第2章续系统的数学模型

1、自动控制原理自动控制原理主讲人：主讲人： 谭思云谭思云自动控制原理2第第2 2章章 连续系统的数学模型连续系统的数学模型 系统系统 ( (机械，电气，机械，电气，过程等过程等) )建模方法建模方法 机理或实验机理或实验 数学模型数学模型性能分析性能分析 稳定性、稳定性、动态性能、动态性能、稳态性能、稳态性能、鲁棒性等鲁棒性等若性能若性能不满足要求不满足要求对系统进行校正对系统进行校正校正方法（控制器设计方法）校正方法（控制器设计方法） 滞后滞后- -超前、超前、pidpid、lqlq最优等最优等 自动控制原理3工程实际中常见的模型举例工程实际中常见的模型举例自动控制原理4第第2 2章章 连续系

2、统的数学模型连续系统的数学模型 2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型的系统数学模型的matlabmatlab表示表示 自动控制原理5第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型

3、的系统数学模型的matlabmatlab表示表示 自动控制原理62.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 自控理论方法是先将系统抽象出数学模型，然后用数学的方法处理。自控理论方法是先将系统抽象出数学模型，然后用数学的方法处理。控制系统的控制系统的数学模型数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。mf(t)fx(t)()()()(22tftkxdttdxfdttxdmur(t)uc(t)i)()()()(22tutudttdurcdttudlcrccc完全不同物理

4、性质的系统，其数学模型具有相似性！完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！自动控制原理72.1.2 2.1.2 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 机理分析建模方法，称为分析法；机理分析建模方法，称为分析法； 实验建模方法，通常称为系统辨识。实验建模方法，通常称为系统辨识。 2.1.1 2.1.1 数学模型的定义与主要类数学模型的定义与主要类型型 静态模型与动态模型静态模型与动态模型 ( (静态模型是t时系统的动态模型) 输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型 连续时间模型与离散时间模型连续时间模型与离散时间模型 参数模型与非参数模

5、型参数模型与非参数模型10rccuudtdut自动控制原理8第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 控制系统数学模型的概念控制系统数学模型的概念 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型的系统数学模型的matlabmatlab表示表示 自动控制原理9第第2 2章章 连续系统的数学模型连续系统的数学模型 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的微分方程

6、称为微分方程称为微分方程微分方程模型模型 自动控制原理102.2 2.2 微分方程描述微分方程描述系统微分方程的形式与系统分类之间的关系系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: :（1 1）非线性微分方程描述的是）非线性微分方程描述的是非线性系统非线性系统；（2 2）线性微分方程描述的是线性系统线性微分方程描述的是线性系统;（3 3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；）时变系统的微分方程的系数与时间有关；（4 4）时不变时不变(定常定常)系统的微分方程的系数与时间无关系统的微分方程的系数与时间无关。系统u(t)y(t)ubububyayayayammnnnn01)(01) 1(1)(自动控制

7、原理11iru 1dtducicrcuuu1rccuudtdurcrccuudtdutrct 例例2.1 2.1 一阶一阶rcrc网络系统网络系统自动控制原理12111cri ruu122ccuuridtduciic1121dtducic22dtducdtducicc2111rcccuudtducrdtducr112111122cccuudtducrrcccuudtducrcrcrdtudcrcr)(222111222211rcccuudtdutttdtudtt)(22112221例例2.2 2.2 二阶二阶rcrc网络系统网络系统i1i2自动控制原理13思考：思考： 能否可以将二阶能否可以将

8、二阶rcrc网络看成是两个一阶网络看成是两个一阶rcrc网络的串联？分网络的串联？分别建立一阶别建立一阶rcrc网络的输入输出之间的微分方程关系，然后网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到二阶直接得到二阶rcrc网络的输入输出之间的微分方程关系？网络的输入输出之间的微分方程关系？串联串联？rcccuudtdutttdtudtt)(22112221t12=0自动控制原理14crucu1r2ri一阶有源网络系统一阶有源网络系统二阶有源网络系统二阶有源网络系统思考：思考： 能否可以将下列有源二阶能否可以将下列有源二阶rcrc网络看成是两个有源一阶网络看成是两个有源一阶rcrc网网络的串联？为

