格林公式及其应用(4)课件

1、格林公式及其应用格林公式及其应用7.3.3 7.3.3 格林公式格林公式1 1单连通区域与复连通区域单连通区域与复连通区域若若平平面面区区域域 D 内内任任一一封封闭闭曲曲线线围围成成的的部部分分都都属属于于 D， 则则 D 称称为为单单连连通通区区域域，否否则则称称为为复复连连通通区区域域。 规规定定 C 的的正正向向如如下下： 当当观观察察者者沿沿 C 的的此此方方向向行行走走时时， D 靠靠近近它它的的部部分分总总在在它它的的左左侧侧。 例如例如 D 是是由边界曲线由边界曲线21 CC 和和所围成的复连通区域，所围成的复连通区域， 的的 1C正向是逆时针方向，正向是逆时针方向，的的 2C

2、正向是顺时针方向。正向是顺时针方向。 2 2区域区域D的边界曲线的边界曲线C的正向的正向DCD1C2C 设设 D 是是以以逐逐段段光光滑滑曲曲线线 C 为为边边界界的的平平面面闭闭区区域域， ),(yxP、),(yxQ在在 D 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则有有 dxdyyPxQQdyPdxDC )( 其其中中的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线是是DC。 3 3定理定理1 1（格林定理）（格林定理） 格格林林(Green)公公式式 C)(2xyy )(1xyy ABoxyabDMN证证明明： （1）若若 D 既既是是型型的的区区域域型型又又是是 YX。 ),()(),(21b

3、xaxyyxyyxD ， 类类似似可可证证dxdyxQdyyxQDC ),(， 合合并并、得得 CDdxdyyPxQdyyxQdxyxP)(),(),(。 又又设设 ),()(),( 21dycyxxyxyxD ， dxdyyPdxyxPDC ),(。 （2 2）若若区区域域 D 由由分分段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成，如如图图。则则 作作辅辅助助线线把把 D 分分成成两两个个既既是是型型型型又又是是 YX的的区区域域 21DD 和和， dxdyyPxQD )( AEBAABFAQdyPdxQdyPdx. CQdyPdx 21)()(DDdxdyyPxQdxdyyPxQyABox1D2D

4、FE相相加加时时沿沿辅辅助助线线上上的的积积分分相相互互抵抵消消 （3）若若 D 是是由由两两条条闭闭曲曲线线21 CC 和和所所围围成成复复连连通通区区域域， 则则同同样样可可以以通通过过作作辅辅助助线线证证明明格格林林公公式式仍仍然然成成立立。 yABox1C2C2.2.给出了计算二重积分的新方法给出了计算二重积分的新方法. .3.3.给出了计算第二给出了计算第二型型曲线积分的新方法曲线积分的新方法. .格林公式便于记忆的形式格林公式便于记忆的形式: :.d),(d),(dd LDyyxQxyxPyxQPyx :的重要意 义 dddd 格林公式 LDyQxPyxyPxQ1.1.揭示了平面区

5、域上的二重积分与沿区域边界的揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二第二型型曲线积分之间的关系曲线积分之间的关系. .应用格林公式必须注意：应用格林公式必须注意： 4. 4.用格林公式求平面图形的面积用格林公式求平面图形的面积若若在在dxdyyPxQQdyPdxDC )(中中， 取取yyxP ),(，xyxQ ),(，则则得得 ,2 DCdxdyxdyydx ydxxdyAC 21。 （其其中中 A 是是区区域域 D 的的面面积积。 ） 例例 1求求由由星星形形线线C：323232ayx 所所围围成成的的面面积积 A。 yoxaa解解： C 的的参参数数方方程程为为 ,sin,cos33t

6、aytax（ 20 t） 。 ydxxdyAC 2183cossin23220222atdtta 。 203333)cos(sin)sin(cos21tatdatatdaydxxdyxyC22 22 yxyPxQ ， 解解：yxyxP2),( ，2),(xyyxQ ， 例例 2计计算算ydxxdyxyC22 ，其其中中 C 为为顺顺时时针针方方向向的的圆圆周周 222Ryx 。 yoxRC.242d)(42 0 0 4322RRddxdyyxRD 错错解解：4222)(RdRdxdyyxDD 。 在这里，不能将曲线方程在这里，不能将曲线方程 代入被积函数代入被积函数。222Ryx 解解：添添加

7、加辅辅助助线线OA，则则OAC 是是一一条条正正向向封封闭闭曲曲线线， 设设其其围围成成的的区区域域D 为为。 例例 3计计算算曲曲线线积积分分 Cxxdymyedxmyye)cos()sin(， 其其中中 C 为为由由点点)0 ,(aA至至点点)0 , 0(O的的上上半半圆圆周周axyx 22 ) 0 ( a。 yoxC)0 ,( aADmyPxQ ， dymyedxmyyexOACx)cos()sin( .8)2(222amam Cxxdymyedxmyye)cos()sin( OAOAC2 0 28008amdxama 。 Dmd,cosmyeyPx ,cosyexQx yoxC)0 ,

