高考数学等差等比数列知识点解读

1、等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。1.设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式；解：依题意，即，由此得因此，所求通项公式为。2设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项为 2 3已知等差数列的公差，且成等比数列，则【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。2.补充的一条性质1）项数为奇数的等差数列有：，2）项数为偶数的等差数列有：， 3.等差数列的判定：an为等差数列即： ；4.三个数成等差可设：a，ad，a2d或ad，a，ad； 四个数成等差可设：a3d，ad，ad，a3d.5等差数列与函数：1）等差

2、数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点在没有常数项的二次函数上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。（）若已知通项，则最大；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2）若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（

3、）若已知通项，则最小；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等 差 数 列定义an为等差数列an+1-an=d（常数），nn+2an=an-1+an+1（n2，nn+）通项公式1）=+（n-1）d=+（n-k）d；=+-d2）推广：an=am+（nm）d.3）变式：a1=an（n1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.求和公式1）2）变式：=a1+（n1）·=an+（n1）·（）.等差中项1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.

4、2）推广：2=重要性质1(反之不一定成立)；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.3 成等差数列。45增减性其它性质1an=am+（nm）d.2若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d.3an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； sn=an2+bn，即sn是n的不含常数项的二次函数；三、合作探究：题型1 等差数列的

5、基本运算例1 在等差数列an中，(1)已知a1510，a4590，求a60；(2)已知s1284，s20460，求s28；(3)已知a610，s55，求a8和s8解：(1)方法一： a60a159d130方法2 ，anam(nm)da60a45(6045)d9015×130(2)不妨设snan2bn， sn2n217n s282×28217×281092(3)s6s5a651015，又s615即a15 而da8a62 d16 s8变式训练1 设an为等差数列，sn为数列an的前n项和，已知s7=7，s15=75，tn为数列的前n项和，求tn.解：设等差数列an的公

6、差为d，则sn=na1+n（n1）d. s7=7，s15=75，即 解得a1=2，d=1.=a1+（n1）d=2+（n1）=.=. 数列是等差数列，其首项为2，公差为.tn=n2n.小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2 等差数列的判定与证明例2 已知数列an满足2an1anan2(nn*)，它的前n项和为sn，且a35，s636.求数列an的通项公式；解：2an1anan2，an是等差数列，设an的首项为a1，公差为d，由a35，s636得，解得a11

7、，d2. an2n1.变式训练2 在数列an中，a11，an12an2n.设bn，证明：数列bn是等差数列；证明：由已知an12an2n得bn11bn1.又b1a11， 因此bn是首项为1，公差为1的等差数列小结与拓展：证明数列an是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明anan1（n2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an1+an+1（n2）.题型3 等差数列的性质例3 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，则=_ _ _答案：4020变式训练3 在等差数列an中，已知log2(a5a9)3，则等差数列an的前13项的和s13_.答案：52解：log2(a5a9)3，

8、a5a9238. s1352.小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 题型4 等差数列的前n项和及最值问题例4 设等差数列an的前n项和为sn，已知a3=12，s120，s130.（1）求公差d的取值范围；（2）指出s1，s2，s3，s12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，a1=122d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由s120，s130，即0，且0，解之得d3.（2）易知a70，a60

9、，故s6最大.变式训练4设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于( a )a6 b7 c8 d9【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。小结与拓展：等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.2.等差数列an中，当a10，d0时，数列an为递增数列，sn有最小值；当a10，d0时，数列an为递减数列，sn有最大值；当d=0时，an为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固：1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数

10、与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数解：设这四个数为：，则解得：或，所以所求的四个数为：；或2 由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式 等差数列与等比数列高考在考什么【考题回放】1设数列an的首项a17，且满足an1an2（nn），则a1a2a17 153 .2设sn是等差数列an的前n项和，若，则( a )（a） （b） （c） （d）3已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（c）（a）55 （b）70（c）85（d）1004在等比数列中

