2桥涵水文第二章

1、第二章第二章 水文统计原理水文统计原理武汉理工大学第五节 统计参数随机变量的频率分布特征和频率分布曲线，能够用该系列的几个数值特征值来确定。这些具体数值常称为统计参数。第五节 统计参数 研究分布的数值特征（统计参数）的重要意义在于:需要用一些数值特征来表示一个已知的概率分布。对于一个未知分布，可以通过数值特征来估计它的分布。在水文计算中，通常只掌握样本系列的统计参数来推求总体的规律。水文统计中常用的统计参数有三个：均值x 、变差系数cv、偏差系数cs。第五节 统计参数 一 均值、中值、众值第五节 统计参数均值是系列中随机变量的算术平均数。离散变量（出现次数相同）：第五节 统计参数第五节 统计参

2、数均值是系列中随机变量的算术平均数。离散变量（出现次数不同）：第五节 统计参数均值是系列中随机变量的算术平均数。连续变量：模比系数：各个变量与均值的比值，以k表示。对于任一变量xi，有：xxkii第五节 统计参数均值的意义：1）反映变量系列在数值上的大小；2）是系列的分布中心，即几率分布中心处的变量。密度曲线中，其垂线是曲线下方面积的重心轴。第五节 统计参数理论和实践都证明，当实测的资料系列较长时，均值趋于稳定。因此，由较长系列实测资料推求的均值，可近似地代替总体的均值。第五节 统计参数均值表示系列的平均情况，它表明系列总水平的高低，可供系列之间比较用。例如，兰州多年平均降水量为330mm，北

3、京为650mm，而峨眉则达1585mm，说明兰州的降水少于北京，更小于峨眉。各地年降水量或其它水文特征值都可以用均值反映出来。所以，均值不但是反映分布的一个重要参数，而且是水文现象的一个重要特征值。第五节 统计参数中值：位置处于系列排序正中间的那个变量：p为50。 第五节 统计参数中值的意义：1）系列大于中值和小于中值的随机变量出现几率相同；2）是系列中的中间项，比中值大的和比中值小的变量恰好各占一半。密度曲线中，其垂线是曲线下方面积的平分线。反映系列中间项和密度曲线的位置。第五节 统计参数众值：系列中出现次数最多的那个变量。 第五节 统计参数众值的意义：1）系列中几率最大的变量；2）密度曲线

4、中，是曲线峰顶处的横坐标值。反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。第五节 统计参数均值、中值、众值的位置决定曲线分布的偏态：正偏态、负偏态、正态第五节 统计参数二 均方差和变差系数 均值只能反映系列的水平，却不能说明系列对其均值的离散程度。例如，有甲、乙两个系列： 甲: 10，50， 90 乙: 49, 50, 51 它们的均值都是50，但甲系列变动幅度大，而乙系列变动幅度却很小。这种变化特征，可以利用均方差和变差系数来说明。第五节 统计参数二 均方差和变差系数 均方差和变差系数表明系列分布对均值是比较分散还是集中，能反映频率分布对均值的离散程度。第五节 统计参数二 均方差和变差系数n 离均差

5、：变量与均值的差值。表示变量间变化幅 度的大小。第五节 统计参数二 均方差和变差系数n 均方差：离均差平方的平均数的平方根，称为均方差。（对总体）第五节 统计参数二 均方差和变差系数均方差：用样本代表总体求均方差时乘以修正系数 ，得：（对样本）1nn第五节 统计参数二 均方差和变差系数变差系数（离差系数）： （对总体）第五节 统计参数二 均方差和变差系数用样本代表总体求均方差时乘以修正系数 ，得： 1nn（对样本）第五节 统计参数二 均方差 和变差系数cv对水文现象来说，各水文特征值的变差系数cv大小反映了该特征值对其均值的相对变化幅度的平均值，它与流域的大小及河流所在的地区有关。第五节 统计

