方差分析—田间试验统计课件

1、n 上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方法。本章将介绍法。本章将介绍k k( (k k3)3)个样本平均数的假设测验方个样本平均数的假设测验方法，即方差分析法，即方差分析(analysis of variance)(analysis of variance)。这种方。这种方法的基本特点是：将所有法的基本特点是：将所有k k个样本的观察值和平均数个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和，和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和，进而获得

2、不同变异来源的总体方差估计值。进而获得不同变异来源的总体方差估计值。n其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。设测验的依据。 上一章学习一个或两个样本平均数的假设测验方法本章将学习上一章学习一个或两个样本平均数的假设测验方法本章将学习k3k3个样个样本平均数的假设测验方法。在本平均数的假设测验方法。在k3k3个样本能否用统计推断的方法进行两个样本能否用统计推断的方法进行两两测验呢？回答是不可取的。主要原因是会提高犯第一类错误的概率。两测验呢？回答是不可取的。主要

3、原因是会提高犯第一类错误的概率。例如，用一对一比较的方法检验例如，用一对一比较的方法检验5 5个平均数之间的相等性，共检验个平均数之间的相等性，共检验1010对。对。假设每一对检验接受无效假设的概率都是假设每一对检验接受无效假设的概率都是1-=0.951-=0.95，而且这些检验都是，而且这些检验都是独立的，那末，独立的，那末，1010对都接受的概率是对都接受的概率是0.950.951010=0.60, =1-0.6=0.40,=0.60, =1-0.6=0.40,犯犯第一类错误的概率明显增加。解决这一问题的一种统计方法，叫做方差第一类错误的概率明显增加。解决这一问题的一种统计方法，叫做方差分

4、析法。此法将所有分析法。此法将所有k k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和，进而获得不同变异来源的总体方差估值。计算这些估值的适当的和，进而获得不同变异来源的总体方差估值。计算这些估值的适当的F F值，值，就测验假设就测验假设H0: H0: 1=1=2=2=3=3=k(k(各总体平均数相等），方差分析是科各总体平均数相等），方差分析是科学的实验设计和分析中的一个十分重要工具。学的实验设计和分析中的一个十分重要工具。5

5、.1.1 5.1.1 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解n 方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。一步。n下面我们首先用一个例子来说明这一问题。下面我们首先用一个例子来说明这一问题。 例例5.15.1以以A A、B B、C C、D4D4种药剂处理水稻种种药剂处理水稻

6、种子，其中子，其中A A为对照，每处理各得为对照，每处理各得4 4个苗高观个苗高观察值察值(cm)(cm)，试分解其自由度和平方和。，试分解其自由度和平方和。药剂药剂苗高观察值苗高观察值总和总和T Ti i平均数平均数 A A181821212020131372721818B B202024242626222292922323C C101015151717141456561414D D28282727292932321161162929T T=336=336=21=21iyyn1、总变异n 把表中的全部观察值作为一个组看待即把4个处理(4组、每组有4个观察值)合并成一组，共有16个观察值，根据

7、前面讲过的计算平方和的公式 ，可以计算出总变异的平方和和自由度60244336322118)()(2222222nkyyyySSiTn自由度自由度DFDFT T= =nknk-1=4-1=44-1=154-1=15。n表中的每一个观察值，即包括有处理的表中的每一个观察值，即包括有处理的效应效应( (不同药剂对苗高的影响不同药剂对苗高的影响) )又受到误又受到误差的影响。差的影响。其中：其中：nkTnky22)(称为矫正数，用称为矫正数，用C C表示。表示。n2 2、误差效应、误差效应n表中处理内表中处理内( (组内组内) )各观察值之间，若不存在误各观察值之间，若不存在误差，则各观察值应该相等

8、，由于误差是客观存差，则各观察值应该相等，由于误差是客观存在的，因而处理内在的，因而处理内( (组内组内) )各观察值之间必然是各观察值之间必然是有差异的，因此，可以用组内有差异的，因此，可以用组内( (处理内处理内) )的差异的差异度量误差效应：度量误差效应：3847213202118)(2222221212111nTyyySSjje药剂A内：药剂B内：2049222262420)(2222222222222nTyyySSjje药剂C内：2645614171510)(2222223232333nTyyySSjje药剂D内：14411632292728)(2222224242444nTyyyS

