机械优化设计第七章课件

1、4 4 一维优化方法一维优化方法4.1 4.1 概概 述述4 4.2 .2 初始搜索区间的确定初始搜索区间的确定4.3 4.3 黄金分割法黄金分割法1、消去法：、消去法： 不断的消去部分搜索区间，逐步缩小最优点所不断的消去部分搜索区间，逐步缩小最优点所在的范围，最终找到最优点在的范围，最终找到最优点 （如：黄金分割法、（如：黄金分割法、Fibonacci法）法）2、近似法：、近似法： 用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的极小点作为目标函数的近似最优点极小点作为目标函数的近似最优点 （如：二次插值法）（如：二次插值法）31322121初始区间：,313

2、12111111f13122f111f122f131,新区间131,新区间lll )1 (内分点的取点原则为内分点的取点原则为：)(618. 0)()(382. 0)(1 () 1 (1) 1 (3) 1 (1) 1 (1) 1 (3) 1 (112) 1 (1) 1 (3) 1 (1) 1 (1) 1 (3) 1 (1113)1(31)1(1;第一次缩短时的原区间：区间缩短的终止条件：区间缩短的终止条件：设：设：KK区间缩短次数，区间缩短次数， 迭代精度，按点距准则迭代精度，按点距准则：)(618. 0)(1313)(1)(3kkkk4 4 一维优化方法一维优化方法4.4 4.4 二次插值法

3、二次插值法( (近似抛物线法近似抛物线法) ) 一维优化方法一维优化方法例题分析例题分析1 1、进一步体会一维优化方法的基本思想、进一步体会一维优化方法的基本思想2 2、明确黄金分割法和二次插值法之间的区别、明确黄金分割法和二次插值法之间的区别3 3、熟悉二次插值法的基本思想及应用条件、熟悉二次插值法的基本思想及应用条件4.4 二次插值法 (近似抛物线法) 多项式逼近原理多项式逼近原理 利用目标函数在一些点的函数值等信息来利用目标函数在一些点的函数值等信息来构造一个低次插值多项式，以此多项式的最优构造一个低次插值多项式，以此多项式的最优点作为原函数的最优点的近似解点作为原函数的最优点的近似解

4、1 1、取点且计算相应函数值、取点且计算相应函数值( (构造插值节点构造插值节点) ),)(31初始区间：一元函数：f321_ttt点：试)(2131223311ttt)()()(332211ffffff相应函数值：),(),(;)(333222111fPfPfP，插值节点： 2 2、 过过“ “ - - ”- - ”点构造一个二次曲点构造一个二次曲线线2P)(f逼近)(p1P3P2)(cbap“逼近函数逼近函数”)(p式中：式中：a a、b b、cc待定系数待定系数 根据插值原理：）（ 1)()()(323332222212111fcbapfcbapfcbap)(fO)(f)(p)(111f

5、P，)(222fP，)(333fP，p*33f11f22f)()()()()(133221321122313113223fffa)()()()()(133221321213132fffc)()()()()(133221322212212312322fffb解方程组（1）得：2)(cbap3 3、 求插值函数求插值函数 的极小点的极小点 ：)(pp321213132322212212312322)()()()()()(21ffffffp02)(cbpcbp2)()()()()(3211212213131cffcffc令：2)(cbap)(213121ccp 然后，原区间再缩短，进行多次的插值计算

6、，使 的点列 不断逼近原函数的极小点 *2*1pp，p )()(44ffffpppf 与与 两点函数值的大小。两者两点函数值的大小。两者 较小者相应的点为新的较小者相应的点为新的 点点 ( ( 与与 均有可能均有可能) )。以此新点左右两邻点为新的。以此新点左右两邻点为新的 和和 点，缩短后的新区间点，缩短后的新区间 212331，2pp 步骤步骤2 2比较比较 与与 的大小，按照的大小，按照 相相对于对于 的位置，区间缩短分下面的位置，区间缩短分下面4 4种情况：种情况：p22fpf不变，3221;p13142)(.，fffbp:)(124p）)(,4321p不变，13142)(.，fffa