6、参数二 均方差 和变差系数cv一般地，大流域河流较小流域河流的水文特征值变化幅度小，因此，大流域河流的cv小，小流域河流的cv大，平原和山区河流比较，平原河流cv小，山区河流的cv大，南方河流与北方河流比较，南方河流 cv小，北方河流的cv大。融雪洪水的cv较稳定，而暴雨洪水的cv值不稳定。第五节 统计参数三 偏差系数cs偏差系数：表明系列分布对均值是对称的还是不对称的，反映频率分布对均值的偏斜程度。 第五节 统计参数三 偏差系数cs（对总体）第五节 统计参数三 偏差系数cs用样本代表总体求均方差时乘以修正系数 ，得： 1nn（对样本）第五节 统计参数第五节 统计参数三 偏差系数cs水文现象一

7、般都属于正偏(cso)。即出现大于均值的特征值次数少但离差值大，而出现小于均值的特征值次数多但离差值小。水文量值一般小于均值出现机会多，平均值对于的p总是小于50。第五节 统计参数三 偏差系数cs利用式由样本估计总体cs值时，必须有百年以上资料，才能获得较为满意的结果。实际上，水文资料很少有百年以上资料的，因此，在实际水文计算中，一般不用式计cs值。而是根据经验或者地区性变化规律直接选定。第五节 统计参数四 统计参数同密度曲线及频率曲线的关系第五节 统计参数统计参数同密度曲线的关系均值：反映密度曲线的位置变化情况，其它值不变时，曲线位置随均值的变化沿x轴左右移动。第五节 统计参数统计参数同密度

8、曲线的关系变差系数：反映密度曲线的高矮变化情况。其它值不变时，曲线位置随变差系数的变小而变得高而瘦。变差系数为0时，密度曲线为一垂线。第五节 统计参数统计参数同密度曲线的关系偏差系数：反映密度曲线的偏斜程度。其它值不变时，曲线位置随偏差系数的变小而向x轴正向偏斜。偏差系数为0时，密度曲线为正态。第五节 统计参数 统计参数同频率曲线的关系均值：反映频率曲线的位置高低情况，其它值不变时，曲线位置随均值的变化整体抬高。第五节 统计参数统计参数同频率曲线的关系变差系数：反映频率曲线的陡坦程度。其它值不变时，曲线位置随变差系数的变大而变陡，头部上抬，尾部降低。变差系数为0时，频率曲线平行于x轴。第五节

9、统计参数统计参数同频率曲线的关系偏差系数：反映频率曲线的曲率大小。其它值不变时，曲线位置随偏差系数的变大而曲率变大，头部上抬变陡、尾部上抬变平缓。变差系数为0时，频率曲线为直线。第五节 统计参数四 统计参数同密度曲线及频率曲线的关系研究意义：1）频率曲线可以由统计参数来确定其频率分布和频率曲线的特征。可以利用实测水文资料系列（样本）推求近似总体的统计参数，并确定总体的频率分布和频率曲线。2）掌握各参数对频率曲线的影响方向，可以按照需要调整理论参数大小，以便与实测点据符合得最好。第五节 统计参数第五节小结均值、中值和众值均方差和变差系数偏差系数统计参数同密度曲线及频率曲线的关系本节课到此结束！第

10、六节 理论频率曲线具有一定数学函数式的频率曲线，习惯上称为理论频率曲线所谓“理论频率曲线”，绝非从成因上为推求水文特征值找到了理论的依据，而仅是为了配合经验频率点外延频率曲线提供的一种数学模型。第六节 理论频率曲线在我国的水文计算中，使用得最广泛的为皮尔逊型曲线，其次，在北方的一些干旱地区，克一门曲线有时也能得到满意的结果。近来，有人推荐使用耿贝尔曲线。第六节 理论频率曲线一 皮尔逊型曲线的频率密度函数皮尔逊型英国生物统计学家皮尔逊在分析大量资料的基础上，为随机现象提供了十三种曲线，其中第型曲线与水文现象相符合。其密度曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰曲线。第六节 理论频率曲线一 皮尔逊型

11、曲线的频率密度函数当以众值为坐标原点时，它的密度曲线方程式为:一 皮尔逊型曲线的频率密度函数将坐标原点移至水文资料系列的实际零点时，它的密度曲线方程式为:第六节 理论频率曲线经过换算，皮尔逊方程式中的三个参数可用系列的三个统计参数表示为：三个参数值一经确定，曲线就可以完全确定。即只要求得系列的均值、变差系数和偏差系数，就可以得到皮尔逊型方程式表示的密度曲线。第六节 理论频率曲线二 皮尔逊型曲线的应用对皮尔逊密度方程式进行一定的积分，可以得到我们需要的频率曲线纵坐标对应的xp的计算公式为：xkxcxpvp) 1(第六节 理论频率曲线皮尔逊型曲线推求理论频率曲线的步骤：1）搜集年最大流量资料样本，

