二次函数知识点总结大全

1、二次函数1 .二次函数的定义：形如7 = °a, b, c为常数)的函数为二次函数.2、二次函数的解析式三种形式b .y = a(x-Y la4t/c-/?24a|一般式 |y=ax2 +bx+c(aHO)顶点式 |y = a(x 一 h)2 + k两根式 y = ax - xx )x -x2)3、二次函数卩二汝+加+二的性质: 对称轴：一£顶点坐标:(£)4a与y轴交点坐标(O, C)增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小：对称轴右边，y随x增大而增大 当avO时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小(1)二次函数y=ax2

2、 (aO)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴：当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a<0时，抛物线开 口向下，顶点是最高点：二次函数尹二。严十加+巴b_b_当a>0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x>-2a, y随x的增大而增大，xV-2a,y随x的增大而减小：当aVO时，抛物线开口向下，图象有最髙点b4处一沪&X = x 二一(3)当a>0时，当时，函数有最小值 4a .当aVO时，当2a时，函数有最大值Aac-b24a4.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的各项系数a、b、c对其图象的影响(l) a决能抛物线的开口方向和开口大

3、小：a>0,开口向上：aVO,开口向下.lai的越大，开口越小.bX "(2) a与b决泄抛物线对称轴的位置：a、b同号.抛物线的对称轴(即宜线2巧或顶点在y轴左侧：hx ="a、b异号，抛物线的对称轴(即直线2j)或顶点在y轴右侧；(左同右异)：b=0时，抛物线的对称轴是y轴.(3) c决泄抛物线与y轴交点(0, c)的位宜：c>0,抛物线与y轴交于正半轴：cVO,抛物线与y轴交于负 半轴：c=0,抛物线与y轴交点是坐标原点.c相同的抛物线都过点(0, c)这些内容应该能够由数得 形、依形判数.5、二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2 +bx+c与x轴

4、交点的横坐标xi.x?是一元二次方程ax2 +bx+c=O (aHO)的根。抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=Ob2 -4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；b2 -4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点：b2 -4ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点6、图象的平移(1) 配方 y = a(x-h)2 +k ,确定顶点(h,k)(2) 对x轴左加右减：对y轴 上加下减7、二次函数图像画法：勾画草图关键点：开口方向 对称轴 顶点 与x轴

5、交点 与y轴交点【典型例题】一、选择题(每题5分，共30分)1. 二次函数y=x2+bx+c,若b+c=O,则它的图象一立过点()A.(-l,-l)B.(l,-DC.(-l,l)D.(l,l)2. 若直线尸亦+b(abR)不过第三象限侧抛物线y=ax2+bx的顶点所在的象限是()A B.二C.三D.四3. 函数y=ax2+bx+c中，若ac<0,则它的图象与x轴的位置关系为()A.无交点B.有1个交点；C.有两个交点 D.不确定4. 抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为()A.y=2x2-2x4B.y=-2x2+2x-4:C.y=x2+x-2;D.y=2x2

6、+2x-4二次函数的概念例1 (基础).二次函数y = -3x2-6x + 5的图像的顶点坐标是()A. (-1, 8) B. (1, 8) C (-1, 2) D (1, -4)例2下列命题中正确的是 若b24ac>0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 若b24ac=0,贝I二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。 当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c 一左过y轴上一左点。 若抛物线y=ax-+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=O有两个相等的实数根。 若抛物线y=ax2+bx+c

7、与x轴有两个交点A、B,与y轴交于c点，c=4, SaAbc=6»则抛物线解析式为y=x2 5x+4o 若抛物线y=ax2+bx+c (aO)的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根。 若抛物线y=ax2+bx+c (aHO)经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=O必有一根为0。 若ab+c=2t则抛物线y=ax2+bx+c (aHO)必过一左点。(提醒：将x=l和x=l代入)若一元二次方程ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。若b=0,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左

8、边，一个在原点右边。二次函数的性质例3若二次函数y = °疋+加一4的图像开口向上，与x轴的交点为(4. 0),(2, 0)知，此抛物线的对称轴为直线x=l,此时比=-1,花=2时，对应的屮与y?的大小关系是()A. Y)<y2 B. y=y2 C. Y)>y2 D.不确定二次函数图像性质(共存问题、符号问题)例5.函数尸“兀+1与尸卅+加+1 (府0)的图象可能是()例6已知二次函数y=/2+bx+c的图象如图.则下列5个代数式：ac, a+b+c, 4a2b+c, 中，其值大于0的个数为()A. 2B3C、0D、1填空题1若抛物线戶x2+(ml)x+(m+3)顶点在y轴上则n匸2. 把抛物线y=|x2向左平移三个单位，再向下平移两个单位所得的关系式为3. 抛物线y=ax2+12x-19顶点横坐标