9、Sjje从理论上讲，这从理论上讲，这4 4个误差平方和除以相应的个误差平方和除以相应的自由度得的误差均方都可以作为总体误差自由度得的误差均方都可以作为总体误差方差的无偏估计值。但是，用它们的加权方差的无偏估计值。但是，用它们的加权平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。所以所以：9814262038)(211kniijeyySS每个组内每个组内( (处理内处理内) )的自由度为：的自由度为：n n -1=4-1=3,-1=4-1=3,) 1(,)(12kDFyySStkit所以误差的自由度为：所以误差的自由度为：DFDFe e= =k k( (n n-1)=

10、4(4-1)=12-1)=4(4-1)=123 3、处理效应、处理效应如果没有处理效应，表中各个处理如果没有处理效应，表中各个处理( (组组) )平均数平均数来度量处理效应。来度量处理效应。iy从理论上讲均应该相等，从理论上讲均应该相等， 因此可以用因此可以用iyCnTyynnSSSSikitt221)(为了进行正确的F 测验，必须使它们都是估。因而，处理(组间)平方和2计同一参数应为：需要注意的是，ttdfSS系样本平均数的方差，n2eedfSS2是的估值，而则是的估值504)2129()2114()2123()2118(4)(222221yynSSkit504705641165692722

11、2222CnTSSitetTetTDFDFDFSSSSSS,n本例中本例中 平方和平方和:602=504+98:602=504+98n自由度：自由度： 15=3+1215=3+12n因此误差平方和可以采用简单的办法计算因此误差平方和可以采用简单的办法计算nSSSSe e= =SSSST T- -SSSSt t=602-504=98=602-504=98。n进而可得均方：进而可得均方：17. 8129800.168350422eeeettttdfSSsMSdfSSsMSn平方和与自由度的分解归纳为下表平方和与自由度的分解归纳为下表变异来源变异来源DFDFSSSSMSMS处理间处理间( (组间组间

12、) )k k-1-1MSMSt t误差误差( (组内组内) )k k( (n n-1)-1)MSMSe e总变异总变异knkn-1-1nkTnkyCCyyyi2222)()(CnTyyniki221)(tTkniijSSSSyy 211)(将上述例子推广到一般，设有将上述例子推广到一般，设有k k组数据，每组皆组数据，每组皆具具n n个观察值，则资料共有个观察值，则资料共有nknk个观察值，其数据个观察值，其数据分组如表分组如表6.1(P99)6.1(P99)。5.1.2 F分布与分布与F测验测验n一、F 分布n 在一个平均数为、方差为2的正态总体中随机抽取两个独立样本，分别求212121),

13、(ssF22s21s22s21s和，将和的比值定义为F：其均方其均方按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的就可得到一系列的F F值而作成一个值而作成一个F F分布。分布。它是具平均数它是具平均数而某一特定曲线的形状仅决定于参数而某一特定曲线的形状仅决定于参数1 1和和2 2。 F F分布下一定区间的概率可从已制成的分布下一定区间的概率可从已制成的统计表中查出。附表统计表中查出。附表5 5给出了各种给出了各种1 1和和2 2下右尾概率下右尾概率=0.05=0.05和和=0.01=0.01二、F 测验 在方差分析的体系中，F测验可用于检测某项变

14、异因素的效应或方差是否存在。所以在计算F值时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另一项变异(如误差项)作分母。21s时的临界时的临界F F 值。其值是专供测验值。其值是专供测验的总体方的总体方21是否显著大于是否显著大于2222s的总体方差的总体方差差差而设计的而设计的( (H H0 0 ：对HA2221)。2122 F F测验需具备的条件：测验需具备的条件：(1)(1)变数变数y y遵循遵循N N( (，2 2) )；2ts 例例6.3 6.3 在例在例6.16.1中算得药剂间均方中算得药剂间均方= =168.00168.00，药剂内均方，药剂内均方2es=8.17=8.17，具

15、有自由度，具有自由度1 1=3=3，2 2=12=12。试测验药剂间变异。试测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？是否显著大于药剂内变异？22et假设假设H H0 0：22et对HA：=0.05=0.0522s21s和彼此独立。(2)56.2017. 800.16822etssF查附表5在测验计算：n将例将例6.16.1和例和例6.36.3的分析结果归纳在一起，列出方差的分析结果归纳在一起，列出方差分析表如下：分析表如下： 变异来源变异来源DFDFSSSSMSMSF F显著显著F F值值药剂处理间药剂处理间3 3504504168.00168.0020.5620.56F F0.050.05=3