11、，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ c ）(a) (b) (c) (d) 5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设an是公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量中：s1与s2； a2与s3； a1与an； q与an其中一定能成为该数列“基本量”的是第 组(写出所有符合要求的组号)6设数列an的首项，且，记（i）求a2，a3；（ii）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（iii）（理）求【专家解答】（i）a2a1+= a+，a3=a2 =a+；（ii） a4 = a3+=a+， a5=a4=a+，所以b1=a1=a， b2=a3= (a)， b3=a5= (a)，

12、猜想：bn是公比为的等比数列证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n= (a2n1)=bn， (nn*) 所以bn是首项为a， 公比为的等比数列·（iii）（理）高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和【热点透析】高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏其中小题主要考查间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论突破重难点【范例1】已知等差数列前三项为a，4

13、，3a，前n项和为sn，sk = 2550() 求a及k的值； () 求()解析（）设该等差数列为an，则a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，sk = 2550由已知得a3a = 2×4， 解得a1 = a = 2，公差d = a2a1= 2 由得 ，解得 k = 50 a = 2，k = 50 （）由得sn= n (n1)， ， 【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法【文】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项解析 由已知得， 即 ，解得或 或 经验证 或 均满足题意，即为所求【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列本

14、题是以此背景设计此题【范例2】已知正项数列an，其前n项和sn满足10sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列an的通项an .解析 10sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a

15、1=2， an=5n3【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知sn，求通项，破解方法：利用sn-sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【文】已知等比数列的前项和为，且（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和解析 （1）当时，而为等比数列，得，即，从而 又（2）， 两式相减得，因此，【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：， 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一

16、行的公比都相等记第i行第j列的数为aij ( ij， i， jn*)(1) 求a83；(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；(3) 记第n行的和为an，求解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。又成等比数列，且又公比都相等，每行的公比是 （2）由（1）知，（3）【点睛】在新颖背景数表中运用数列知识【文】在等比数列a n中，前n项和为sn，若sm，sm+2，sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（）逆命题：在等比数列an中，前n项和为sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 sm，sm

17、+2，sm+1成等差数列 （）设an的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ，2q2q1=0 ， q=1或q=当q=1时，sm=ma1， sm+2= (m+2)a1，sm+1= (m+1)a1，sm+sm+12 sm+2， sm，sm+2，sm+1不成等差数列当q=时， ，sm+sm+1=2 sm+2 ， sm，sm+2，sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处【范例4】已知数列在直线x-y+1=0上（1） 求数列an的通项公式；（

18、2）若函数求函数f (n)的最小值；(3)设表示数列bn的前n项和 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由 解析 （1）在直线x-y+1=0上 （2） ，（3）， 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式第（3）小题的探索性设问也是本题的升华【变式】设数列是等差数列，（）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；（）当时，若满足，使得是等比数列，求数列的通项公式解析（）设公差为，则由，得成等比数列， 解得故成等比数列 （

19、），故又是等比数列，则，又，【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容自我提升1在等差数列中，则（ a ）（a） （b） （c） （d）-1或12（理）已知数列的值为（ c ）（a） （b） （c）1 （d）2（文）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ d ）（a） （b） （c） （d）3设a n为等差数列，a 1>0 ，a 6+ a 7>0， a6 a 7<0，则使其前n项和sn>0成立的最大自然数n是（ b ） （a）11 （b）12 （c）13 （d）14 4三个数成等比数列，且，则的取值范围是（ d ）（a） （b） （c） （d） 5令a n为

20、的展开式中含xn项的系数，则数列a n的前n项和为_6这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；（2）nn+1（将当前n+1的值赋予新的n）（3）x = x+2（将当前的x=2的值赋予新的x）（4）y =2 y （将当前2y的值赋予新的y）（5）z = z + x y（将当前z+xy的值赋予新的z）（6）如果z>7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印n，z；（8）程序终止由语句（7）打印出的数值为n=8，z=76827已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（） 求数列的通项公式；（） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解析 （）设二次函数f (x)ax2+bx (a0)，则=2ax+b，又=6x2，得a=3 ， b=2， 所以 f(x)3x22x又因为点均在函数的图像上，所以3n22n当n2时，ansnsn1（