2 单相交流电路

1、 上一章的电信号是直流信号，其大小和方向随时上一章的电信号是直流信号，其大小和方向随时间是不变化的。但由于发电厂生产的电压信号主要是间是不变化的。但由于发电厂生产的电压信号主要是以正弦规律变化的（称为正弦交流电），在需要直流以正弦规律变化的（称为正弦交流电），在需要直流电时，通常也是由正弦交流电经过变换得到的；而且电时，通常也是由正弦交流电经过变换得到的；而且因为它在生产、传输及应用中有其特有的优越性，它因为它在生产、传输及应用中有其特有的优越性，它是学习其它后续课程如电机、电器及电子技术的理论是学习其它后续课程如电机、电器及电子技术的理论基础。基础。 由于本章的电信号都是正弦交流电，其大小与

2、由于本章的电信号都是正弦交流电，其大小与方向随时间按正弦规律变化，因此学习本章内容时，方向随时间按正弦规律变化，因此学习本章内容时，要建立起交流的概念，如有效值、相位等概念。本章要建立起交流的概念，如有效值、相位等概念。本章重点是正弦交流电路的分析与计算，其方法为相量法。重点是正弦交流电路的分析与计算，其方法为相量法。 正弦交流电也称为正弦量，其数值是随时间按正弦正弦交流电也称为正弦量，其数值是随时间按正弦规律变化的，它的数学表示方法有三角函数形式及波形规律变化的，它的数学表示方法有三角函数形式及波形图图 。三角形式的正弦电压函数式如下。三角形式的正弦电压函数式如下v)sin(tuum其波形如

3、图其波形如图2-12-11 1所示所示0 0ut tt tumum图2-1-1 正弦波形图2-1-1 正弦波形由于正弦交流电的大小由于正弦交流电的大小和方向都随时间变化而和方向都随时间变化而变化，而利用电路定律变化，而利用电路定律分析电路时，必须知道分析电路时，必须知道电压或电流的方向。电压或电流的方向。因此规定：因此规定：r r图2-1-2 正弦电压图2-1-2 正弦电压极性的确定极性的确定iu 若正弦电压若正弦电压 u 作用于图作用于图2-2-1-21-2电路上，首先设定电压的正电路上，首先设定电压的正方向，并用实箭头表示，方向，并用实箭头表示，而用而用“+ +”、“- -”与与“ ”“

4、”、“ ” ”表示正负半周的实际极性。表示正负半周的实际极性。其关系为：其关系为： 当当u u正半周时，即正半周时，即u 0，正方向与实际极性相同，正方向与实际极性相同，如图如图2-1-22-1-2中中“+”“+”、“-”“-”表示正半周的实际极性表示正半周的实际极性； 当当u u负半周时，负半周时，u 0时正弦量的初始时正弦量的初始值为正；值为正；0 0，即，即1 2 ，说明，说明从从t=0t=0（计时时刻）开始后，计时时刻）开始后，电压电压 u 比电流比电流 i 的幅值先来的幅值先来到，我们称到，我们称 u 超前超前 i，其角度，其角度为为 ，如图，如图2-1-42-1-4所示。所示。 ,

5、iuuit12umim图图2-1-4o213.3.相位差相位差 对于两个或两个以上同频率的正弦量，它们之间的相对于两个或两个以上同频率的正弦量，它们之间的相位之差或初相位之差称为正弦量的相位差。位之差或初相位之差称为正弦量的相位差。 如设如设 u=umsin(t+1) , ,i=imsin(t+2)，则则 与与 的相位的相位差为差为uib.b.当当 00，即，即10,b0时，时，在第一象限；当在第一象限；当a0时，时，在第二象限；当在第二象限；当a0,b0,b 0 ；若电压滞后电流，相位差；若电压滞后电流，相位差 0, 说明电压超说明电压超前电流前电流90 0 用相量的形式表示电感元件两端的用

6、相量的形式表示电感元件两端的电压与电流，即电压与电流，即 90ueuul90jll0ieiil0jlltsini2lli)90tsin(u2llu则：则：l90jll0jl90jllljxeiueieuiu或者：或者：llllil2jijxuflulijxjxl l图2-3-7 相量表示的电图2-3-7 相量表示的电感元件正弦交流电路感元件正弦交流电路此式也可以称为电感元件的欧姆此式也可以称为电感元件的欧姆定律相量式，只是用定律相量式，只是用jxl代替电阻代替电阻r。其电路如图其电路如图2-3-72-3-7所示。所示。llllil2jijxuf二、功率二、功率a. a. 瞬时功率瞬时功率 pl

7、 : : t2siniu2t2siniu2tsintcosiu2tsini2)90tsin(u2llllllllllliup由上式可以看出，电感元件的瞬时功率是一个角频率由上式可以看出，电感元件的瞬时功率是一个角频率为为2的正弦量的正弦量o olulilpt图2-3-8 电感元件的电压、电流及瞬时功率波形图t412345从图中可以看出，在电流的第从图中可以看出，在电流的第一个一个1/41/4周期内，由于周期内，由于pl0，故故电感相当于负载元件，取用电电感相当于负载元件，取用电能，即将电能转化成磁能存储能，即将电能转化成磁能存储在电感元件中。而在电流的第在电感元件中。而在电流的第二个二个 1/

