江苏专转本高数第九节连续函数的运算课件

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第九节第九节 连续函数的运算连续函数的运算一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题与初等函数的连续性与初等函数的连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2一、连续函数的四则运算的连续性一、连续函数的四则运算的连续性【定理【定理1】例如例如 . ),(cos,sin内内连连续续在在 xx. csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续xxxx（上节已证）（上节已证）由

2、函数由函数“连续连续”的定义和极限四则运算法则，立得的定义和极限四则运算法则，立得: :【推广】【推广】 有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论】【结论】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x) , g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点在点x0处也连续处也连续.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性【定理【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有

3、严格单调的 连续反函数连续反函数. .（证明略）（证明略）例如例如上单调增加且连续上单调增加且连续在在2,2sin xy上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故1 , 1arcsin xy上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理1 , 1arccos xy上上单单调调且且连连续续在在,cot,arctan xarcyxy【结论】【结论】反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .1. . 反函数的连续性反函数的连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4).(lim)()(lim)(lim, )(,)(lim0000000 xgfufufx

4、gfuufuxgxxuuxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若【定理【定理3】【证】【证】,)(0连连续续在在点点uuuf . )()(, 0, 000成成立立恒恒有有时时使使当当 ufufuu,)(lim00uxgxx 又又,0, 0, 00时时使使当当对对于于 xx2、复合函数的连续性、复合函数的连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.)(00成立成立恒有恒有 uuuxg将上两步综合起来将上两步综合起来: :,0, 0, 00时时使使当当 xx)()()()(00ufxgfufuf .成立成立 )()(lim00ufxgfxx ).(lim0 xgfx

5、x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【意义】【意义】.)(. 1的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 【例【例1】.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 【解】【解】)(lim)(lim 200 xgfxgfxxxx 由由可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序; ;0limxx同理同理xxax)1(loglim0 aln1 （即教材例（即教材例6）利用利用lnu的的连续性连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7【教材教材

6、例例3】93lim 23 xxx求求【解】【解】932 xxy可视为由可视为由、 uy 932 xxu复合而成，复合而成，6193lim 23 xxx又又 61 连连续续在在点点而而 uuy则则93lim23 xxx93lim23 xxx交交换换次次序序6661 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8又如又如)arccos(lim2xxxx xxxxx 2arccoslim1111arccoslim xx1111limarccos xx21arccos 3 交换次序：交换次序：分子有理化分子有理化分离无穷小量分离无穷小量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

7、结束结束 9【例【例2】.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式【解】【解】,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx （即教材例（即教材例7 7）yyy10)1ln(lim1 交换次序交换次序eln1 yyy10)1(limln1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10.)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数数且且连连续续在在点点设设函函数数xxxgfyuuufyuxgxxxgu 【定理【

8、定理4】例如例如xy1sin 是由连续函数链是由连续函数链),(,sin uuy,1xu *R x因此因此xy1sin 在在*R x上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyoxy1sin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的. .)1, 0( aaayx指指数数函函数数内单调且连续内单调且连续在在),()1, 0( log aaxya对对数数函函数数内单调且连续内单调且连续在在), 0( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束

9、结束 12【定理【定理5】 基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内是连续的是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua , ), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 ( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) )定义区间定义区间是指包含在定义域是指包含在定义域内内的区间的区间. .基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续【定理【定理6】 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1

10、3【例【例3】. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e【例【例4】.11lim20 xxx 求求【解】【解】【解】【解】)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14【教材教材例例8】xxxsin30)21(lim 求求【解【解】xxsin3)21( 6sin21)21( xxxxxxxxe21)21ln(sin6 由由定理定理3及极限运算法则得及极限运算法则得xxxsin30)21(lim xxxxxe210)21ln(sin6lim6e 【解【解】x

11、xxsin30)21(lim )21ln(sin3 lim 0 xxxe 62sin3 lim 0eexxx ln(1+2x) 2x (x0)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【一般地】【一般地】)1)(, 0)( )( )( xuxuxuxv形形如如的函数称为的函数称为幂指函数幂指函数若若0)(lim axubxv )(lim则则bxvaxu )()(lim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16四、小结四、小结3. .定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别; ;求极限的又一种方法求极限的又一种方法. .2. .两个定理（两个定理（3、4）; ;两点意义两点意义. .1.基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数初等函数在在定义区定义区间内间内连续连续【说明】【说明】 分段函数在分界点处是否连续需讨论其分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17【思考题】【思考题】 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ， 试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续