16、.49=3.49药剂处理内药剂处理内( (误差误差) )121298988.178.17F F0.010.01=5.95=5.95总变异总变异1515602602水稻药剂处理苗高方差分析表水稻药剂处理苗高方差分析表22et推断：否定推断：否定H H0 0：22et，接受接受H HA A：5.2.1 5.2.1 最小显著差数法最小显著差数法n最小显著差数法最小显著差数法(least significant (least significant differrencedifferrence，简称，简称LSDLSD法法) )nMSsstLSDeyyyyjiji2 例例6.4 6.4 试以试以LSDL

17、SD法测验各种药剂处理的法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。苗高平均数之间的差异显著性。)(02. 2417. 82cmsjiyy由附表由附表4 4，=12=12时，时，t t0.050.05=2.179,=2.179,t t 0.010.01=3.055=3.055故故 LSDLSD0.050.05=2.179=2.1792.02=4.40(cm)2.02=4.40(cm) LSDLSD0.010.01=3.055=3.0552.02=6.17(cm)2.02=6.17(cm)处理处理苗高平均数苗高平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01D D2929B B23

18、23A A1818C C1414不同药剂处理水稻苗高平均数比较不同药剂处理水稻苗高平均数比较(LSD(LSD法法) )a ab bc cc cA AA AB BB BC CC C5.2.2 5.2.2 q q 法法n q q 测验方法是将测验方法是将k k个平均数由大到小排列个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差几个平均数间的极差分别确定最小显著极差LSRLSR值的。值的。nMSSESEqLSRepdf/,; 例例6.5 6.5 试以试以q q法测验各种药剂处理的苗法测验各种药剂处理的苗高平均数之间

19、的差异显著性。高平均数之间的差异显著性。43. 14/17. 8SE查附表查附表7 7，得到当，得到当DFDF=12=12时，时，p=2,3,4p=2,3,4的的q q值值nLSRLSR值值P Pq q 0.050.05q q 0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.012 23.083.084.324.324.404.406.186.183 33.773.775.045.045.395.397.217.214 44.204.205.505.506.016.017.877.87处理处理苗高平均数苗高平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01D D29

20、29a aA AB B2323 b b AB ABA A1818 c c BCBCC C1414 c c C C不同药剂处理水稻苗高平均数比较不同药剂处理水稻苗高平均数比较( (q q法法) )5.2.3 5.2.3 新复极差法新复极差法n 新复极差法，又称最短显著极差法新复极差法，又称最短显著极差法(shortest (shortest significant range)significant range)，与，与q q法相似。计算法相似。计算LSRLSR值查的值查的是是SSRSSR值值( (附表附表8)8)而不是而不是q q表。表。pSSRSELSR,P PSSRSSR 0.050.05

21、SSRSSR 0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.012 23.083.084.324.324.404.406.186.183 33.233.234.554.554.624.626.516.514 43.333.334.684.684.764.766.696.691. 标记字母法iy差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均平均药剂药剂新复极差测验差异显著性表新复极差测验差异显著性表aApLSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.696A11B2. 2. 列梯形表法列梯形表法处理处理 平均数平均数差差

22、异异D DB BA AC C29292323181814141515* * *9 9* * *4 41111* * *5 5* *6 6* *14iyiy18iy23iy3. 3. 划线法划线法29cm(D) 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)29cm(D) 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)5.2.4 5.2.4 多重比较方法的选择多重比较方法的选择n1 1、试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，、试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法差数法LSDaLSDa法；法；n

23、2 2、根据否定一个正确的、根据否定一个正确的H H0 0和接受一个不正确的和接受一个不正确的H H0 0的相对重要性来决定。的相对重要性来决定。n参考以下几点：参考以下几点：根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相同，同，LSDLSD法最低，法最低，SSRSSR次之，次之，q q法最高。故对于试验法最高。故对于试验结论事关重大或有严格要求时，用结论事关重大或有严格要求时，用q q测验，一般试测验，一般试验可采用验可采用SSRSSR法。法。方差分析的基本步骤：方差分析的基本步骤：（1 1）分解平方和与自由度；）分解平方和与自由度；（2 2）F F