8、4 1/4 周期内，由于周期内，由于 pl 0 ，故相当于电源元件，发出，故相当于电源元件，发出电能，即将存储的磁能转化为电能，即将存储的磁能转化为电能释放出来。电能释放出来。 如图如图2-3-82-3-8为纯电感元件的电压、电流与瞬时功率为纯电感元件的电压、电流与瞬时功率的波形的波形 b.b.平均功率平均功率pl（有功功率）有功功率） ：t/llll001pdtu i sin2tdt0tp 上式说明纯上式说明纯电感元件是电感元件是不消耗电能不消耗电能的。的。 虽然电感元件不消耗电能，但却与电源有能量交虽然电感元件不消耗电能，但却与电源有能量交换的过程，此过程的大小规模用瞬时功率的幅值来度换的

9、过程，此过程的大小规模用瞬时功率的幅值来度量，称为储能元件的无功功率，即量，称为储能元件的无功功率，即l2ll2lllllllxuxiixiiuq其单位为乏其单位为乏（var）或千乏或千乏（kvar） c.c.无功功率无功功率ql: :t2siniulllp解：对于电阻电路，其电流与电压同解：对于电阻电路，其电流与电压同频率且同相位，其最大值的关系为频率且同相位，其最大值的关系为例例2-3-1 2-3-1 交流电压交流电压u311sin（314t60o） ，作用在作用在2020的电阻上，试写出电流的瞬时值函数式、相量，的电阻上，试写出电流的瞬时值函数式、相量，画出相量图，并求其平均功率。画出相

10、量图，并求其平均功率。 a5 .1520311ruimm故电流的瞬时值函数式为故电流的瞬时值函数式为a)60sin(5 .15ti电流相量为：电流相量为：a601125 .1560 jeir rui其平均功率为其平均功率为w2420112311uip+1+1ui60图2-3-9 例2-3-1的图2-3-9 例2-3-1的 相量图 相量图其相量图如图其相量图如图2-3-9所示所示例例2-3-2 在纯电感元件的正弦交流电路中，在纯电感元件的正弦交流电路中，l100mh， f 为工频，（为工频，（1)1)已知已知 ，求电压，求电压u；（；（2)2)已已知知 ，求电流，求电流 ，并画出相量图。，并画出

11、相量图。asin27tiv30127uilulilel l图2-3-5 纯电感元件图2-3-5 纯电感元件的正弦交流电路的正弦交流电路解解：（：（1)1)感抗感抗xl为为4 .311010050223fllxl电压有效值为电压有效值为v8 .2194 .317llixuv)90314sin(28 .219tu(2) (2) 由已知可得：由已知可得：a1204904 .31301274 .3130127jjxuil其相量图如图其相量图如图2-3-10所示。所示。iu图2-3-10 例2-3-2的相量图图2-3-10 例2-3-2的相量图30对于纯电感电路，电压超前电流对于纯电感电路，电压超前电流

12、90900 0角，故角，故2.3.4 纯电容元件的正弦交流电路纯电容元件的正弦交流电路一、电压与电流之间的关系一、电压与电流之间的关系1. 1. 瞬时值的关系瞬时值的关系c c图2-3-11 纯电容元件图2-3-11 纯电容元件的正弦交流电路的正弦交流电路cicu 若若uc 为正弦交流电压，为正弦交流电压，则电容则电容器极板上的电荷是变化的。而电流器极板上的电荷是变化的。而电流则是电荷的变化率，即则是电荷的变化率，即 dtdcqi 如图如图2-3-11为纯电容元件的正为纯电容元件的正弦交流电路弦交流电路ccuq 上式代入到上式代入到dtduqicccdtd其中其中c的单位为法拉的单位为法拉（f

13、），微法微法（f）及皮法及皮法（pf）由于纯电容元件极板上的电荷与两端电压成正比，其由于纯电容元件极板上的电荷与两端电压成正比，其系数为电容器参数系数为电容器参数c，即即dtdcqi得得1f10 6 f 10 12 pf2.2.有效值的关系有效值的关系 上式即为电容器两端电压与电流的瞬时值的关系上式即为电容器两端电压与电流的瞬时值的关系, ,即电即电容器中的电流是和电压的变化率成正比的。容器中的电流是和电压的变化率成正比的。注意：注意：以上元件无论是电阻元件、电感元件还是电容以上元件无论是电阻元件、电感元件还是电容元件，其两端的电压与电流的正方向都取关联方向元件，其两端的电压与电流的正方向都取

14、关联方向设设电容元件两端电压为参考正弦量，即电容元件两端电压为参考正弦量，即 也就是电压的初相角也就是电压的初相角 ，则，则 tsinu2ccu0cu)90tsin(i2tcoscu2dtt)sinu2d(cdtdccccccuidtduicccccuci或或容抗cccxc1iu由上式可知：（由上式可知：（1)1)电容元件的电流与两端电压为同频电容元件的电流与两端电压为同频率的正弦量，初相角为率的正弦量，初相角为c i90 o ；（；（2)2)电容元件两电容元件两端的电压与电流有效值之比等于容抗。端的电压与电流有效值之比等于容抗。 其中其中)90tsin(i2tcoscu2ccci其中容抗其中