7、pp)(fO)(f)(p33f11f22fpf)(fO)(fp33f11f22fpf132)(fO)(f33f11f22fppf13124)(.，fffcp13124)(.，fffdp不变，14223)(p：）24)(2p不变，321,p3)(fO)(f)(pp33f11f22fpf12 当缩短后的新区间确定后，既可重复前述的当缩短后的新区间确定后，既可重复前述的插值计算。这样，多次重复插值计算。这样，多次重复“插值插值区间缩区间缩短短插值插值”的计算循环。插值函数的的计算循环。插值函数的 就就极其接近目标函数的最优点极其接近目标函数的最优点 。最后可按终。最后可按终止准则规定的精度满足要求而

8、终止计算止准则规定的精度满足要求而终止计算*p) 1(1)() 1(kkpkp、点距准则)(2教科书中的框图使用、函数下降量准则：)(:*)(*ffkp上式满足 ( (见教科书见教科书) )例题分析例题分析分别用黄金分割法与二次插值法求目标函数分别用黄金分割法与二次插值法求目标函数3510)(2xxXf的最优解初始区间为1.5，7.5 迭代精度为 1、 0.618 法：法：1 . 0208.5)5 .15 .7(618.05 .1)(618.0792.3)5 .15 .7(382.05 .1)(382.01311213111xxxxxxxx解： 取内分点 求相应的函数值)()(1211xfxf

9、、1211xx 、043264.103510)(459264.113510)(1221212211211111xxxffxxxff1x21x初始区间：,313121111x3x12x2f11x1f)1(3)1(1131,xxxx新区间 缩短区间122111)1(111121:xxxxxxff并做置换，舍去：不变)1(3x 验证精度要求1.0708.3792.35.7)1(1)1(3xx:22x增补新分点083544. 6)792. 35 . 7(618. 0792. 322x)(618.0)1(1)3(1)1(122xxxx不满足精度要求，须返回步骤2继续缩小区间各次缩短区间结果如下：K次数次

10、数x1x3xK1xK2f1f2比较01.57.53.7925.20811.45926410.04326413.7927.55.2086.08354410.04326411.174067634.667369086.0835445.2085.5425654610.04326410.2943772844.667369085.542565465.001694555.20810.000002910.04326464.873890545.2085.001694555.0803701910.015903610.0064593784.952765775.080370195.001694555.03162531

11、0.000002910.0010001694.952765775.03162534.982890115.0016945510.0002927510.0000029则终止迭代则终止迭代，最优解为：最优解为：00006091.10)(99219553.42*)9(1)9(3*xffxxx经九次迭代得新区间长度：经九次迭代得新区间长度：0487352. 095276577. 403162533. 5)9(1)9(3xx2、 “二次插值法二次插值法”：310解： 、取初始插值结点、取初始插值结点1.5，7.51)()(13211212213131xxcxxffcxxffc、计算插值函数的极小点与极小值

12、、计算插值函数的极小点与极小值10)(5)(5 . 0)1*()1*(2131)1*(pppxffccxxx25.16)(5 . 7)5 . 4(25.10)()(5 . 025.22)(5 . 133322232111xffxxxffxxxxffx，、缩短区间、缩短区间)1(322)1*(24)1*(5 .75 .4，新区间：；oldppxxffxxx)(xfOx)(xfpx3x3f1x1f2x2fpf1x2x105)2*(*)2*(*ppffxx最优点和最优值最优点和最优值：、检验终止条件、检验终止条件10512)2*()2*(21ppfxcc，、重复步骤、重复步骤055)1*()2*(p

13、pxx通通 知：知：本周三不上课，上机实践。望各位同学提前做好准备！本周三不上课，上机实践。望各位同学提前做好准备！上机上机内容：内容：一维优化方法程序调试、一维优化方法作业为教科一维优化方法程序调试、一维优化方法作业为教科书本章全部作业）书本章全部作业）；上机地点；上机地点：机械学院机房机械学院机房(C座地下室座地下室)。作业要求：作业要求： 1）打印程序清单和程序运行结果（须注明题号）。）打印程序清单和程序运行结果（须注明题号）。 2）第）第7周周五交作业，过期不候！周周五交作业，过期不候！选做作业：选做作业：1 1、编程图解下列函数的图像和等值线图形编程图解下列函数的图像和等值线图形（补充）2 22 2211222221212411 21. ()100()(1)110012. ()12()