24、测验；测验；（3 3）平均数的多重比较。）平均数的多重比较。5.3.1 5.3.1 方差分析的线性数学模型方差分析的线性数学模型n 方差分析是建立在一定的线性可加模型方差分析是建立在一定的线性可加模型的基础上的。所谓线性可加模型是指总体每的基础上的。所谓线性可加模型是指总体每一个变量可按其变异的原因分解成若干个线一个变量可按其变异的原因分解成若干个线性组成部分，它是方差分析的基础。性组成部分，它是方差分析的基础。表表6.16.1数据的线性模型可表示为：数据的线性模型可表示为：ijiijy式中，式中，为总体平均数，为总体平均数，i i为试验处理为试验处理效应，效应，ijij为随机误差具有为随机误

25、差具有N N(0(0，2 2) )。n 在以样本符号表示时，样本的线性组成为：在以样本符号表示时，样本的线性组成为：ijiijetyyy是是的无偏估计值，的无偏估计值， iiiieyyt)(ijiijijyye)(2112) 1()(ekniijenkyyMS222212)(1)(eekitnnnkyynMS5.3.2 5.3.2 期望均方期望均方n 在线性可加模型中，由于对在线性可加模型中，由于对i i有不同解释产有不同解释产生了固定模型生了固定模型(I)(I)和随机模型和随机模型(II)(II)。n一、固定模型一、固定模型(fixed model)(fixed model)n 指试验的各处

26、理都抽自特定的处理总体，其指试验的各处理都抽自特定的处理总体，其处理效应处理效应i i=(=(i i- - ) )是一个固定的常量，我们的是一个固定的常量，我们的目的就在于研究目的就在于研究i i，所测验的假设是，所测验的假设是H H0 0：i i=0=0或或H H0 0：i i= = 。n一般的栽培和饲养试验，如肥料试验、药一般的栽培和饲养试验，如肥料试验、药效试验、密度试验、饲料试验、品种试验效试验、密度试验、饲料试验、品种试验等均属于固定模型。等均属于固定模型。例例6.86.8以以5 5个水稻品种作大区比较试验，个水稻品种作大区比较试验，每品种作每品种作3 3次取样，测定其产量，所得数据

27、次取样，测定其产量，所得数据为单向分组资料。本试验需明确各品种的效为单向分组资料。本试验需明确各品种的效应，故为固定模型，方差分析和期望均方的应，故为固定模型，方差分析和期望均方的参数列入下表：参数列入下表：n5 5个水稻品种产量的方差分析与期望均方表个水稻品种产量的方差分析与期望均方表变异来源变异来源DFDFSSSSMSMS期望均方（期望均方（EMSEMS）：固定模型）：固定模型品种间品种间品种内品种内4 4101087.687.624.024.021.921.92.402.40222n固定模型的处理效应（本例为品种效应）固定模型的处理效应（本例为品种效应） i i属于属于固定效应，固定效应

28、的方差用表示。固定效应，固定效应的方差用表示。固定模型的固定模型的F F测验测验222222nssFetn二、随机模型二、随机模型(random model)(random model) n 指试验中的各处理皆是抽自指试验中的各处理皆是抽自N(0N(0， ) )的一的一组随机样本，因而处理效应组随机样本，因而处理效应i i是随机的，它会是随机的，它会因试验的不同而不同；故我们的目的不在于研因试验的不同而不同；故我们的目的不在于研究究i i而在于研究而在于研究i i的变异度。的变异度。n 随机模型在遗传、育种和生态的研究试随机模型在遗传、育种和生态的研究试验方面有较广泛的用处。验方面有较广泛的用

29、处。2n例例6.96.9研究籼粳杂交研究籼粳杂交F5F5代系间单株干草重的遗代系间单株干草重的遗传变异，随机抽取传变异，随机抽取7676个系进行试验，每系随机取个系进行试验，每系随机取2 2个样品测定干草重（个样品测定干草重（g/g/株）。因这株）。因这7676个系是随机个系是随机抽取的样本，要从这些样本来估计抽取的样本，要从这些样本来估计F5F5代系间单株代系间单株干草重的遗传变异，故这是随机模型。其方差分干草重的遗传变异，故这是随机模型。其方差分析的结果如下：析的结果如下：变异来源变异来源DFDFMSMS期望均方（期望均方（EMSEMS）：固定模型）：固定模型系统间系统间系统内系统内757

30、5767672.7972.7917.7717.77222nn随机模型的随机模型的F F 测验测验22222nssFet77.172本例中系统内本例中系统内 MS MS 估计了估计了2 2，因而，因而51.272/ )77.1779.72(,79.722222；系统间系统间MSMS22n估计了估计了因而因而这是测验处理效应的变异度，而不是测验这是测验处理效应的变异度，而不是测验处理效应本身。处理效应本身。本例本例F F72.79/17.77=4.09F72.79/17.77=4.09F0.050.05，说明单，说明单株干草重存在遗传变异。株干草重存在遗传变异。5.4.1 5.4.1 组内观察值数