9、什么？络的串联？为什么？自动控制原理15第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 控制系统数学模型的概念控制系统数学模型的概念 2.3 2.3 传递函数传递函数2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.4 2.4 传递函数模型传递函数模型 2.5 2.5 结构框图模型结构框图模型 2.6 2.6 频率特性模型频率特性模型 自动控制原理16数学预备知识：拉氏变换数学预备知识：拉氏变换 典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（1 1）自动控制原理17典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（2 2）自动控制原理18拉氏变换的性质拉氏变换的性质 自动控制原理19

10、应用拉氏变换的终值定理求应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件：注意拉氏变换终值定理的适用条件： 事实上：事实上： ( )sy s 的极点均处在复平面的左半边。的极点均处在复平面的左半边。 ( )y 不满足终值定理的条件。不满足终值定理的条件。 自动控制原理20几个拉氏变换定理的证明几个拉氏变换定理的证明 自动控制原理21拉氏变换的应用：求解微分方程拉氏变换的应用：求解微分方程 自动控制原理22有理分式的分解（有理分式的分解（1 1）：极点为相异实数的情况）：极点为相异实数的情况 自动控制原理23有理分式的分解（有理分式的分解（2 2）：出现极点为相同实数的情况）：出现极点为

11、相同实数的情况 自动控制原理24有理分式的分解（有理分式的分解（2 2）：出现极点为相同实数的情况）：出现极点为相同实数的情况 自动控制原理25有理分式的分解（有理分式的分解（3 3）：出现极点为相异复数数的情况）：出现极点为相异复数数的情况 自动控制原理26自动控制原理27ubububyayayayammnnnn01)(01) 1(1)(11101110( )( )mmmmnnnnb sbsbsby su sa sasa sa01110111)(asasasabsbsbsbsgnnnnmmmm)()()(susgsy)()()()(11susglsylty2.3.1 2.3.1 传递函数与脉

12、冲响应函数的定义传递函数与脉冲响应函数的定义 系统u(t)y(t)定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。 系统g(s)u(s)y(s)系统微分方程与传递系统微分方程与传递函数可以直接转换函数可以直接转换!自动控制原理281)()(tlsug g( (s s) )y y( (s s) ) g g( (s s) ) l l y y( (s s) ) l lg g( (t t) )1 11 1系统g(s)u(s)y(s)下

13、面考察单位脉冲输入信号下系统的输出下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出 单位脉冲输入信号的拉氏变换为单位脉冲输入信号的拉氏变换为1 1 单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 单位脉冲输入信号下系统的输出为单位脉冲输入信号下系统的输出为系统g(s)1g(s)系统g(t)( ) t思考：思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？脉冲响应是系统的数学模型脉冲响应是系统的数学模型!阶跃响

14、应不是系统的数学模型阶跃响应不是系统的数学模型!自动控制原理29传递函数的性质：传递函数的性质： （1 1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关；入输出无关；（2 2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质；数的所有性质；（3 3）传递函数是复变量）传递函数是复变量s s 的有理真分式，即的有理真分式，即nmnm；（4 4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；（5 5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；）传递函数与真正的

15、物理系统不存在一一对应关系；（6 6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。的共轭复数。 自动控制原理30)()()(01110111sdsnasasasabsbsbsbsgnnnnmmmmniimiipszsksg11)()()()1)(1)(3()2)(1(2685422)(232jsjssssssssssg2.3.2 2.3.2 传递函数的表示方式传递函数的表示方式 1 1有理分式形式有理分式形式 2 2零极点形式零极点形式自动控制原

16、理3120(1)( )(2)sg ss 2 2零极点形式零极点形式（传递函数是（传递函数是s s的复变函数，的复变函数，s s是复数变量）是复数变量）自动控制原理321( )(2)(22)(22)g sssjsj 2 2零极点形式零极点形式（传递函数是（传递函数是s s的复变函数，的复变函数，s s是复数变量）是复数变量）自动控制原理33212112211221) 12() 1() 12() 1()(nllllnjjvmkkkkmiistststssssksgniivmiistssksg11) 1() 1()( 3 3时间常数形式时间常数形式自动控制原理342.3.3 线性系统的基本环节线性系