8、( aAD.)1 , 0( ),1 , 1( ),0 , 0( : ,dde 2为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域以以计计算算BAODyxDy OABxy则则令令 ,e , 0 2yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxyxdedde22 OAyyxde2. 10 : , : xxyOA).e1(211 10de2xxx例例4.4.解：解：. 01 : , 1 : xyAB. 01 : , 0 : yxBO例例 5计计算算 Cyxxdyydx22，其其中中正正向向曲曲线线 C 为为： （1）不不包包围围原原点点 O 的的分分段段光光滑滑闭闭曲曲线线； （2）圆圆周周222ayx

9、 ； （3）包包围围原原点点 O 的的分分段段光光滑滑闭闭曲曲线线。 解解： （1）设设闭闭曲曲线线 C 所所围围的的区区域域为为 D， 当当)0 , 0(),( yx时时，22yxyP ，22yxxQ ， yPyxxyxQ 22222)( 。 方方法法 1：C 的的参参数数方方程程为为 20 : ,sin ,costtaytax， . 2cossin202222222 dtatatayxxdyydxC由由Green公式得公式得 0)(22 dxdyyPxQyxxdyydxDC。 CDyoxyoxaCD（3）当）当 C 包围原点包围原点 O 时，就时，就在在 C 内“内“挖洞挖洞” ，即” ，

10、即 在在 C 所所围成的区域围成的区域内作正向小圆内作正向小圆222: yxC， 方方法法 2 2：先先把把 C 的的方方程程222ayx 代代入入曲曲线线积积分分， 清清除除奇奇点点后后再再应应用用Green公公式式。 )(1222 CCxdyydxayxxdyydx.222222 aadxdyaD 22222CCyxxdyydxyxxdyydx。 yoxCDo C 则则在在 CC与与所所围围成成的的复复连连通通区区域域 D 上上，满满足足 公公式式 Green的的条条件件，得得 0)(22 dxdyyPxQyxxdyydxCCDCC CC,7.3.2 7.3.2 平面上曲线积分与路径无关的

11、条件平面上曲线积分与路径无关的条件1 1曲曲线线积积分分 CQdyPdx与与路路径径无无关关的的定定义义 设设 D 是一个平面区域，若对是一个平面区域，若对 D 内任意两点内任意两点 A、B 及及 D 内内 从点从点 A 到点到点 B 的任意两条曲线的任意两条曲线21, CC，等式，等式 )(2)(1ABABCCQdyPdxQdyPdx 恒成立，则称曲线积分恒成立，则称曲线积分 CQdyPdx在在 D 内与路径无关。内与路径无关。 2 2定定理理 2 2 若若向向量量值值函函数数),(),(),(yxQyxPyxA 在在单单连连 通通域域 D 上上有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则以以下下

12、四四个个命命题题等等价价： （1 1）Dyx ),(，有有xQyP ； （2 2）沿沿 D 内内任任意意的的逐逐段段光光滑滑闭闭曲曲线线 C，有有 CQdyPdx0； （4 4）在在 D 内内存存在在二二元元函函数数),(yxu，使使得得QdyPdxdu 。 （3 3） )(ABCQdyPdx与与路路径径无无关关，只只与与位位于于 D 内内的的 起起点点 A 与与终终点点 B 有有关关。 注注意意：定定理理 2 中中的的区区域域 D 必必须须是是单单连连通通域域，若若 D 是是 复复连连通通域域定定理理 2 2 就就不不一一定定成成立立。 例例如如：22yxyP ，22yxxQ ，在在复复连连

13、通通域域 421),(22yxyxD中中，具具有有连连续续偏偏导导数数， 且且yPyxxyxQ 22222)( ，但但 12202yxQdyPdx。 曲曲线线积积分分 I 与与路路径径无无关关。 且且 2xQxyP ， yox) 0 ,2( A) ,( ), ,(yxQyxP在在全全平平面面上上连连续续， 把把积积分分路路径径改改为为直直线线段段AO， 则则1)21(e 3 33 2 00 2 2 xxxexedxxeI。 解解：xxeyxyxP3),(2 ，yyxyxQsin31) ,(3 ， 例例 6计计算算 CxdyyyxdxxeyxI)sin31()3(32，其其中中 C 是是 摆线摆

