概率论与数理统计二维随机变量的边缘分布课件

1、第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息的分布主要包含三个方面的信息:1. 每个分量的信息，即边缘分布每个分量的信息，即边缘分布;2. 两个分量之间的关系程度，即相关系数两个分量之间的关系程度，即相关系数;3. 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布布;本节先讨论边缘分布本节先讨论边缘分布第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.2.1 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数 设二

2、维随机变量设二维随机变量(X，Y)具有分布函数具有分布函数F(x，y)X和和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数都是一维随机变量，也各有对应的分布函数FX(x)和和FY(y)，依次称为二维随机变量，依次称为二维随机变量(X，Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布函数边缘分布函数易知易知 以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分量的分布函数，量的分布函数，但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布函但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布函数数),(),(lim,)( xFyxFYxXPxXPxFyX),(),(lim,)(yFyxFyYXPyYP

3、yFxY 3.2.1 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数【例【例3.8】设设(X，Y)的分布函数为的分布函数为求关于求关于X和和Y的边缘分布函数的边缘分布函数FX(x)、FY(y) 解：解：由定义知由定义知同理可求得：同理可求得： yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2 ),(lim)(yxFxFyX )2)(arctan2(arctan1lim2 yxy xxx- ,21arctan1)2(arctan12 yyyFY- ,21arctan1)( 3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律 设二

4、维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则，则 , YxXPxXPii,jjyYXPyYP 1,jjiyYxXP, 2 , 1,1 ipjij 1,ijiyYxXP, 2 , 1,1 jpiij3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则，则称称为为(X，Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；称称为为(X，Y) 关于关于Y的的边缘分

5、布律边缘分布律, 2 , 1,1 ipxXPpjijii, 2 , 1,1 jpyYPpiijjj;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 iP jP联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系:【补充例【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610iixXPP jjyYPP 解解: 7473174733.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随

6、机变量的边缘分布律【例【例3.9】设一只口袋中有设一只口袋中有5个球，有两个球上标有数个球，有两个球上标有数字字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个有放回地摸两个球，球，(2) 无放回地摸两个球无放回地摸两个球.并以并以X 表示第一次摸到的表示第一次摸到的球上标有的数字，以球上标有的数字，以Y 表示第二次摸到的球上标有的表示第二次摸到的球上标有的数字，求数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律的联合分布律及其两个边缘分布律 解：解：(1) (X，Y)所有可能取值为：所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则 同理同理 0,

7、0 YXP0|00 XYPXP2595353 ,25652531, 0 YXP,2560, 1 YXP2541, 1 YXP3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律于是于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：的分布律和边缘分布律如下： 12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律(2) (X，Y)所有可能取值仍然为：所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则同理同理 于是于是(X，Y

8、)的分布律和边缘分布律如下：的分布律和边缘分布律如下： 0|000, 0 XYPXPYXP1034253 10342531, 0 YXP,1030, 1 YXP12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX1011, 1 YXP 比比看比比看 对于两种情况，对于两种情况，X，Y的边缘分布是相同的，的边缘分布是相同的，但但(X，Y)的分布不同，说明由联合分布可得到边的分布不同，说明由联合分布可得到边缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分布布3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散

9、型随机变量的边缘分布律12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为的分布函数为F(x，y)，概率密度为，概率密度为f(x，y).因为因为由分布函数定义知，由分布函数定义知，X是一个连续型随机变量，是一个连续型随机变量，且其概率密度为且其概率密度为同样有同样有所以所以,Y也是一个连续型随机变量，其概率密度也是一个连续型随机变量，其概率密度为为 3.2.3 3.2.3 二维连续型

10、随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度 xXdxdyyxfxFxF),(),()(dyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()( yYdydxyxfyFyF),(),()(3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度 称称 为为(X，Y)关于关于X的的边缘边缘概率密度概率密度 称称 为为(X，Y)关于关于Y的的边缘边缘概率密度概率密度dxyxfyfY ),()(dyyxfxfX ),()(3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【例【例3.10】设二维随机变量设二维随机变量(X

