极限存在准则两个重要极限(14)课件

1、1一、极限存在准则二、两个重要极限第六节极限存在准则两个重要极限第六节极限存在准则两个重要极限21. 1. 夹逼准则夹逼准则一、极限存在准则一、极限存在准则00lim,lim,nnnnnnnnNnnyxzyaza，(1)从某项起，即，当时，有(2) nnnxyz、：准则 若数列满足 下列条件lim.nnnxxa则的极限存在，且3,1ayNnn时，有当,max021nNNN 取时，有因此，当Nn .nnayaaza即，且,2azNnn时，有当, azxyannn.成立即，axn.limaxnn故， 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限证证,azay

2、nnn时，当使得, 0, 0, 021NN，时，上面两式同时成立则Nn 4注意注意: :( )( )( )( )nnnng xh xgyzyxzh x，(或)(或)(或)(或利用夹逼准则求极限)关键是构造出与且与的极限是容易求的.00000()()()(, )( )( )( ),lim( ),lim( ),lim( )xxxxxxxxxxU xxMg xf xh xg xAh xAf x若(1) 当（或） 时，准则(2)则存在，且 等于A.5例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnn21limlim=111nnnnnn，又221limlim=

3、1111nnnnn，由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnn6(1)lim1(2)lim1(0)nnnnnaa 结论： nnnnn4321lim例2解nnnnn4443214444limnn且44321limnnnnn 例例2 2的结果可以推广到更一般的情形的结果可以推广到更一般的情形: :.,maxlim,212121knnknnnkaaaAAaaakaaa其中，个正数，则是设72. 2. 单调有界准则单调有界准则nx若满足条件,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列单调数列准则 单调有界数列必有极限 8.)(3333的极限存在重根式证明数

4、列例nxn证证,1nnxx显然 ;是单调递增的nx, 331x又, 3kx假定kkxx3133, 3 ;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA 2131,2131AA解得(舍去舍去).2131limnnx.limAxnn设94例, 0, 0), 3 , 2 , 1()(2111axnxaxxnnn且设nnxlim求)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(2121nxa)1 (21aa，1,1nnxx即,limAxnn设.lim存在故，nnx),(21AaAA则,aA.limaxnn解：解：11xxxann10扇形扇

5、形AOBAOB的面积的面积证证: :于是，xsin21x21xtan212(0,)x当时，有AOBAOB 的面积AODAOD的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限211sin1(0,)2sincosxxxxx上式除以可得，0sin1xxx()limDCBAx1o1122(0(0,)xx，-，(续) 当时，则于是tan()1sin()sin()xxxx111sin()()tan()222xxx211(,0)sincosxxxx 故，2sincos1(0)xxxx综上，02x当时，22201 cos1 cos2sin2222xxxxx 0lim(1 cos )0 xx(夹逼准则)0sinlim1

6、xxx(夹故，逼准则)12说说明明( )0sin( )lim1,( )f xf xf x(1)更一般形式330sinlim1xxx如sinlim0.xxx（2）注意0tanlimxxx例5求xxxxcos1sinlim0原式解：11113201coslim.xxx例6求解解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121 .21 140arcsinlim.xxx例7 求解解: :arcsin ,sin00.txxtxt令则，且时，原式原式tttsinlim0tttsinlim10=1151lim sinxxx例8求原式xxx11si

7、nlim1xxxxxxx232sin233tanlim023xxIx2sin3tanlim0例例9. 9. 求求解解: 原式 解解: tttsinlim0161lim(1).nnn先证存在nnnx)11 ( 设21! 2) 1(1! 11nnnnnxn).11 ()21)(11 (!1)11 (! 2111nnnnnnnnnnnnn1!) 1() 1(1lim(1)xxex（）1121212232111()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaC abC abCabC aabab abab abbba17).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111

8、(!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx显然 ;是单调递增的nx!1! 2111nxn1212111n1213n, 3 ;是有界的nx.lim存在故nnxennn)11 (lim记为)71828. 2(e类似地类似地, ,18.)11 (limexxx可证：说明：10lim(1)xxxe（1）等价形式：1( )( )0lim (1( )f xf xf xe（2）更一般形式：2310lim(1)xxx例6331xxx)(lim6331)(limxxx6e191(1)lim(1)(2)lim(1)xxkxxxx解解: (1)tx 令，则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：( )1( )( )111lim (1)lim (1)xxxxxxe