14、线tyttxcos1 ,sin 从点从点0) ,2( A到点到点0) , 0(O的一段弧。的一段弧。 解解：设设质质点点的的 M位位置置为为),(yx， 则则1 ,yxMA ， 22)1(yxMAr ， 例例 7设位于点设位于点)1 , 0(的质点的质点 A 对质点对质点 M 的引力大小为的引力大小为 2rk（k 为为常常数数，之之间间的的距距离离与与为为质质点点 MAr） ，质质点点沿沿 曲曲线线22xxy 自自)0 , 2(B运运动动到到)0 , 0(O，求求在在此此运运动动 中中质质点点 A 对对质质点点 M 的的引引力力所所作作的的功功 W。 )1( ,1 ,333rykrkxyxrk

15、MAMAFF ， )0 , 2( Boyx) 1 , 0( A),( yxMdyrykdxrkxdsFWCC 33)1( 其中其中 C：22xxy ，02 : x。 3rkxP ，3)1(rykQ ，xQrykxyP 5)1(3， )511()1()1( 0223323 kdxxkxdyrykdxrkxWBO。 曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，取取直直线线段段为为 BO积积分分路路径径， )0 , 2( Boyx) 1 , 0( A),( yxM3 3定定义义 1 1 若若函函数数),(yxu的的全全微微分分QdyPdxdu ，则则称称 ),(yxu是是表表达达式式QdyPdx 的的一一

16、个个原原函函数数。 CdyyxQdxyxPyxuyxyx ),( ),( ),(),(),( 其其中中 C 为为任任意意常常数数，Dyx ),(。 若若),(),(yxQyxP在单连通域在单连通域 D 上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数， 则则QdyPdx 在在 D 内内存在原函数的充要条件是存在原函数的充要条件是 xQyP ， 且且QdyPdx 的的所所有有原原函函数数为为 设设),(yxA为为 D 内内一一定定点点， 由由于于曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，故故 取取AMB 为为积积分分路路线线，得得： ),( ),( ),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu.)

17、,(),( yyxxdyyxQdxyxP),(yxA),(yxM),(yxN),(yxByox xxyydxyxPdyyxQ ),(),( ),( ),( ),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu取取 ANB 为为积积分分路路线线，得得： 4 4定定理理 3 3 （曲曲线线积积分分基基本本定定理理） 例例 8验证：验证：22yxydxxdy 在右半平面在右半平面)0( x内是某个函数内是某个函数 的全微分，并求出一个这样的函数。的全微分，并求出一个这样的函数。 证证明明：令令22yxyP ，22yxxQ ，则则有有 设设),(),(yxQyxP在在单连通域单连通域 D 上连续，若上

18、连续，若),(yxu 是是QdyPdx 的一个原函数，而的一个原函数，而),(11yxA和和),(22yxB 是是 D 内任意两点，则内任意两点，则 .),(),(),( ),(),(11222211)(yxyxCyxuyxuyxuQdyPdxAB 故故22yxydxxdy 是是某某个个函函数数的的全全微微分分。 取取如如图图所所示示的的积积分分路路线线，则则有有 22 22),( )0 , 1( 22),(BCAByxyxydxxdyyxydxxdyyxydxxdyyxu .arctanarctan00022xyxyyxxdyyy xQyxxyyP 22222)(在在右右半半平平面面内内恒恒

19、成成立立， )0 , 1 (A)0 ,(xB),(yxCyox解解：yxfePx)( ，)(xfQ ， 曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关， xQyP )()(xfxfex ， )( Cdxeeexfdxxdx,212xxxxeCeCdxee 即即xexfxf )()(， 例例 9. 求函数求函数)(xf，使曲线积分，使曲线积分dyxfydxxfex)()()1 , 1()0 , 0( 与路径无关，假设与路径无关，假设)(xf连续可微，且连续可微，且21)0( f，并求，并求 此曲线积分的值。此曲线积分的值。 由由21)0( f，得得0 C，故故xexf21)( 。 dyeydxeeQdyP

20、dxxxx)21()21( )21(2121yeddyeydxexxx QdyPdx 的的一一个个原原函函数数为为yeyxux21),( ， 故故eyedyeydxexxx21212121 )1 , 1()1 , 1()0 , 0()0 , 0( 。 另另解解：如如图图取取折折线线OAB作作为为积积分分路路线线，则则 dyeydxexx2121 )1 , 1()0 , 0( eedydx2121 01010 。 )0 , 1 (A) 1 , 1 (Byox此此时时，全全微微分分方方程程的的通通解解为为 Cyxu ),(或或CdyyxQdxyxPyyxx ),(),(。 若若),(),(yxQyxP在在单单连连通通域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数， 则则方方程程0),(),( dyyxQdxyxP为为全全微微分分方方程程的的充充要要条条件件是是 在在 D 内内恒恒有有 xQyP 。 7.3.3 7.3.3 全微分方程全微分方程定定义义 2 2若若存存在在函函数数),(yxu，使使dyyxQdxyxPdu),(),( ， 则则称称0),(),( dyyxQdxyxP为为全全微微分分