15、容抗xc为为c21c1xcf其单位为欧姆其单位为欧姆（），表示电容元件对正弦交变电流表示电容元件对正弦交变电流的阻碍作用。的阻碍作用。当为直流时，即当为直流时，即f0，电容相当于开路；电容相当于开路；当频率增加时，容抗减小。当频率增加时，容抗减小。在相位上，电容元件两端电压与电流的相位差为在相位上，电容元件两端电压与电流的相位差为 090900ccciu说明电压滞后电流说明电压滞后电流900角，其相角，其相量图如图量图如图2-3-12所示。所示。+1+1+j+jo o图2-3-12 纯电容元件两端电压图2-3-12 纯电容元件两端电压与电流的相量图与电流的相量图cuci3.3.相位关系相位关系

16、 tsinu2cu)90tsin(i2cci若电流为若电流为 0ieiic0jcc则电压为则电压为 90ueuuc90jcc4.4.相量形式相量形式 那么电压相量和电流相量的比为那么电压相量和电流相量的比为c1jjxeiueieuiuc90jcc0jc90jccc或者或者cccccic21jic1jijxuf-jx-jxc c图2-3-13 相量表示的纯图2-3-13 相量表示的纯电容元件的正弦交流电路电容元件的正弦交流电路cuci1. 1. 瞬时功率瞬时功率pc : :tcosu2)90tsin(u2cccutsini2cci若已知电流若已知电流ic为参考正弦量，即为参考正弦量，即二、功率二

17、、功率上式也可以称为电容元件的欧姆上式也可以称为电容元件的欧姆定律相量式，只是用定律相量式，只是用jxc代替电代替电阻阻r。其电路如图其电路如图2-3-13所示。所示。cccijxu则电压则电压uc为为故瞬时功率为故瞬时功率为)180t2sin(iut2siniu2t2siniu2tsini2tcosu2ccccccccccciup由上式可以看出，电容元由上式可以看出，电容元件的瞬时功率也是一个角件的瞬时功率也是一个角频率为频率为2 2的正弦量，如图的正弦量，如图2-3-142-3-14为电容元件的电压、为电容元件的电压、电流与瞬时功率的波形。电流与瞬时功率的波形。o ot图2-3-14 电容

18、元件的电压、图2-3-14 电容元件的电压、电流及瞬时功率波形图电流及瞬时功率波形图cpcuci+-从图中可以看出从图中可以看出在电流的第一个在电流的第一个1/41/4周期内，周期内，由于由于pc0 ，故相当于负载元件，取用电能，故相当于负载元件，取用电能，即将电能转化为电场能存储在即将电能转化为电场能存储在电容元件中。电容元件中。o ot图2-3-14 电容元件的电压、图2-3-14 电容元件的电压、电流及瞬时功率波形图电流及瞬时功率波形图cpcuci+-2.2.平均功率平均功率pc（有功功率）有功功率）t/ccc ccc00011pdtu i sin2tdt0tttpu i dt 上式说明

19、纯电容元件也是不消耗电能的。上式说明纯电容元件也是不消耗电能的。 虽然电容元件不消耗电能，但也与电源有能量交虽然电容元件不消耗电能，但也与电源有能量交换的过程，此过程的规模用瞬时功率的幅值来度量，换的过程，此过程的规模用瞬时功率的幅值来度量，但与电感元件的能量交换过程相反，故规定电容元件但与电感元件的能量交换过程相反，故规定电容元件的无功功率为负值，即的无功功率为负值，即c2cc2cccccccxuxiixiiuq其单位为乏（其单位为乏（var）或千乏（或千乏（kvar）。）。 3. 3. 无功功率无功功率qc例例2-3-3 2-3-3 把一个把一个25f的电容接到频率为的电容接到频率为50h

20、z，电压的电压的有效值为有效值为10v的正弦电源上，问电流是多少？如果保的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改为持电压值不变，而电源频率改为5000hz，这时电流将这时电流将为多少？为多少？解：当解：当f = 50hz时时 4 .12710255014. 3212116fccxcma78a078. 04 .12710cxui当当f = 5000hz时时274. 11025500014. 3212116fccxca8 . 7274. 110cxui由此可见，当电压有效值一由此可见，当电压有效值一定时，频率越高，则通过电定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。容元件的

21、电流有效值越大。 解：（解：（1)1)由已知可得：由已知可得：例例2-3-4 2-3-4 对于纯电容元件的正弦交流电路中，电容对于纯电容元件的正弦交流电路中，电容c4f，f = 50hz,(,(1)1)已知已知 ，求电流，求电流 i ;（2)2)已知已知 ，求电压，求电压 u ，并画出相量图。，并画出相量图。 vsin2220tua601 . 0i2 .7961045014. 3212116fccxca276. 02 .796220cxuia)90sin(2276. 0ti则电流则电流i 为为v15062.79601 . 0902 .796ijxuc其相量图如图其相量图如图2-3-15所示所示

22、（2）已知电流）已知电流ai601 . 0则则2 .7961045014. 3212116fccxcr rl llulir rc ccuci(a)电感元件的实际模型(a)电感元件的实际模型（b)电容元件的实际模型（b)电容元件的实际模型图2-4-1 实际元件的电路模型图2-4-1 实际元件的电路模型2.4 2.4 rlcrlc串联的正弦交流电路的分析与计算串联的正弦交流电路的分析与计算 纯电感元件只是忽略了线圈的电阻纯电感元件只是忽略了线圈的电阻；纯电容元纯电容元件只是认为其电阻件只是认为其电阻r无穷大。无穷大。 上节讨论了单一元件的正弦交流电路，是理想化的上节讨论了单一元件的正弦交流电路，是

