函数的概念(教师版)

1、学科教师辅导教案14学员编号:学员姓名:辅导科目：数学课时数：3 学科教师：授课类型T-函数的概念C-典例分析T-实践提高星级教学目的1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2. 会使用区间表示某些特定的集合.3. 理解函数的定义.授课日期及时段2016年 月 日教学内容学习内容- 知识梳理1回顾初中形如y= kx+ b(kz0)的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的图象为一条倾斜直线.形如y= ax2 + bx+ c(a丰0)的函数叫二次函数，它的图象为抛物线.2. 函数的概念一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中

2、的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f: AtB就称为从集合 A到集合B的一个函数.记作 y= f(x), x A.其中，x叫做自 变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域.例如：正方形边长为x,与x的值相对应的面积为 y,把y表示为x的函数：y= x2;该函数的定义域为x|x> 0;值域为y|y >0；当边长为4的时候，面积为16；当面积为4的时候，相应的边长为2 .3. 区间设 a, b R，且 a<b.(1) 满足awx< b的全体实数x的集合叫做闭区间，表示为 a

3、, b.满足a<x<b的全体实数x的集合叫做开区间，表示为 (a, b).(3) 满足awx<b或a<x< b的全体实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a, b)或(a, b.(4) 实数集R用区间表示为(8,+ ).(5) 把满足x>a, x>a, x< a, x<a的全体实数x的集合分别表示为a,+ (a, + 8)( m a , (8 , a).4. 函数的三要素(部分教材为二要素)函数的定义含有三个要素，它们分别是：定义域、值域和对应法则当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法

4、则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和 对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.5常见问题1) 怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值.2) 函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？解析：由f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a) 是f(x)的一个特殊值。3) 如何认识集合x|aw x< b与区

5、间a, b的区别？解析：区间a, b定是无限集，且隐含 av b,集合x|aWxWb中对实数，a, b大小关系无限制条件.当a = b时，x|aw(w) = a是单元素集：当a>b时，x|aWWb = ?，这两种情况均不能用区间a, b表示.题型一函数概念的理解例1 下列对应关系是否为 A到B的函数？(1) A= R, B = x|x>0, f: xty= |x|;(2) A= Z, B = Z, f: xty = x2 ；(3) A= R, B = Z , f: xt y=；(4) A= 1,1, B = 0 , f: xty= 0.解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故

6、不是 A到B的函数；(2) 对于集合A中的任意一个整数 X,按照对应关系f： xt y= x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3) A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；对于集合A中任意一个实数 X,按照对应关系f: xty= 0,在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A, B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合 B中数y的唯一性.巩 固】 若集合A=x|Owxw 2 ,B = y|Ow

7、y< 3，则下列图形给出的对应中能构成从 A到B的函数f： At B的是（）解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x A，但B中无与之对应的y; B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确.答案：D题型二“ f ”的含义及函数值的问题例 2 已知 f(x)= x2- 6x.(1) 求 f(2), f(a+ 1)的值；(2) 若 f(x) = -5,求 x 的值.解析：(1)f(2) = 22 - 6X2 = -8,f(a+ 1) = (a+ 1)2 6(a+ 1) = a2- 4a- 5.(2)f(x) = x2- 6x=- 5? x= 1 或 x= 5.点评：在函数y= f(x)中，x

8、为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可；(2)求ff(x)时，一般应遵循由里到外的原则.1【巩 固：已知 f(x) = (x R 且 XM- 1), g(x) = x2 + 2(x R) 求：x 1(1) f(2)、g(2)的值；(2) fg(2)的值；(3) fg(x)的解析式.分析：依函数的定义可知，该题是给定自变量和对应关系求函数值，分别将自变量的值代入解析式中的x即可求解.解析：血齐=7伽)=fl + 2) = 7T7rJ题型三求函数的定义域例3求下列函数的定义域:(2)y=1(i)

9、 y= 3-2x；炸逅买-上+ *y= 2X2 3x-2 ；1解析：函数y= 3- 2x的定义域为R ；1 x>0xWl要使函数有意义，需?XW1且XM01-W XM0XM03所以函数y=的定义域为x|xwi且x丰0戶(g, 0) U (0,1；1寸 1-x(3)要使函数有意义，需x>02x2- 3x- 2工0xW0XM 且Xi 2x<0且 Xi 2故函数y=- X2x2- 3x-2 的定义域为1 1 1xx<o且 xa 2 = a, 2 u 2, 0 ；2x + 3 >0(4) 要使函数有意义，需2 x>0,xm 0.3解得3<x<2且xM0所

10、以函数y= '2x + 3 1 1_2 x+ x的定义域为x |$<2且xmo = 2，0 U (0,2).（3）零指数幕的底数点评：求函数定义域的原则：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次根式的被开方数（式）为非负数;不等于零等.巩固】求下列函数的定义域:(1)f(x) =6x2 3x+ 2；(2)f(x)= ；3x 1+1 2x+ 4; (3)f(x)=x+ 1凶x解析：(1)由x2 3x + 2工0得: xl xm2二f(x)= 今的定义域是x R|xm1且xm2.x 3X+ 2由3x 1 >01 2x>01 1 3，2 ./ x<0 且 xM 1 ,f(

