极坐标系的二重积分课件

1、第二节 极坐标系下计算二重积分 二、小结一、利用极坐标计算二重积分 AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,c

2、os()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 01 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sinc

3、osryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;

4、)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所所求求广广义义积积分分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1DDdyxR222求求围围成成由由其其中中RxyxD22)34(33R答案：答案：练习练习二、小结二、小结