31、目相等的单向分组资料的方差组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析分析每组具每组具n n个观察值的个观察值的k k组数据的符号表组数据的符号表组别组别 观察值观察值( (y yijij, ,i i=1,2,=1,2,k k ; ; j j=1,2,=1,2,n n) ) 总和总和平均平均均方均方1 1y y1111y y1212y y1j1jy y1n1nT T1 12 2y y2121y y2222y y2j2jy y2n2nT T2 2：i iy yi1i1y yi2i2y yijijy yininT Ti i：k ky yk1k1y yk2k2y ykjkjy yknknT Tk k

32、T T=y yijij=y y 1y2y21s22s2isiyky2ksy 变变 异异 来来 源源自自由由度度DFDF平方和平方和SSSS均方均方MSMSF F期望均方期望均方EMSEMS固定模型固定模型随机模型随机模型处处理理间间k-1k-1误误 差差 k k(n-1)(n-1)总变总变异异nknk-1-1CnTyynii22)(tMSeMS22n22n22tTiijSSSSyy2)(etMSMSnkTCCyyyij222,)(组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析例：研究例：研究6 6种氮肥施用法对小麦的效应，每种施肥法种种氮肥施用法对小麦的效

33、应，每种施肥法种5 5盆小盆小麦，完全随机设计。最后测定它们的含氮量（麦，完全随机设计。最后测定它们的含氮量（mgmg），）， 试作试作方差分析方差分析施氮法施氮法1 12 23 34 45 56 612.912.914.014.012.612.610.510.514.614.614.014.012.312.313.813.813.213.210.810.814.614.613.313.312.212.213.813.813.413.410.710.714.414.413.713.712.512.513.613.613.413.410.810.814.414.413.513.512.712.7

34、13.613.613.013.010.510.514.414.413.713.712.5212.5213.7613.7613.1213.1210.6610.6614.4814.4813.6413.641. 1. 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解自由度：自由度：总变异的自由度总变异的自由度=6=6 5-1=295-1=29处理间的自由度处理间的自由度=6-1=5=6-1=5误差的自误差的自由度由度=6=6（5-15-1）=24=24平方和：平方和： （按照公式进行计算）（按照公式进行计算）SSSST T=45.763 SS=45.763 SSt t=44.463 SS=44.463 SS

35、e e=SS=SST T-SS-SSt t=47.763-=47.763-44.463=1.30044.463=1.3002. F2. F测验测验( (见下表见下表) ) 方差分析表方差分析表变异来源变异来源DFDFSSSSMSMSF FF0.01F0.01处理间处理间5 544.46344.4638.89268.8926164.07164.07* * *3.903.90误差误差24241.3001.3000.05420.0542总变异总变异2929单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 1041. 050542. 0SE3.3.各处理平均数的比较各处理平均数的比较p p2 23 34

36、45 56 6SSRSSR0.050.052.922.923.073.073.153.153.223.223.283.28SSRSSR0.010.013.963.964.144.144.244.244.334.334.394.39LSRLSR0.050.050.3040.3040.3190.3190.3280.3280.3350.3350.3410.341LSRLSR0.010.010.4120.4120.4310.4310.4410.4410.4500.4500.4570.457单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 多重比较结果：多重比较结果：施氮法施氮法平均数平均数差异显著性差异显

37、著性14.2814.28a aA A13.7613.76b bB B13.6413.64b bB B13.1213.12c cC C12.5212.52d dD D10.6610.66e eE E2 2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析其方差分析表为：其方差分析表为：方差分析表方差分析表变异来源变异来源自由度自由度DFDF平方和平方和SSSS均方均方MSMSF F值值处理间处理间K K-1-1S St t2 2S St t2 2/ / S Se e2 2误差误差n ni i- -k k S Se e2 2总变异总变异n ni i-1 -1

38、x x2 2- -C C 2)(ixx2)( xxnii 设有设有K K个处理，每处理中的观察值数目分别为个处理，每处理中的观察值数目分别为n n1 1，n n2 2, , nk, , nk的资料，其数据类型如表：的资料，其数据类型如表：123212024292522242528222325252921303126272426262021例：调查例：调查4 4种不同类型的水稻田种不同类型的水稻田2828块，每田稻纵卷叶螟的百块，每田稻纵卷叶螟的百丛虫口密度如表，问不同类型田的虫口密度有无差异？丛虫口密度如表，问不同类型田的虫口密度有无差异？表表 4块稻田的虫口密度块稻田的虫口密度1234121

