极限存在准则与两个重要极限(9)课件

1、1. 夹逼准则夹逼准则一、极限存在准则一、极限存在准则第六节第六节 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限xAynznxn准则准则1:,满满足足下下列列条条件件若若数数列列nnnzyx; )1(nnnzxy ;limlim )2(Azynnnn .lim Axnn 则则);(0Nn ,1 AyNnn恒恒有有时时当当,max021NNNN 取取, AyAn,2 AzNnn恒恒有有时时当当, AzAn,成立成立即即 Axn.limAxnn 数列的极限存在准则数列的极限存在准则1可以推广到函数情形可以推广到函数情形:,恒有恒有时时则当则当Nn nnnzxy A, A证证,AzAynn,

2、 0, 0, 021 NN 使得使得准则准则 1和和准则准则1 称为称为夹逼准则夹逼准则.准则准则1:)(),(),(的的局局部部满满足足下下列列条条件件在在若若axhxgxf);()()( )1(xhxfxg ;)(lim)(lim )2(Axhxgaxax .)(lim Axfax 则则 0 x 0 x0 x)(xhy )(xgy )(xfy Ay Ay Ay例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,122 nnxnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得：由夹逼准则得： 原式原式=1.x1x2x3x1

3、nxnx2. 单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:M准则准则2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.A（1）单调增加有上界的数列必有极限；）单调增加有上界的数列必有极限；（2）单调减少有下界的数列必有极限）单调减少有下界的数列必有极限.函数也有类似的单调有界准则函数也有类似的单调有界准则.例例2 2.,)(333并并求求出出此此极极限限的的极极限限存存在在重重根根式式证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显显然然 ;是单调增加的是单调增加的即数列即数列

4、nx, 331 x又又, 3 kx假设假设kkxx 31则则, 3 ,是有上界的是有上界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去)，.2131lim nnx(1)1sinlim0 xxx,作一单位圆作一单位圆,OAC ，得得作作单单位位圆圆的的切切线线的面积的面积OAB 二、两个重要极限二、两个重要极限 xsin21 即即,tansin xxx oAxB)20(, xxAOB圆圆心心角角C;AB连结连结的面积的面积扇形扇形OAB的的面面积积OAC x21,tan21x xxxta

5、nsin , 1sincos xxx.02显然也成立显然也成立左式对于左式对于 x ,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x 22x , 0, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx1sinlim0 例例3 3.21cos1lim20 xxx 求求解解220212sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlimxxx 20)22sin(limxxx . 1 .3sin2tanlim ,tanlim 00 xxbxxaxx 求求例例4 4解解xxxxxxxbx323sin322sin2cos1lim0

6、 .32321111 1sinlim , 0lim axax则则若若xxxaxcos1sinlim0 , 1 (2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(limknkknnnnCnx1)11(0 21! 2)1(1! 11nnnnn),11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 为什么可以定义为什么可以定义, e是什么是什么?knkknnkP1!0 ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显显然然 ;加加单调增单调增nx!1! 2111

7、nxn )1(123112111 nnn13 , 3 ;有有上上界界数数列列nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记为记为).71828. 2( e类似地类似地).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnnxn ,1时时当当 x, 1 xxx,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx :)11(lim exxx 可以证明可以证明,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limtttt

8、)1(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lime )11(lim1:)11(lim的的证证明明exxx 例例5 5.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例6 6.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e e )11(lim1凑凑 法法直观上理解并会使用两个准则证明简单极限问题：直观上理解并会使用两个准则证明简单极限问题：掌握并会使用两个重要极限掌握并会使用两个重要极限（常与换元法合用）（常与换元法合用）：(