11、x) = t3x 1 + 1 2x+ 4 的定乂域是x+ 1 moxm 1由 |x| xmo '得 |x| M,原函数的定义域为x|x<0且xM 1.题型四两函数相同的判定例 4下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1) f(x)= x, g(x) = (JX)2；(2)f(t) = t, g(x)= X3； (3)f(x) = x, g(x) = x+ 2.X 2解析：(1)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为x|x> 0两个函数的定义域不同，故不是同一函数.(2) g(x) = x,两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数.(3) f(x)的定义域为(一, 2) U

12、 (2,+),g(x)的定义域为R，故不是同一函数.点评：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1) 定义域不同，两个函数也就不同；(2) 对应法则不同，两个函数也是不同的；(3) 即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则；(4) 两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关.巩 固：试判断下列函数是否为同一函数：(1) f(x)= X 'x+ 1 与 g(x)= .、x x+ 1 ；(2) f(x)= x2- 2x 与 g(t) = t2 - 2t ；(3) f(x)= 1

13、 与 g(x)= x°(xm 0).解析：(2)是，、(3)不是.对于(1), f(x)的定义域为0,+ a)而g(x)定义域为(一汽-1 U 0，+a)(3) 也是定义域不同.>归纳总结J1. "y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y= g(x)”.2 .函数符合“y= f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，f(x)是一个数，而不是 f乘x.3 .构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域.4 .函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其他字母，这是函数抽象的重要原因.5.函数的定义域包含三种形式：(1)自然型.指函数的解析式有意义

14、的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)(2) 限制型指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误.(3) 实际型.解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义.T-能力提升综合题库A组1 .下列各图中，可表示函数y= f(x)的图象的只可能是()答案：D2 .下列各组函数表示同一函数的是()y2 9A . y=7与 y= x+ 3x 3B. y = x2 1 与 y= x 1C. y = x°(xm 0)与 y= 1(xm 0)D. y= 2x+ 1, x Z

15、 与 y= 2x 1, x Z答案：C3 给出四个命题:f(x)=5(x R),这个函数值不随 以上命题正确的有(A 1个 B 2个函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；因为x的变化而变化，所以 f(0)= 5也成立；定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了.)C. 3个 D . 4个答案：D1.函数y=yx+1的疋义域为()A . ( s, 1B . ( s,1)C . 1,+s )D . ( 1,+ s )答案：D2. 设函数 f(x) = x2-3x+ 1,贝V f(a) f( a)=()A. 0C. 2a2 + 2B. 6aD. 2a2

16、 6a+ 2答案：B3. 下列用表给出的函数关系中，当x=6时，对应的函数值 y等于()x0 v x< 11 v x< 55v x< 10x> 10y1234A.2B . 3C . 4D.无法确定答案：B4. 函数 y= 3x+ 1, x 1,1的值域为 答案：2,45 函数y= Y的定义域为x> 1,XM 0.解析：利用解不等式组的方法求解.x+ 10 ,要使函数有意义，需解得XM 0.原函数的定义域为x|x> 1且XM 0.答案：x|x> 1 且 XM 0x+ 4 x<0 ,6 .已知f(x)=则ff( 3)的值为x 4 x>0 ,解析

17、：f( 3)= 3+ 4 = 1, f(f( 3) = f(1) = 1 4 = 3.答案：3C组1. 已知集合 P= x| 4w XW 4, Q= y| 2W yW 2，下列函数不表示从 P到Q的函数的是()2 1A . 2y= xB. y2= ?(x+ 4)C. y = ；x2 2D . x2= 8y答案：B2. 已知函数f(x)= x2 + 2x+ a,f(bx)= 9X2 6x + 2,其中x R, a, b为常数，则方程f(ax+ b)= 0的解集为 a= 2, b= 3.b2= 9,解析：f(bx) = (bx)2 + 2bx+ a= 9x2 6x+ 2? 2b= 6, a = 2

18、, f(2x 3) = (2x 3)2+ 2(2x 3) + 2, f(ax+ b) = 0，即为 4x2 8x+ 5= 0, 而 <Q 故方程 f(ax + b) = 0 的解集为?. 答案：？3 .求下列函数的值域：(1) y= X+ 1, x 2,3,4,5,6;(2) y= ,x+ 1;LNICXILOICXI4 + (cxlL0&L H寸4+(寸匸T l H " 4+(& Lug -+s- LHIX4+(x)4 呈(2)丑(e)2''+、3- InX十庇"r+k"lxH(x=dx X ,x L-SysT十厂"+ l+rlIc*4 +0)44+S4.厂 4 十(CXILOcxl)4 十十4 +0)4 十 4 十(2)4 怪(g)“ K 宀 4 + (x=岸怪s “ + 4 十(&C * 4 十(2)4 怪(L) 1x)4 寸CNAA-A) 心aa.oaz(cxix) cxl+z(cxlX) Ho +X寸zx ha (") 宀 LAAA 灭