17、统的基本环节ks1s11ts12122tsst1s1222ssse放大环节（比例环节）：放大环节（比例环节）：积分环节：积分环节：微分环节：微分环节：惯性环节：惯性环节：振荡环节：振荡环节：一阶微分环节：一阶微分环节：二阶微分环节：二阶微分环节：滞后环节（纯时滞环节）：滞后环节（纯时滞环节）：一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能单独存在的。单独存在的。自动控制原理35snnnnmmmm

18、easasasabsbsbsbsg01110111)(vl输送带速度输送带长度)()()(tkxtydttdyt1)(tsksg)()()(tkxtydttdyt)()()(tkxtydttdyt)()()(skxsyesytsess)()() 1(skxsyetsssetsksg1)(传递函数的一般形式传递函数的一般形式 （考虑时间滞后情况）（考虑时间滞后情况）不考虑时间滞后时（不存在输送带）：不考虑时间滞后时（不存在输送带）： 考虑时间滞后时（存在输送带）：考虑时间滞后时（存在输送带）： 自动控制原理36惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要惯性环节从输入开始时刻就已有输出，

19、仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；滞后一段时间才接近所要求的输出值；惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节与延迟环节的区别： 0)(tc)(tr延迟环节从输入开始后在延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在时间内没有输出，在t =之后，才有输出。之后，才有输出。自动控制原理37第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型的系统数学模型的mat

20、labmatlab表示表示 自动控制原理382.4.1 2.4.1 结构图的基本组成结构图的基本组成控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式，控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。自动控制原理39结构图包含四个基本元素结构图包含四个基本元素：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。

21、引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。 方块：表示对输入信号进行的数学变换。方块：表示对输入信号进行的数学变换。 对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。 自动控制原理40)(1sg)(2sgrc)(1sg)(2sgrc)(1sgrc)(2sg)(1sg

22、)(2sgrc)(1sg)(2sgrc)()(1)(211sgsgsgrc几种基本的结构框图几种基本的结构框图 自动控制原理41比较点后移比较点后移 2.4.2 2.4.2 结构图的变换法则结构图的变换法则自动控制原理42比较点前移比较点前移 自动控制原理43比较点合并比较点合并 自动控制原理44引出点前移引出点前移 自动控制原理45引出点后移引出点后移 自动控制原理46结构图化简求系统传递函数的基本方法：结构图化简求系统传递函数的基本方法：(1)利用等效变换法则，通过移动比较点和引出点，利用等效变换法则，通过移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的几种基本的简单回路。消去交叉回路，

23、变换成可以运算的几种基本的简单回路。(2)将结构图变换为代数方程组将结构图变换为代数方程组,然后求解然后求解代数方程组代数方程组.(3)将结构图变换为信号流图将结构图变换为信号流图,然后应用梅森增益公式然后应用梅森增益公式(4)直接应用梅森增益公式直接应用梅森增益公式(最好不用最好不用!)(1sg)(sr)(sc)(2sg)(4sg)(3sg)(2sh)(1shg(s)r(s)c(s)变换法则对应于代数变换变换法则对应于代数变换结构图对应于代数方程组结构图对应于代数方程组结构图化简对应于代数方程组求解中消元结构图化简对应于代数方程组求解中消元2.4.3 2.4.3 结构图的简化结构图的简化自动

24、控制原理47)(1sg)(sr)(sc)(2sg)(4sg)(3sg)(2sh)(1sh)(1sg)(sr)(sc)(2sg)()(43sgsg)(2sh)(1sh)()()(1)()(22121shsgsgsgsg)(sr)(sc)()(43sgsg)(1sh)()()(1)()()()(2214321shsgsgsgsgsgsg)(sr)(sc)(1sh)()()()()()()()(1)()()()(143212214321shsgsgsgsgshsgsgsgsgsgsg)(sr)(sc结构框图的化简结构框图的化简 例例2.92.9g(s)r(s)c(s)自动控制原理48)(1sg)(s

25、r)(sc)(2sg)(4sg)(3sg)(2sh)(1sh)(1sg)(sr)(sc)(2sg)(4sg)(3sg)()()(212sgsgsh)()()(411sgsgsh)()()()(4321sgsgsgsg)(sr)(sc)()()()()()(1212411sgsgshsgsgsh)(sr)(sc)()()()()()()()()()(1)()()()(24313243214321shsgsgshsgsgsgsgsgsgsgsgsgsg结构图的化简结构图的化简 例例2.102.10g(s)r(s)c(s)自动控制原理49例 用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数c(s)/r(

