D重积分的应用

1、目录 上页 下页 返回 结束 有个庙，小但有名，因为供奉着据说是佛的手链。法师有七有个庙，小但有名，因为供奉着据说是佛的手链。法师有七个弟子，日日诵经念佛，都有些欢喜，慈悲。个弟子，日日诵经念佛，都有些欢喜，慈悲。 一日是，这串佛的手链不见了。这是个大事，而且，供奉手一日是，这串佛的手链不见了。这是个大事，而且，供奉手链的地方非外人能进入。于是，法师说了，你们谁拿了手链，只链的地方非外人能进入。于是，法师说了，你们谁拿了手链，只要放回原处，我不追究，佛也不怪。要放回原处，我不追究，佛也不怪。 七天过去了，并没有放回手链。法师又说了，谁拿了手链，七天过去了，并没有放回手链。法师又说了，谁拿了手链

2、，只要承认了，这串手链就是谁的，谁还可以继他的衣钵。只要承认了，这串手链就是谁的，谁还可以继他的衣钵。 七天过去了，依然没有承认。法师说了，那么你们明天就下七天过去了，依然没有承认。法师说了，那么你们明天就下山吧，拿了手链的人如果想留下就留下。山吧，拿了手链的人如果想留下就留下。 第二天，六个人走了，一个人留了下来。那六个人舒了一口第二天，六个人走了，一个人留了下来。那六个人舒了一口气，走了。气，走了。 问，手链呢？答说，我没有拿呀。又问，你为何留下来？问，手链呢？答说，我没有拿呀。又问，你为何留下来？回说，这几天我们相互猜疑，总是要有个结果的。再说，佛的手回说，这几天我们相互猜疑，总是要有个

3、结果的。再说，佛的手链不在了，佛还在呀。链不在了，佛还在呀。 法师微笑，从怀里取出手链戴在他的手上说，能想己，更能法师微笑，从怀里取出手链戴在他的手上说，能想己，更能想人，就是佛法。想人，就是佛法。目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 重积分的应用 第十章 五、物体的引力五、物体的引力目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为

4、zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 nMAddk二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSO设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即目录 上页

5、 下页 返回 结束 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy则有xzD目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xOy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .zxyO目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkkn

6、kkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 分别位于为为即:采用 “分, 匀, 合, 精” 可导出其质心公式 , 目录 上页 下页 返回 结束 将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk所以,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点目录 上页 下页 返回 结束 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常

7、数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd( A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 目录 上页 下页 返回 结束 4例例2. 求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin95

8、6042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212OyxC目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdOxyz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( )(22zy )(22z

9、x 对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y2xDyyxyxIdd),( 目录 上页 下页 返回 结束 rraddsin0302例例3.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212的转动惯量.OxyDaa目录 上页 下页 返回 结束 )sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyx

10、ddd)(22552aMa252dddsin2rr 132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例4.4.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标) lOzxy转动惯量. 目录 上页 下页 返回 结束 202020)()()(zzyyxxr ,G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为vrxxzyxGFxd)( ),(d30vryyzyxGFyd)( ),(d30vrzzzyxGFzd)( ),(d30其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为),(zyxFFFF 其中rzxvdyFd0PO目录 上页 下页 返回 结束 vrxxzyxGFxd)( ),(30vryyzyxGFyd)( ),(30vrzzzyxGFzd)( ),(30若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点的引力分量, ),(yxDzrzyxGFd)0( ),(30因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 202020)()()(zzyyxxr目录 上页 下页 返回 结束 RxyzO例例5. 求半径为R的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引