39、4 9121310 21114111010151311 9151412 81611131017121211Ti102738072 T=32714.5712.1710.010.29ni 7 6 8 7 N=28ix68.11xa.a.分解自由度分解自由度总自由度总自由度28-1=2728-1=27处理间自由度处理间自由度k-1=3k-1=3处理内自由度处理内自由度27273 32424b.b.计算平方和计算平方和C C3273272 228283 818.893 818.89SSSST T=x x2 2- -C C =4 045-3 818.89=226.11=4 045-3 818.89=22

40、6.11SSSSt t= = 102 1022 2/7+73/7+732 2/6+80/6+802 2/8+72/8+722 2/7-/7-C=96.13C=96.13SSSSe=e=SSSST T- -SSSSt t=129.98=129.98CnTxxnSSiit/)(22C.C.计算均方计算均方12nkSSSTT12kSSStt) 1(2nkSSSee226.111540.13组间均方组间均方组内均方组内均方总均方总均方96.13332.04129.98245.42方差分析表方差分析表平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F0.01SSt=96.13 3 St2=96.13/3=32

41、.04 St2/ Se2=5.91* 4.72SSe=129.98 24 Se2=129.98/24=5.42SST=226.11 27变异来源自由度DF平方和SS均方MSF值处理间K-1SStSt2= SSt/df1F=St2/ Se2误差K(n-1)SSeSe2= Sse/df2总变异nk-1SSTd.d.计算计算F F值（列出方差分析表）值（列出方差分析表）n计算平均数的标准误计算平均数的标准误n采用新复极差法，查采用新复极差法，查SSRSSR表，自由度为表，自由度为1212时时n平均数大小排序、比较平均数大小排序、比较88. 0742. 52nSeSEe.e.多重比较多重比较p234S

42、SR0.053.083.233.33SSR0.014.324.554.68LSR0.052.712.842.93LSR0.013.804.004.12处理处理 虫口密度虫口密度 显著性显著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B) 1)(220knnnniii798. 6) 14(28)7867(28222220n 计算新的计算新的n n0 0值，值，处理处理 虫口密度虫口密度 显著性显著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b Bf.f.

43、结论结论 本试验中不同处理间有极显著差异本试验中不同处理间有极显著差异(F=5.91F(F=5.91F.01.01(4.72)(4.72)，其中在，其中在.05.05和和.01.01水平水平上第上第1 1块田与第块田与第3 3、4 4田的虫口密度有显著差异，田的虫口密度有显著差异，其他处理间差异均不显著。其他处理间差异均不显著。5.4.2组内又分亚组的单向分组资料的方差分析组内又分亚组的单向分组资料的方差分析组别组别亚组亚组观察值观察值亚组总亚组总和和T Tijij亚组均亚组均数数组总组总和和T Ti i组均组均数数1 1：T T1 12 2：T T2 2：i i1 1y yi11i11y y

44、i12i12y yi1ki1ky yi1ni1nT Ti1i1T Ti i2 2y yi21i21y yi22i22y yi2ki2ky yi2ni2nT Ti2i2：j jy yij1ij1y yij2ij2y yijkijky yijnijnT Tijij：m my yim1im1y yim2im2y yimkimky yimnimnT Timim：l lT Ti iiyijy1y2y1 iy2iyijyimyiyiylmnTyyTijk/ n 设一系统分组资料共有设一系统分组资料共有l l组，每组内有组，每组内有m m个亚组，每一亚组内有个亚组，每一亚组内有n n个观察值，则该资料个观察

45、值，则该资料共有共有lmnlmn个观察值。其观察值的线性模型为：个观察值。其观察值的线性模型为：ijkijiijky将该线性模型变型得：将该线性模型变型得：ijkijiijky等式的左边是总效应，它是由右边的等式的左边是总效应，它是由右边的(1)(1)组组间变异；间变异；(2)(2)同一组内亚组间变异；同一组内亚组间变异；(3)(3)同同一亚组内各重复观察值间的变异所构成。一亚组内各重复观察值间的变异所构成。其自由度和平方和的估计如下：其自由度和平方和的估计如下：1 1、总变异、总变异自由度自由度DFDFT T= =lmnlmn-1-1lmnTCCyyySSlmnT/,)(22212 2、组间