23、理想化的模型。但在实际中，电感元件、电容元件的实际电路模型。但在实际中，电感元件、电容元件的实际电路如图如图2-4-12-4-1所示所示 在这一节中，讨论电阻元件、电感元件与电容元在这一节中，讨论电阻元件、电感元件与电容元件三者串联的正弦交流电路，分析其电压与电流的关件三者串联的正弦交流电路，分析其电压与电流的关系及功率等。系及功率等。2.4.1 2.4.1 电压与电流的关系电压与电流的关系1. 1. 瞬时值的关系瞬时值的关系如图如图2-4-2中为中为rlc串联电路串联电路tisin2i 两端加一正弦电压两端加一正弦电压u，则产生则产生正弦电流正弦电流 i 。由于各元件通过的电。由于各元件通过

24、的电流相同，故取电流流相同，故取电流 i 作为参考正弦作为参考正弦量，量， i0 o，即即uir rl lc c图2-4-2 rlc串联电路图2-4-2 rlc串联电路rulucutirsin2rr iu)90tlsin(i2dtdlliu)90tsin(c1i2dtc1ciu由基尔霍夫电压定律由基尔霍夫电压定律（kvl）可得可得 clruuuu则各元件的瞬时电压为则各元件的瞬时电压为uir rl lc c图2-4-2 rlc串联电路图2-4-2 rlc串联电路rulucu则：则：)tusin(2)90tsin(u2)90tsin(u2tsinu2clrclruuuu2. 2. 相量图：相量图

25、： 若若i为参考正弦量，即为参考正弦量，即初相角初相角i 0o 。由上节内由上节内容可知，电阻两端电压与电容可知，电阻两端电压与电流同相位，电感两端电压超流同相位，电感两端电压超前电流前电流90o角，电容两端电角，电容两端电压滞后电流压滞后电流90o角。其相量角。其相量图如图如2-4-3所示。所示。 +1+1i( )( )+j+jlurucuo ouulucu+ +cluu ru图2-4-3 rlc串联电路的相量图图2-4-3 rlc串联电路的相量图cu从上面可知从上面可知u与与i的频率相同，它们的相位差为的频率相同，它们的相位差为 。tisin2i)tusin(2u3. 3. 有效值的关系有

26、效值的关系由图由图2-4-3相量图可得相量图可得2cl2r)u(uuu注意：注意：clruuuu而而ccllrxiuxiuriu则则zi)x(xri)xix(i(ir)u2cl22cl2即：即：ziu+1+1i( )( )+j+jlurucuo ouulucu+ +cluu ru图2-4-3 rlc串联电路的相量图图2-4-3 rlc串联电路的相量图cu222cl2xr)x(xrzr为电阻，为电阻，xxlxc称为电称为电抗。上式说明抗。上式说明rlc串联电路两串联电路两端电压有效值端电压有效值u与电流有效值与电流有效值i之比等于电路的阻抗之比等于电路的阻抗 ，即，即z其中其中称为称为rlc串联

27、电路的阻抗，与电阻的单位相同，也是串联电路的阻抗，与电阻的单位相同，也是欧姆欧姆（）uir rl lc c图2-4-2 rlc串联电路图2-4-2 rlc串联电路rulucuziu由图由图2-4-3相量图可得相量图可得rxxtgrixixitguuutgcl1cl1rcl14. 4. 相位关系相位关系+1+1i( )( )+j+jlurucuo ouulucu+ +cluu ru图2-4-3 rlc串联电路的相量图图2-4-3 rlc串联电路的相量图cu* *当当x0即即xlxc时时 ，电压超，电压超前电流前电流 角，如图角，如图2-4-4所示，所示，电路为电路为。 +1+1i( )( )+j

28、+jlurucuo ouulucu+ +cluu ru图2-4-4 电感性质rlc串联图2-4-4 电感性质rlc串联电路的相量图电路的相量图cu* *当当x0即即xl0，说明电压超前电流，说明电压超前电流 角，电路为电感性质；角，电路为电感性质； 0，故电压超前电流，是感性电路。故电压超前电流，是感性电路。10153153016531530iuz则：则：r10，x0,由于由于z的辐角为的辐角为 0，故此电路为故此电路为阻性电路。阻性电路。？，求，xra5v30100)3(60jeiu20205100530100906015060jeeeeiuzjjjj则：则：r0，x20,由于由于z的辐角为

29、的辐角为 -90o 0，故电路为感性故电路为感性复数阻抗为复数阻抗为2.4.22.4.2功率功率 阻抗为阻抗为)t2uicos(uicos2)t2cos(cosui2tisin2)tusin(2iup即瞬时功率是以即瞬时功率是以2角频率变化的正弦量。角频率变化的正弦量。 由于电感元件与电容元件不耗能，故电路的有功由于电感元件与电容元件不耗能，故电路的有功功率就是电阻所消耗的功率，即功率就是电阻所消耗的功率，即riiup2r由上式可知，若电路中有几个电阻元件，不管储能元由上式可知，若电路中有几个电阻元件，不管储能元件有多少，电路所消耗的有功功率即为所有电阻所消件有多少，电路所消耗的有功功率即为所

