法则， 得得ACab;由向量的减法可得，由向量的减法可得，.DBABADab abABCD变式训练一：当变式训练一：当a a , ,b b满足什么条件时，满足什么条件时，a a + +b b与与a a b b垂直？垂直？_ _ | |ab变式训练二：当变式训练二：当a a , ,b b满足什么条件时，满足什么条件时，|a |a + +b b|=|=|a a b b| |？_ _ ab和和 互互相相垂垂直直baba练习1_;_;_;_;_.ABADBABCBCBAODOAOAOB 填空：DB BA ADAC CA BAAB重要提示重要提示你能将减法运你能将减法运算转化为加法算转化为加法运算吗？运算吗？ (一一)知识知识 1理解相反向量的概念理解相反向量的概念 2. 2. 理解向量减法的定义，理解向量减法的定义， 3