46、、组间( (处理间处理间) )变异变异 自由度自由度DFDFt t= =l l-1-1CmnTyymnSSilit/)(2213 3、同一组内亚组间的变异、同一组内亚组间的变异 自由度自由度) 1(1mlDFemnTnTyynSSiijlmiije/)(222111n4 4、亚组内变异、亚组内变异自由度自由度) 1(2nlmDFenTyyySSijijklmnijijke/)(2221112n二级系统分组资料的方差分析二级系统分组资料的方差分析变异来变异来源源DFDFSSSSMSMSF F期望均方期望均方( (EMSEMS) )混合模型混合模型随机模型随机模型组间组间l l-1-1组内亚组内亚

47、组间组间l l( (m m-1)-1)亚组内亚组内l lm(n-1)m(n-1)总变异总变异l lmn-1mn-12)(yymnitMS222mnn222mnn2)(iijyyn1eMS22n22n1etMSMS2)(ijyy2eMS2221eeMSMS2)(yyn 例例6.126.12在温室内以在温室内以4 4种培养液种培养液(l=4)(l=4)培养某种作物，每种培养某种作物，每种3 3盆盆(m=3)(m=3)，每盆，每盆4 4株株(n=4)(n=4)，一个月后测定其株高生长量，一个月后测定其株高生长量(mm),(mm),结果如结果如下表，试作方差分析。下表，试作方差分析。培养液培养液A A

48、B BC CD D总和总和盆号盆号A A1 1A A2 2A A3 3B B1 1B B2 2B B3 3C C1 1C C2 2C C3 3D D1 1D D2 2D D3 3生生长长量量505035354545505055555555858565657070606060606565555535354040454560604545606070707070555585856565404030304040505050506565909080807070353545458585353540405050454550505555858565657070707075757575盆总和盆总和T Tijij

49、180180140140175175190190215215220220320320280280280280220220265265290290T=2725T=2725培养液培养液总和总和T Ti i495495625625880880775775培养液培养液平均平均41.341.352.152.173.373.364.664.6iyn一、自由度和平方和分解一、自由度和平方和分解n总自由度总自由度DFDFT T= =lmnlmn-1=(4-1=(43 34)-1=474)-1=47n培养液间自由度培养液间自由度DFDFt t= =l l-1=4-1=3-1=4-1=3n培养液内盆间自由度培养液

50、内盆间自由度nDFDFe1e1= =l l( (m m-1)=4-1)=4(3-1)=8(3-1)=8n盆内株间自由度盆内株间自由度nDFDFe2e2= =lmlm( (n n-1)=4-1)=43 3(4-1)=36(4-1)=3669.16042943427752C31.1159569.1604291720257555502222CCySST56.712625.1675564377588062549522222CCCmnTSSit50.126225.16755675.16881825.1675564/ )290140180(/222221mnTnTSSiije25.320675.16881

51、8172052/222nTySSijen2 2、培养液间差异、培养液间差异二、二、F F 测验测验1 1、盆间差异、盆间差异02假设假设H H0 0：，求得：求得：F F=157.81/89.06=1.77=157.81/89.06=1.77此此F F值小于值小于1 1=8,=8,2 2=36 =36 F F0.050.05=2.22,=2.22,所以接受所以接受H H0 00:20H假设假设，求得：，求得：n推断：该试验同一培养液内盆间的生长量无推断：该试验同一培养液内盆间的生长量无显著差异；而不同培养液间的生长量有极显显著差异；而不同培养液间的生长量有极显著的差异。著的差异。 F F=23

52、75.25/157.81=15.05=2375.25/157.81=15.050:20H此此F F值大于值大于1 1=3,=3,2 2=8=8F F0.010.01=7.59,=7.59,故否定故否定0:2AH，接受接受变异来源变异来源DFDFSSSSMSMSF FF F0.050.05F F0.010.01培养液间培养液间3 37126.567126.562375.522375.5215.0515.054.074.077.597.59培养液内盆培养液内盆间间8 81262.501262.50157.81157.811.771.772.222.223.043.04盆内株间盆内株间3636320

53、6.253206.2589.0689.06总变异总变异474711595.3111595.31方差分析表方差分析表n三、各培养液平均数间的比较三、各培养液平均数间的比较)(63. 34381.1571cmmnMSSEep pSSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.012 23.263.264.744.7411.8311.8317.2117.213 33.393.395.005.0012.3112.3118.1518.154 43.473.475.145.1412.6012.6018.6618.664 4种培养液的种培养液的LS