30、有电阻所消耗的功率之和，即耗的功率之和，即n1kk2krip由图由图2-4-32-4-3的相量图可得的相量图可得 ucosur则：则：uicosiupr即电路的有功功率也是电路所消耗的功率，它等于电即电路的有功功率也是电路所消耗的功率，它等于电路两端电压与电流的有效值乘积再乘以路两端电压与电流的有效值乘积再乘以cos ，我们将我们将cos 称为电路的称为电路的。 +1+1i( )( )+j+jlurucuo ouulucu+ +cluu ru图2-4-3 rlc串联电路的相量图图2-4-3 rlc串联电路的相量图cu故故cos 是由电路的参数决定的，其值越小（是由电路的参数决定的，其值越小（

31、越越大），电路所得到的有功功率越少，因此要尽量减小大），电路所得到的有功功率越少，因此要尽量减小 ，提高电路的功率因数，一般要求在，提高电路的功率因数，一般要求在以上。以上。 由于电路有储能元件的存在，故电路与电源有能由于电路有储能元件的存在，故电路与电源有能量交换，其交换的规模仍用无功功率表示。量交换，其交换的规模仍用无功功率表示。 rxxarctgcl由于电压与电流的相位差由于电压与电流的相位差 为为由于电感电压与电容电压相位相反，在通入同一电流由于电感电压与电容电压相位相反，在通入同一电流时，其瞬时功率也是反相的，如图时，其瞬时功率也是反相的，如图2-4-92-4-9所示所示故当电感元件

32、取用功率时，故当电感元件取用功率时，电容元件释放功率。因此电容元件释放功率。因此rlc串联电路总的无功功串联电路总的无功功率等于电感的无功功率与率等于电感的无功功率与电容的无功功率之和（实电容的无功功率之和（实际为差值），即际为差值），即lclclcqqqu iu ii(uu )o olulilpto otcucpiu,p图2-4-8 rlc串联电路电压、电流与图2-4-8 rlc串联电路电压、电流与瞬时功率的波形图瞬时功率的波形图sinuuucluisin)ui(uqcl由图由图2-4-32-4-3的相量图可知的相量图可知+1+1i( )( )+j+jlurucuo ouulucu+ +cl

33、uu ru图2-4-3 rlc串联电路的相量图图2-4-3 rlc串联电路的相量图cu4 4视在功率视在功率将将rlc电路两端电压电路两端电压u与与电流电流i的有效值的乘积，称的有效值的乘积，称为视在功率，即为视在功率，即uis 其单位为伏安其单位为伏安（va），或千伏安或千伏安（kva），由于不是由于不是电路实际消耗的功率，故不用功率的单位瓦特。视电路实际消耗的功率，故不用功率的单位瓦特。视在功率一般表示某些电源设备的额定容量，说明该电在功率一般表示某些电源设备的额定容量，说明该电源可能提供的最大功率。源可能提供的最大功率。uicosp uisinq 22qpspqarctg由于由于故故a.

34、 三个三角形：电压三个三角形：电压、阻抗阻抗和功率和功率1.电压电压：如图如图2-4-9，可得：，可得：+1+1i( )( )ruo oulucu+ +cluu ru图2-4-9 电压图2-4-9 电压uclruuuu22)(clruuuurcluuuarctgo o图2-4-10 阻抗图2-4-10 阻抗rclxxz22)(clxxrzrxxarctgcl2.阻抗阻抗：如图如图2-4-10，可得：，可得：3.功率功率：如图如图2-4-11，可得：，可得：o os图2-4-11 功率图2-4-11 功率pq22qpuiscoscosuispsinsinuisqpqarctg由由pui cos

35、可得可得cosupi 由上式可知，电源输出的功率与功率因数有关；另外由上式可知，电源输出的功率与功率因数有关；另外当电源有功功率和电压一定时，电路电流是和电路的当电源有功功率和电压一定时，电路电流是和电路的功率因数成反比的。所以功率因数的提高，有利于发功率因数成反比的。所以功率因数的提高，有利于发电设备容量的充分利用，有利于电路功率损耗的减少。电设备容量的充分利用，有利于电路功率损耗的减少。b. 功率因数功率因数cos 的提高的提高是由于感性负载的存在（如电动是由于感性负载的存在（如电动机等）。按照供电规则，高压供电的工业企业的平均机等）。按照供电规则，高压供电的工业企业的平均功率因数不低于功

36、率因数不低于0.95,其它单位不低于其它单位不低于0.9.是在感性负载两端并联电是在感性负载两端并联电容器（设置在用户端或变电所中）。容器（设置在用户端或变电所中）。r r图2-4-12 电感线圈图2-4-12 电感线圈uil l1iljxrz221lxruiiriuip211cos221coslxrr211sinlquii x其相量图如图其相量图如图2-4-13所示。所示。u1i图2-4-13 电感线圈图2-4-13 电感线圈电路的相量图电路的相量图o o1 1对于图对于图2-4-12所示的电感线圈，有所示的电感线圈，有现在为了提高功率因数，在电感线圈两端并联一电容现在为了提高功率因数，在电

37、感线圈两端并联一电容器，如图器，如图2-4-14所示。所示。r r图2-4-14 负载功率因数的提高图2-4-14 负载功率因数的提高c cl l1iciiu但由于电容元件不消耗有功功但由于电容元件不消耗有功功率，故并联电容后电路的有功率，故并联电容后电路的有功功率不变，为功率不变，为其相量图如图其相量图如图2-4-15所示。由所示。由图可知，并联后功率因数角图可知，并联后功率因数角 2 1,减小了，即电路的功减小了，即电路的功率因数提高了。率因数提高了。221cospuii ru1i图2-4-15并联电容后图2-4-15并联电容后的电路相量图的电路相量图12icicclxixiuiq221s