11、，Y)的联合概率密度的联合概率密度为为求边缘概率密度求边缘概率密度fX(x)和和fY(y) 解：解：f(x，y)的非零区域如图的非零区域如图: 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxfdyyxfxfX ),()( 其它其它 , 010 ,2xxdxyxfyfY ),()( 其其它它 , 010 ,01 ,11ydxydxyy 其其它它 , 010 ,101 ,1yyyy 其它其它 , 010 ,xdyxx).()(., 0, 6),(2xFxfXxyxyxfYXXX和和边边缘缘分分布布函函数数的的边边缘缘概概率率密密度度求求关关于于其其他他具具有有联联合合概概率率密密度度和和设设随随

12、机机变变量量 解解:yyxfxfXd),()( xy 2xy Oxy)1 , 1( 其其他他,d010,d62yxyxx【补充例】【补充例】 其其他他, 010),(62xxxdxxfxFxXX )()( ., 0, 10),(6)(2其其他他由由于于xxxxfX 其他其他, 110,)(600,0020 xdxxxdxxdxxx 其他其他, 110,230, 032xxxx【例【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度设，试求二维正态分布的边缘概率密度fX(x)和和fY(y) 解：解：由于的概率密度为由于的概率密度为且且 ),(yxf212122112221212222)()()(2)

13、( xxyyxy )()(2)()1(21exp1212222212121212221 yyxx所以所以故故XN(1, 12)，同理，同理dyyxfxfX ),()(dyxyex )()1(21exp1212112222)(2212121 ，则则有有令令)(1111222 xytdteexftxX 22)(12212121)( 即即 yeyfyY,21)(22222)(2 即即YN( 2, 22) 我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给，亦即对于给定的，不同的定的，不同的 对应不

14、同的二维正态对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布都是一样的，这一事实再次分布，它们的边缘分布都是一样的，这一事实再次表明，单由关于表明，单由关于X和关于和关于Y的边缘分布，一般来说的边缘分布，一般来说不能确定随机变量不能确定随机变量X和和Y的联合分布的联合分布222121, .,21为为任任意意实实数数其其中中nxxx概念推广概念推广,),(221121nnnxXxXxXPxxxF (1) n维随机变量的维随机变量的分布函数分布函数的的分分布布函函数数维维随随机机变变量量),(21nXXXn有有实实数数使使对对于于任任意意若若存存在在非非负负函函数数nnxxxxxxf,),(2121.),(

15、),(2121度度函函数数的的概概率率密密为为则则称称nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(212121(2) n维随机变量的概率密度函数维随机变量的概率密度函数.),(121分分布布函函数数边边缘缘的的关关于于维维随随机机变变量量称称为为XXXXnn),()(111 xFxFX(3) n维随机变量的边缘分布函数维随机变量的边缘分布函数),.,()( iiXxFxFi.),(21分分布布函函数数边边缘缘的的关关于于维维随随机机变变量量称称为为inXXXXn.),(121的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于称称为为XXXXn,),(),(2121密密度

16、度的的概概率率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf (4) n维随机变量的边缘概率密度函数维随机变量的边缘概率密度函数nixfiXi,.,3 , 2),( 类类似似可可定定义义., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN 解解1098765432112232424340111121112: 布律布律的联合分布

17、律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点样本点DF 课堂练习课堂练习43211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 10110410210310121098765432112232424340111121112样本点样本点DF或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为Dkp4321101104102103Fkp210101107102或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为 一只硬币一面写上一只硬币一面写上1，另一面写上，另一面写上2，将硬币，将硬币抛抛3次次,以以X记前两次所得数字之和记前两次所得数字之和,以以Y记后两次所记后两次所得数字之差得数字之差(第第2次减去第次减去第3次次).试求试求X和和Y的联合分的联合分布律，以及边缘分布律布律，以及边缘分布律.样本点样本点XY解：解： 先将试验的样本空间及先将试验的样本空间及X,YX,Y取值的情况列出如下：取值的情况列出如下：111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0 课堂练习课堂练习X和和Y的联合分布律及边缘分布律如下表所示：的联合分布律及边缘分布律如下表所示：X所有可能