26、s) 解：r r( (s s) )a a- -b bc c( (s s) )1g2g3g4g1h2h- -cr r( (s s) )a a- -b bc c( (s s) )1g2g3g4g1h2h- -cg2自动控制原理50r r( (s s) )- - - -c c( (s s) )1g2h5g6g7g21gh51g25561hggg211255125211255152161617111111ghghggghgghghggggghggggg4325gggg21121432432151211255177)(1)(11)()()(ghghggggggggggghghgggggsgsrsc自动控

27、制原理51)(1sg)(sr)(sc)(2sg)(1sc)(2sc)(se )()()(scsrse)()()()(211sescsgsc)()()()(122scsesgsc)()()(21scscsc)()()()()()()()()(1121211sesgscsgsgsesgsgsc)()()(1)()()()(211211sesgsgsgsgsgsc )()()(1)()()()()()(2112122sesgsgsgsgsgsesgsc)()()(1)()()(21221sesgsgsgsgsg)()()(1)()()()()()(1)()()()(2122121121sesgsgs

28、gsgsgsesgsgsgsgsgsc)()()()(1)()()()(2212121scsrsgsgsgsgsgsg)()()()()(31)()()()(2)(21212121srsgsgsgsgsgsgsgsgsc)()()()(31)()()()(2)()()(21212121sgsgsgsgsgsgsgsgsrscs结构图的化简结构图的化简 例例2.112.11g(s)r(s)c(s)自动控制原理52)(1sg)(sr)(sc)(2sg)(sh)(1sg)(sn)(sc)(2sg)(sh)()()(1)()()()(212shsgsgsgsnscsn)()()(1)()()()()(

29、2121shsgsgsgsgsrscs)()()()(1)()()()()(1)()()()()()()()()(2122121snshsgsgsgsrshsgsgsgsgsnssrsscscscnnr2.4.4 2.4.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数r(s)c(s)n(s)r(s)c(s)( ) sc(s)n(s)( )ns自动控制原理53)()()(11)()()(21shsgsgsrsese)()()(1)()()()()(212shsgsgshsgsnsesen)()()()(1)()()()()()(11)(21221snshsgsgshsgsrshsgsgse 反

30、馈控制系统的误差传递函数反馈控制系统的误差传递函数 r(s)e(s)n(s)r(s)e(s)( )ese(s)n(s)( )ens自动控制原理54)()()()()(snssrsscn)()()()()(snssrsseener)()()()()()()()(snsrsssssescenern)()()()()(ssssswenernr(s)e(s)n(s)c(s)多输入多输出系统的传递函数矩阵多输入多输出系统的传递函数矩阵 传递函数矩阵传递函数矩阵 自动控制原理552.5 信号流图和梅逊公式（sjmason） 方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错

31、。mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。2.5.1信号流图中的术语因果增益节点 输出方向2x1x1122xax 12a自动控制原理561m ixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a输入节点：仅有输出支路的节点。图中的x1输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。任一节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的x6432,xxx混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。图中的前

32、向通路：始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。自动控制原理5754321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452412paaa521xxx32512paa前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。 kp回路（闭通路）:起点和终点在同一节点，并 与其它节点相遇仅一次的通路。232xxx2342xxxx343xxx32231aal 3243242aaal 43343aal 2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 1m ixe d no deinput no de(s o urc e )1x2

33、x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a1m ix e d n o d ein p u t n o d e(s o u r c e )1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a自动控制原理58回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示 。al不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路.在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路，例如： 232xxx和44xx 2352xxxx和44xx 1m ixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a3

34、2a34a45a25a44a24a12a43a1235453a自动控制原理59信号流图适用于线性系统。支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。信号流图的性质自动控制原理602.5.2 2.5.2 信号流图的绘制信号流图的绘制 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。由系统方块图绘制。 s画出如图所示系统方块图的信号流图。hrbc1g2g3g4g1a2a解：用小圆圈表示各变量对应的节点21,aa只需在比较点后设置一个节一个节点点。可与它前面的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点b，需设置两个节点两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 1e2er1e1-h2g1g3g4g1e2e例2-12-在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点自动控制原理612.5.3 梅逊增益公式f