12、组成变量系列；2）将变量按从大到小顺序排列；3）计算系列的三大统计参数： vsqcc第六节 理论频率曲线皮尔逊型曲线推求理论频率曲线的步骤：4）按照皮尔逊计算公式列表计算各指定频率的流量；5）将列表计算结果中的频率为横坐标，流量为纵坐标，在海森几率格纸上绘出各点，并按照点群变化趋势连接成光滑曲线，即为所求的皮尔逊型理论频率曲线；第六节 理论频率曲线例题 261 p36第六节 理论频率曲线三 抽样误差由于水文现象是无限总体，而我们所掌握的只是其中一个有限的样本（认为是从总体中随机抽样取得的），这样的样本并不能完全代表总体。而我们进行水文计算，就是通过样本计算得到的参数去估计总体，必然存在着误差。

13、这样用样本估计总体、也就是由抽样所引起的误差即为抽样误差。第六节 理论频率曲线经验频率p的抽样误差 这意味着，如果我们随机地抽取一个样本，以此样本的均值作为总体均值的估计值，则p落在总体均值左右一个均方误范围内的概率为68.3%，而落在总体均值左右三倍均方误范围内的概率为99.7。通常称 为一般误差范围，称 为最大误差范围。3第六节 理论频率曲线统计参数的抽样误差第六节 理论频率曲线例262 p42第六节 理论频率曲线四 耿贝尔频率分布曲线第六节 理论频率曲线耿贝尔频率分布曲线的应用例题263第六节 理论频率曲线一 皮尔逊型曲线的频率密度函数二 皮尔逊型曲线的应用三 抽样误差四 耿贝尔频率分布

14、曲线第六节 小结第七节 相关分析自然界中有许多现象并非各自独立，其相互间往往存在着一定的联系。例如，气温与蒸发、降雨与径流、水位与流量、上下游水位(或流量）等都是有联系的。这种现象之间的联系在解决水文分析问题中经常被用到。这是由于在水文分析中，常常遇到某一种现象的资料很少，一但与其有关的另一种现象的资料项数却很多，我们就可以通过这两种现象之间的关系，利用长系列资料展延（或内插）短系列资料。这种关系的推求在数理统计中是用相关计算这个工具。相关：变量之间近似的或平均的关系称为相关，研究这种关系的方法，称为相关分析。变量之间的关系分类：完全相关，统计相关，零相关。第七节 相关分析简单相关（两个变量）

15、复相关（多个变量）简单相关中的直线相关：就是两个变量之间的相关，可以近似地配成一条直线。这条直线的方程式就称为两变量的回归方程式。第七节 相关分析 相关图解法是把两个变垦的对应观测资料点绘在一张图上，得到若干个相关点，再通过点群中心目估一条相关线，该相关线视点群的趋势可能是直线也可能是曲线，它代表了点群趋势的平均情况，有了这条相关线，就可以利用长系列资料延长另一短系列资料。解析法：建立两变量之间的回归方程式，作为绘制回归线的依据，可以避免目估的随意性。第七节 相关分析解析法：第七节 相关分析 希望直线为其实测点群的最佳配合线或能代表其平均情况，可用最小二乘法，即使实测点和相关线间误差平方和为最

16、小。即使下式最小：须：第七节 相关分析 联立上式解得：令r称为相关系数。第七节 相关分析得y对x的回归方程式：同理得x对 y的回归方程式为：第七节 相关分析相关系数r用模比系数表达时计算式为：式中，kxi为x系列的模比系数，kyi为y系列的模比系数。niyinixiniyixinknknkkr12121第七节 相关分析相关系数r的性质和意义表示了变量系列之间的相关程度。r0为零相关r1为完全相关0r 0.8,且 才能进行相关计算。4） 计算 ， ，得出回归方程式； n5）按照回归方程式对短系列资料延长或插补计算。rer4xy211nyiiyknyn211nxiixknxn例题解答：rer4xy例题解答：例题解答：题目表中例题272习题 我国某河，