38、in可见，并联电容后可见，并联电容后无功功率减小了。无功功率减小了。电路的无功功率为电路的无功功率为电容值选取的大小决定补偿后的功率因数。对于图电容值选取的大小决定补偿后的功率因数。对于图2-4-16对于（对于（c）图，由于补偿前后图，由于补偿前后有功功率不变，即有功功率不变，即)(sincossincossinsin212211211tgtgupupupiiicu1i（c）感性电路（c）感性电路12ici211coscosuiuip由于由于cucuxuicc1其中：其中：为电源电压角频率；为电源电压角频率；u为电源电压有效值；为电源电压有效值；p为电路的有功功率，其值在并联补偿电容器前、后不

39、为电路的有功功率，其值在并联补偿电容器前、后不变。变。 1为补偿前感性负载的功率因数角，为补偿前感性负载的功率因数角， 2为补偿后为补偿后电路的功率因数角。电路的功率因数角。由此可知，若有功功率与电压不变，则由此可知，若有功功率与电压不变，则 cos 越高，越高，电流越小，故并联电容器后，电路的电流比并联前变电流越小，故并联电容器后，电路的电流比并联前变小了。小了。)(212tgtgupuicc故：故：解：解： 当闭合并入电容后当闭合并入电容后例例2-4-3 2-4-3 在图在图2-4-172-4-17所示电路中，电源电压所示电路中，电源电压u为工频正为工频正弦电压。在弦电压。在s未闭合前，电

40、压表的读数为未闭合前，电压表的读数为220v，两个电两个电流表流表a与与a1的读数均为的读数均为10a，功率表的读数为功率表的读数为900w。今维持电源电压不变，今维持电源电压不变， 试问试问s闭合并入电容闭合并入电容c100f后，各电表的读数应如何变化？试求此时它们的后，各电表的读数应如何变化？试求此时它们的读数；读数； 计算并联电容前后电路的功率因数。计算并联电容前后电路的功率因数。w wa aa a1 1v vur rl lc cs s图2-4-17 例2-4-3的电路图2-4-17 例2-4-3的电路 由于电源电压不变，由于电源电压不变，且电容元件不消耗有功且电容元件不消耗有功功率，故

41、线圈的电流、功率，故线圈的电流、电路的功率都不变，即电路的功率都不变，即电压表的读数仍为电压表的读数仍为220v，电流表电流表a1的读数仍为的读数仍为10a，功率表的读数仍功率表的读数仍为为900w由有功功率公式可知由有功功率公式可知1cosuip 而电路总的电流减少，即电流表而电路总的电流减少，即电流表a的读数下降。的读数下降。w wa aa a1 1v vur rl lc cs s图2-4-17 例2-4-3的电路图2-4-17 例2-4-3的电路则则并联电容之前电路的并联电容之前电路的功率因数为功率因数为：409. 010220900cos1uip功率因数角为功率因数角为86.65409

42、. 0cos11r rl lc c图2-4-18 接入补偿电容后图2-4-18 接入补偿电容后的电路的电路iu1icia91. 6101005022202/16fcucuxuicc并入电容后其电路如图并入电容后其电路如图2-4-182-4-18所示，电容支路的电流所示，电容支路的电流为为电路的相量图如图电路的相量图如图2-4-19所示所示ci1iiu1o o图2-4-19 例2-4-图2-4-19 例2-4-3的相量图3的相量图由电路相量可得由电路相量可得a65. 4)91. 686.65sin10()86.65cos10()sin()cos(22211211ciiii并联电容后电流表并联电容

43、后电流表a的读数为的读数为4.65a409. 0cos1并联电容后，有功功率、电路两端的电压均不变，则并联电容后，有功功率、电路两端的电压均不变，则由有功功率的公式可得由有功功率的公式可得88. 065. 4220900cos2uip 并联电容前电路的功率因数为并联电容前电路的功率因数为 在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗的串联，在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗的串联，图图2-4-20为两个复数阻抗串联的电路。其中为两个复数阻抗串联的电路。其中z1和和z2 2可可以是电阻，或是电感元件和电容元件，也可以是以是电阻，或是电感元件和电容元件，也可以是rlc串联。串联。ui1z2z1u2u图2

44、-4-20 两个复数阻抗串联的正图2-4-20 两个复数阻抗串联的正弦交流电路弦交流电路uiz由于由于11ziu22ziu则则zi)z(ziuuu2121即即21zzz其中其中z为两个复数阻抗串联的等效复数阻抗，它等于两为两个复数阻抗串联的等效复数阻抗，它等于两个串联复数阻抗之和。个串联复数阻抗之和。 21zzz注意：等效阻抗之和不等于两个串联阻抗之和，即注意：等效阻抗之和不等于两个串联阻抗之和，即由上面的式子可得：由上面的式子可得：uzzzzzuziu211111uzzzzzuziu212222ui1z2z1u2u图2-4-20 两个复数阻抗串联的正图2-4-20 两个复数阻抗串联的正弦交流

45、电路弦交流电路uiz上面两式与电阻的分压公式相同，但在这里电压与电上面两式与电阻的分压公式相同，但在这里电压与电流用相量表示，电阻用复数阻抗表示。流用相量表示，电阻用复数阻抗表示。解：解： 用户取用的电流为用户取用的电流为例例2-4-4 某用户负载某用户负载zl的等值电阻为的等值电阻为rl10，感抗感抗xl10.2 ，额定电压额定电压un为为220v。配电所到用户的输电配电所到用户的输电线电阻线电阻r0=0.5 ，感抗感抗 xl01 ，电路如图电路如图2-4-21所所示。试问：在保证用户电压为额定值时，配电所电示。试问：在保证用户电压为额定值时，配电所电源电压源电压us应为多少？线路损失功率应

