全国初中数学竞赛试题及答案(2003年)

1、全国初中数学竞赛试题及答案(2003年)     2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题  一、选择题每题7分，共42分  1、2322。A 542 B421 C5 D1  2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是个。A0 B1 C3 D5  3、假设函数ykx(k0)与函数yx1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，那么ABC的面积为。A1 B2 Ck Dk2  4、满足等式xyxy2003x2003y2003xy2003的正整数对的个数是。A

2、1 B2 C3 D4 5、设ABC的面积为1，D是边AB上一点，且ADAB13。假设在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，那么  C D  6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于   E，且与CD相切，假设AB4，BE5，那么ED的长为。A3 B4 C1516 D 451434EC1的值为。A   EA215  二、填空题每题7分，共28分  1、抛物线yax   bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。假设ABC是&#

3、160; 直角三角形，那么ac。  2、设m是整数，且方程3x2mx2=0的两根都大于93而小于，那么51  m=_。 3、如图，AA1、BB1分别是EAB、DBC的平分线，假设AA1BB1AB，那么BAC的度数为。  4、正整数a、b之差为120数的105倍，那么a、b中较大的数是。  三、此题总分值20分  在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：DEMDFN；PAEP

4、BF。     F     四、此题总分值20分实数a、b、c、d互不相等，且abcd+x，试求x的值。     五、：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值。  试题说明：这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。  2

5、003年全国初中数学联赛答案： 第一试  一、1、(D)；  2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。  11  3、(A)；设A(x,y)，那么xy=1，故SDABO=xy=。又因为ABO与CBO  22同底等高，因此，SDABC=2´SDABO=1  4、(B)   ；由等式可得=0   >   0=0。故xy=200

6、3  1  d  1a1b1c  ìx=1ìx=2003  又因为2003为质数，必有í或í  îy=2003îy=15、(B)；如图3，连结BE，SDADE=1-  31= 44  D  E  B  C  CE  =x，那么SDABE=1-x。 设AC  1

7、-x11CE1  SDADE=,x=。故=  344EA3  6、(D)；如图4，连结AC、CE。  由AEBC，知四边形ABCE是等腰梯形。故ACBE5。  又因为DcAB，DC与圆相切，所以，BACACDABC。     EC  那么ACBCAD5，DCAB4  DC216  因为DC=AD×DE，故DE=  AD5  2  

8、;二、1、1；设A(x1,0),B(x2,0)。由ABC是直角三角形可知x1,x2必异号。那么x1x2=  c  <0 a  2  由射影定理知OC=AO×BO，即c2=x1×x2=  c  ；故ac=1,ac=-1 a  ìæ9ö2æ9ö3´-+m´ïç÷ç-÷-2>0ïè5ø

9、;è5ø  2、4；由题设可知，í 2  æ3öïæ3ö  3´+m´÷ç÷-2>0ïçè7øîè7ø  813  解得3<m<4。故m=4  2145  3、12º；设BAC的度数为x  因AB=BB'

10、，故B'BD=2x,ÐCBD=4x又AB=AA'，那么  1  AA'B=ÐABA'CBD4x。因为A'AB=(180°-x)  2  1  故(180°-x)+4x+4x=180°，解得x=12º 2  4、225；设(a,b)d，且a=md，b=nd，其中m>n，m与n互质。于是a,b的最小公倍数为mnd。依题意有  ìmd-nd=120

11、  (m-n)d=23´3´5ï  ，即ímnd  =105mn=3´5´7ïîd  (1)  (2)  ìm=105ìm=35ìm=21ìm=15  又m>n，据式(2)可得í ííí  n=1n=7n=3n=5îîîîì

12、m=15  根据式(1)，只能取í，可求得d=15  în=7故两个数中较大的数是md=225。 第二试     A卷  一、解：设前后两个二位数分别为x,y，10£x,y£99 有(x+y)2=100x+y；即x2+2(y-50)x+(y2-y)=0 当4(y-50)2-4(y2-y)=4(2500-99y)³0  即2500-99y³0，那么y£   25时，方程有实数解x=50-y

13、 由于2500y必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故y仅可取25；此时，x=30或=20  故所求四位数为2025或3025  二、(1)如图，据题设可知，DMBN，DMBN，DNAM，DNAM 故AMDBND  因为M、N分别是RtAEP和RtBFP斜边的中点， 所以，EMAMDN，FNBNDM 又DEDF，故DEMFDN A(2)由上述三角形全等可知EMDFND，那么AMEBNF  E而AME、BNF均为等腰三角形，所以，PAEPBF  三、解：由有

14、60; 1111  a+=x ；b+=x ；c+=x ；d+=x bcda  1  由式解出b=   x-a  x-a  式代入式得c=2   x-ax-1x-a1  +=x 将式代入得2  x-ax-1d即dx3-(ad+1)x2-(2d-a)x+ad+1=0 由式得ad+1=ax，代入式得(d-a)(x3-2x)=0 由d-a¹0，故x3-2x=0  假设x=0，那么由式可

15、得a=   c，矛盾。故有x2=2,x=B卷  一、同(A卷)第一题的解答。  二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。     C  BF  MAE  F  由D是AB的中点，那么  DMBN，DMBN，DNAM，DNAM。故AMDBND。 又因为M、N分别是RtAEP、RtBFP斜边的中点，所以， EMAMDN，FNBNDM。 因为DEDF，那么DEMFDN

16、0; 故EMDFND，从而，AMEBNF  而AME、BNF均为等腰三角形，故PAEPBF  三、(1)如图，记ABa，CDb，ACl，并设ABC的边AB上的高为h1，ADC的边DC上的高为h2。那么  11  S四边形ABCD=SDABC+SDADC(h1a+h2b)£l(a+b)  22  D  A  h2  a  B  h1  b&

17、#160; C  仅当h1=h2=l时等号成立。即在四边形ABCD中，当ACAB，ACCD时等号成立。  由可得64£l(a+b)  又由题设a+b=16-l，可得64£l(16-l)=64-(l-8)2£64 于是，l=8,a+b=8，且这时ACAB，ACCD 因此，这样的四边形有如下4下：  a=1,b=7，l=8;a=2,b=6,l=8 a=3,b=5,l=8;a=b=4,l=8  它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。  (2)又由ABa，CD8-a，那么BC2=