极限存在准则、两个重要极限课件

1、一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限下页首页解解由夹逼定理得由夹逼定理得例例1 1nnnn321lim求求3)300()321 (11nnnnnnnnnnnnn33)333()321 (11333limnn原式原式 而而 下页上页首页例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222

2、 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnnnnnnn2221211lim1.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy注意注意: :准则准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A.

3、.准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.下页上页首页2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.下页上页首页例例2 2nnxxx2,211设), 2 , 1(nnnxlim，证明 存在并求此极限； 解:1n当时221x2kx,设， 则 22221kkxx112222xxkkxx111222kkkkxxxxnxAxnnlim02 Annnnxx2limlim1AA22A 又设， 则 单增有上界，从而必有极限。 设， 则 由

4、得 下页上页首页( P57 , 题 4 (3) )AC二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 下页上页首页,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0

5、 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx下页上页首页例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 下页上页首页例4 求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00解1cos1limsinlim00 xxxxx(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim)71828. 2( ettxxtx)11(lim)1(lim10 . e ,1xt 令令exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx

6、求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 下页上页首页三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某某过过程程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 下页上页首页思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 下页上页首页思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e下页

7、上页首页._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc下页上页首页xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、下页上页首页 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限 . .下页上页首页一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3 3、1 1； 4 4、3