46、为多少？线路损失功率p1等于多少？等于多少？若用户拟将功率因数若用户拟将功率因数cos 2提高到提高到0.98,应并联多大电容应并联多大电容器？配电所电源电压应为多少？线路损失功率器？配电所电源电压应为多少？线路损失功率p2为为多少？并联电容后用户一年为配电所节约电能多少多少？并联电容后用户一年为配电所节约电能多少度？（以每年度？（以每年365天，每天用电天，每天用电8小时计算）用户用电小时计算）用户用电量有无变化？量有无变化？ozlzlrljxcjxnusuici图2-4-21 例2-4-4的电路图2-4-21 例2-4-4的电路本题化工、纺织不讲本题化工、纺织不讲电源电压为电源电压为222

47、222015.41010.2nnllluuizrxaozlzlrljxcjxnusuici图2-4-21 例2-4-4的电路图2-4-21 例2-4-4的电路)()(0lllolosjxrjxrizziu22022()()15.4 (0.5 10)(1 10.2)236.4sollluirrxxvw6 .1185 . 04 .15221orip12222100.71010.2lllrcosrx6 .451提高后的功率因数角为提高后的功率因数角为2arccos0.9811.5用户消耗的功率为用户消耗的功率为w23727 . 04 .15220cos21lnriiup用户没并联电容前的功用户没并联

48、电容前的功率因数为率因数为ozlzlrljxcjxnusuici图2-4-21 例2-4-4的电路图2-4-21 例2-4-4的电路功率因数角为功率因数角为则应并联的电容为则应并联的电容为ftgtgtgtgupc5 .127)5 .116 .45(2203142372)(2212此时线路总的电流为此时线路总的电流为2237211cos2200.98npiau设用户电压为设用户电压为v0220nua5 .1111 iozlzlrljxcjxnusuici图2-4-21 例2-4-4的电路图2-4-21 例2-4-4的电路则则v44. 28 .2270220) 15 . 0(5 .1111juzi

49、unosv8 .227su则此时配电所的电源电压为则此时配电所的电源电压为ozlzlrljxcjxnusuici图2-4-21 例2-4-4的电路图2-4-21 例2-4-4的电路即即此时线路的功率损耗为此时线路的功率损耗为222110.560.5opi rw并联电容后线路减少的功率损耗为并联电容后线路减少的功率损耗为12118.660.558.1pppw 每年为配电所节约电能为每年为配电所节约电能为度）(17036581 .583658kwhpw由于用户额定电压、电流和功率均不变，故用户的用电由于用户额定电压、电流和功率均不变，故用户的用电量无任何变化。量无任何变化。2.5 2.5 rlcr

50、lc并联的正弦交流电路的分析与计算并联的正弦交流电路的分析与计算 根据上一节的内容，在根据上一节的内容，在rlcrlc串联的正弦交流电路中，串联的正弦交流电路中，由于各元件通入同一电流，故取电流作为参考相量；由于各元件通入同一电流，故取电流作为参考相量；而在而在rlcrlc并联的正弦交流电路中，各元件两端加同一电并联的正弦交流电路中，各元件两端加同一电压，故取电压作为参考相量。压，故取电压作为参考相量。如图如图2-5-1所示为所示为rlc并联的并联的交流电路，设电压作为参考交流电路，设电压作为参考相量，即相量，即 uicirilirjxl-jxc图图2-5-1 rlc并联的正弦交流电路并联的正

51、弦交流电路0uu则总的电流为则总的电流为)x1x1j(r1uux1jux1jruiiiilcclclrruirux1jjxuilllux1jjxuiccc则各支路电流为则各支路电流为 uicirilirjxl-jxc图图2-5-1 rlc并联的正弦交流电路并联的正弦交流电路则则cl1cl22cl1u1111ij()rxx111xx()1111()()rrxx11xx()1rlcztgztgz 当当其相量图如其相量图如图图2-5-2所示所示clx1x10+1+1+j+julicio orii图2-5-2ciil电压超前电流电压超前电流为感性电路为感性电路uicirilirjxl-jxc图图2-5

52、-1 rlc并联的正弦交流电路并联的正弦交流电路其相量图如其相量图如图图2-5-3所示所示clx1x10il ic电压滞后电流电压滞后电流为容性电路为容性电路当当+1+1+j+julicio orii图2-5-3图2-5-3ciil其相量图如其相量图如图图2-5-4所示所示clx1x10il ic电压与电流电压与电流同相位为阻同相位为阻性电路性电路当当+1+1+j+julicio o图2-5-4iir电路发生谐振。由于是在电路发生谐振。由于是在rlc并联电路，故称为并联谐振。并联电路，故称为并联谐振。uisuisinquicosp2.5.2 2.5.2 功率功率在在rlcrlc并联电路中，其功