54、RLSR值值( (新复极差测验新复极差测验) )n4 4种培养液植株生长量种培养液植株生长量(mm)(mm)的差异显著性的差异显著性培养液平均生长量差异显著性0.050.01C73.3aAD64.6a ABB52.1 b BC A41.3 b C5.5.1 5.5.1 组合内只有单个观察值的两向分组资料的组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析方差分析n设有A和B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，每一处理组合仅有一个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如下表：A A因素因素B B因素因素T Ti iB B1 1B B2 2B Bb bA A1 1y y1111y y12

55、12y y1b1bT T1.1.A A2 2y y2121y y2222y y2b2bT T2.2.：A Aa ay ya1a1y ya2a2y yababT Ta.a.T.T.j jT T.1.1T T.2.2T T.b.bT T. iyjy. 1y. 2y.ay.y1 .y2 .yby.n观察值的线性模型为：观察值的线性模型为：ijjiijy因此，总变异可分解成因此，总变异可分解成A A因素效应、因素效应、B B因素效应和误差因素效应和误差效应三个部分。其自由度和平方和的分解如下表：效应三个部分。其自由度和平方和的分解如下表：变异变异来源来源DFDFSSSSMSMSF F混合模型混合模型E

56、MSEMS(A(A固定，固定，B B随机随机) )A A因素因素a a-1-1B B因素因素b b-1-1误误 差差( (a a- -1)(1)(b b-1)-1)总变总变异异abab-1-1CbTyybii/)(2.2.CaTyyajj/)(2.2.BATjiSSSSSSyyyy2.)(Cyyyij22.)(AMSBMSeMSeAMSMSeBMSMS222Ba22Ab注意：这种类型资料，其误差项是误差与注意：这种类型资料，其误差项是误差与互作的混合项。因此只有互作的混合项。因此只有ABAB不存在互作时，不存在互作时，才能正确估计误差。另外，为提高试验的才能正确估计误差。另外，为提高试验的精确

57、性。误差自由度精确性。误差自由度不能小于不能小于1212。例例5.135.13采用采用5 5种生长素处理豌豆，未处理为对种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植照，待种子发芽后，分别每盆中移植4 4株，每组株，每组6 6盆，盆，每盆一个处理，试验共有每盆一个处理，试验共有4 4组组2424盆，并按组排列于温盆，并按组排列于温室中，使同组各盆的环境条件一致。当各盆见第一室中，使同组各盆的环境条件一致。当各盆见第一朵花时记录朵花时记录4 4株豌豆的总节间数，结果见下表，试作株豌豆的总节间数，结果见下表，试作方差分析。方差分析。处理（处理（A A）组（组（B B）总和总和T Ti

58、.i.平均平均I IIIIIIIIIIIIVIV未处理（未处理（CKCK）606062626161606024324360.860.8赤霉素赤霉素656565656868656526326365.865.8动力精动力精636361616161606024524561.361.3吲哚乙酸吲哚乙酸硫酸腺嘌呤硫酸腺嘌呤马来酸马来酸64646262616167676565626263636262626261616464656525525525325325025063.863.863.363.362.562.5总和总和T.T.j j375375382382377377375375T T15091509(

59、1)(1)自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解30.4345. 587.6562.11445. 56/ )375377382375(/87.654/ )250.263243(/62.11465.656038.9487846105922222.2222.22222BATejBiATSSSSSSSSCCaTSSCCbTSSCCySSC变异来源变异来源DFDFSSSSMSMSF FF F0.050.05F F0.010.01组间组间3 35.455.451.821.821 1处理间处理间5 565.8765.8713.1713.174.564.562.902.904.564.56误差误差1515

60、43.3043.302.892.89总变异总变异2323114.62114.62方差分析表方差分析表0:20BH（2 2）F F测验测验组间效应：假设组间效应：假设F F1.48/2.89 11.48/2.89 1推断：组间环境条件无显著差异，不同生推断：组间环境条件无显著差异，不同生长素处理有显著差异。长素处理有显著差异。0:20AH处理间效应：假设处理间效应：假设F F13.17/2.89=4.5613.17/2.89=4.56（3 3）处理间比较）处理间比较此例有预先指定的对照，故用此例有预先指定的对照，故用LSD LSD 法。法。202. 1489. 22jiyys查得查得1515时，