53、率的计算公式与并联电路中，其功率的计算公式与rlcrlc串联电路串联电路是一样的，即有功功率、无功功率、视在功率为是一样的，即有功功率、无功功率、视在功率为 2.5.32.5.3复数阻抗的并联复数阻抗的并联 在实际工程中，电在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗路可以是多个复数阻抗的并联，如图的并联，如图2-5-5为两为两个复数阻抗并联的电路。个复数阻抗并联的电路。 ui1i2i1z2z图 2-5-5 复数阻抗的并联电路图 2-5-5 复数阻抗的并联电路uiz（a)（a)(b)(b)21iii而而11zui22uiz则则 )z1z1(uzuzui2121即可写成即可写成zui21z1z1z1ui

54、1i2i1z2z图 2-5-5 复数阻抗的并联电路图 2-5-5 复数阻抗的并联电路uiz（a)（a)(b)(b)由图由图2-5-5和基尔霍夫电和基尔霍夫电流定律流定律（kcl）得得其中其中或写成或写成2121zzzzz即两个复数阻抗的并联，其等即两个复数阻抗的并联，其等效复数阻抗的倒数等于两个并效复数阻抗的倒数等于两个并联复数阻抗倒数之和。联复数阻抗倒数之和。 izzzzizzzzzzi21212121111zuiizzzzizzzzzzi21122121222zui注：这两个式子与电阻的注：这两个式子与电阻的分流公式相似，但这里电分流公式相似，但这里电压与电流用相量表示，电压与电流用相量表

55、示，电路参数用复数阻抗表示。路参数用复数阻抗表示。ui1i2i1z2z图 2-5-5 复数阻抗的并联电路图 2-5-5 复数阻抗的并联电路uiz（a)（a)(b)(b)21z1z1z1而且有而且有1h410f1001a ab b图2-5-6 例2-5-1的电路图2-5-6 例2-5-1的电路并z串z解：解：1101044lxl110100101164cxc例例2-5-1 求图求图2-5-6所示电路的复数阻抗所示电路的复数阻抗zab，已知已知104rad/s。则则 11jz 串2121)2222(22222) 1(111454590jjeeejjzjjj）（并4 .1858. 15 . 0 j5

56、 . 121j211 j1并串zzzab例例2-5-2 如图如图2-5-7所示电路中，已知所示电路中，已知 ，求求 ，电路的有功功率，电路的有功功率p、无功功率无功功率q和视在功率和视在功率s。v01cuu2a ab b图2-5-7 例2-5-2的电路图2-5-7 例2-5-2的电路2j 2j2cuu解：画出电路的相量图，解：画出电路的相量图，如图如图2-5-8所示。所示。1h410f1001a ab b图2-5-6 例2-5-1的电路图2-5-6 例2-5-1的电路并z串z故故按教材按教材p51顶的方法讲顶的方法讲故电流故电流ic和和ir为为a5 . 021iirccurici0.5a0.5

57、airulu0.5a0.5aa25 . 01v1vv2rlu2v2vu图2-5-8 例2-5-2的相量图图2-5-8 例2-5-2的相量图2a ab b图2-5-7 例2-5-2的电路图2-5-7 例2-5-2的电路2j 2j2cuuriciirulurlu由于由于v01cu由相量图得由相量图得a25 . 0i2icv2225 . 0uulr再由相量图得再由相量图得v2222urrlu故故v24. 2512u22相量为相量为v4 .6324. 2u则则curici0.5a0.5airulu0.5a0.5aa25 . 01v1vv2rlu2v2vu图2-5-8 例2-5-2的相量图图2-5-8

58、例2-5-2的相量图2a ab b图2-5-7 例2-5-2的电路图2-5-7 例2-5-2的电路2j 2j2cuuriciirulurlu电压的初相角为电压的初相角为curici0.5a0.5airulu0.5a0.5aa25 . 01v1vv2rlu2v2vu图2-5-8 例2-5-2的相量图图2-5-8 例2-5-2的相量图u4 .6312arctgu则总电压和电流的相位则总电压和电流的相位差为差为 63.4o - 45o18.4o故电路的功率为故电路的功率为va58. 125 . 024. 2svar45. 04 .18sin25 . 024. 2qw5 . 14 .18cos25 .

59、 024. 2pr r-jx-jxc cjxjxl li1i2iu图2-5-11 例2-5-4的电路图2-5-11 例2-5-4的电路1i10a10a2icu10a10a图2-5-12 例2-5-4的相量图图2-5-12 例2-5-4的相量图iulua21021iiv100uulv2100u2uc解：设电容两端电压为参考解：设电容两端电压为参考相量，则相量图如图相量，则相量图如图2-5-12所示，由相量图得所示，由相量图得例例2-5-4 如图如图2-5-11所示电路，已知所示电路，已知u100v， i1i2 =10a，u 与与i同相，试求：同相，试求：i、xc、r及及xl。210102100i

60、ux2cc210102100iur1c25210100iuxll2-6 2-6 复杂的正弦交流电路的分析与计算复杂的正弦交流电路的分析与计算 在复杂的正弦交流电路中，电路的结构是多种多在复杂的正弦交流电路中，电路的结构是多种多样的，元件也不是单一的。但电路的基本定律和直流样的，元件也不是单一的。但电路的基本定律和直流电路的分析方法，仍适用于正弦交流电路，而且欧姆电路的分析方法，仍适用于正弦交流电路，而且欧姆定律和基尔霍夫定律也有相量形式的表达式。只是注定律和基尔霍夫定律也有相量形式的表达式。只是注意在这里直流电路的电压、电流与电动势分别要用相意在这里直流电路的电压、电流与电动势分别要用相量代替