高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修

1、3.33.3二倍角的三角函数二倍角的三角函数( (一一) )【知识提炼知识提炼】二倍角公式及其变形二倍角公式及其变形sinsincoscos+cos+cossinsin2sin2sincoscoscoscoscoscos-sin-sinsinsin2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 2tantan1tantan【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题: :(1)(1)公式公式t t22成立的条件是什么成立的条件是什么? ?提示提示: :k k+ ,+ ,k k , ,k kz z. .(2)(2)二倍角公式应用过程中二倍角公式应用过程中,“,“角角”和三角函数

2、式的和三角函数式的“次数次数”是如何变是如何变化的化的? ?提示提示: :两种变化形式两种变化形式: :一是一是“角角”变二倍变二倍, ,“次数次数”降低为一次降低为一次; ;二是二是“角角”变为原来的一半变为原来的一半, ,“次数次数”升高为二次升高为二次. .242.2.计算计算1-2sin1-2sin2 222.522.5的结果等于的结果等于( () ) 【解析解析】选选b.1-2sinb.1-2sin2 222.522.5=cos45=cos45= .= .1233a. b. c. d.2232223.sin153.sin15sin75sin75的值为的值为( () ) 【解析解析】选

3、选b.sin15b.sin15sin75sin75=sin15=sin15cos15cos15= = 2sin152sin15cos15cos15= sin30= sin30= .= .1133a. b. c. d.24241212144.2cos4.2cos2 27575-1=_.-1=_.【解析解析】2cos2cos2 27575-1=cos150-1=cos150=-cos30=-cos30=- .=- .答案答案: :- -32325.5.若若tantan=2,=2,则则tan2=_.tan2=_.【解析解析】tan2tan2= = 答案答案: : 222tan2 24.1tan123

4、 43【知识探究知识探究】知识点知识点 正弦、余弦、正切的二倍角公式正弦、余弦、正切的二倍角公式观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:二倍角的含义是什么二倍角的含义是什么? ?其有哪些变形其有哪些变形? ?问题问题2:2:二倍角公式及其变形各有什么特点二倍角公式及其变形各有什么特点? ?它们如何使用它们如何使用? ?【总结提升总结提升】1.1.对二倍角中对二倍角中“倍倍”的说明的说明(1)“(1)“倍倍”具有广泛的含义具有广泛的含义. .例如例如,2,2是是的二倍角的二倍角, ,同样地同样地,4,4是是22的二倍角的二倍角,2,2n n是是2 2n

5、-1n-1的二倍角的二倍角,是是 的二倍角的二倍角,3,3是是 的二的二倍角等倍角等. .(2)(2)在具体应用中可先对角进行观察在具体应用中可先对角进行观察, ,寻求待求的角与已知角之间的寻求待求的角与已知角之间的差异差异, ,再决定用哪种再决定用哪种“倍倍”的关系的关系. .2322.2.二倍角公式的应用二倍角公式的应用(1)(1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运算直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运算. .(2)(2)变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、逆用公变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、逆用公式等方面式等方面, ,其中二

6、倍角的余弦公式最灵活其中二倍角的余弦公式最灵活. .如如: :1+cos2=2cos1+cos2=2cos2 2;coscos2 2= ;= ;1-cos2=2sin1-cos2=2sin2 2;sinsin2 2= ,= ,不仅仅是逆用不仅仅是逆用, ,更重要的是体现了幂指数的变化更重要的是体现了幂指数的变化, ,其中是从一次幂其中是从一次幂向二次幂转换向二次幂转换, ,因此把它们称为升幂公式因此把它们称为升幂公式, ,则是从二次幂向一次幂则是从二次幂向一次幂转换转换, ,因此把它们称为降幂公式因此把它们称为降幂公式. .1cos221 cos 22【题型探究题型探究】类型一类型一 求二倍角

7、的函数值求二倍角的函数值【典例典例】1.1.若若sinsin= ,= ,则则cos2=_.cos2=_.2.2.已知已知 的值是的值是_._.1312sin,cos2633 ()则()【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的条件和所求式中的角有什么联系中的条件和所求式中的角有什么联系? ?提示提示: :两角为二倍角关系两角为二倍角关系. .2.2.典例典例2 2中中 是哪个角的二倍是哪个角的二倍? ?这个角与这个角与 有什么关系有什么关系? ?提示提示: : 223 622.33362 是的二倍，() ()【解析解析】1.1.由由sinsin= ,= ,得得cos2cos2=1-2sin

8、=1-2sin2 2= = 答案答案: :2.2.因为因为 所以所以 答案答案: :- -13271.99791cossinsin,32363 ()()()22217cos22cos121.3339 ()()()79【方法技巧方法技巧】用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略(1)(1)当已知和待求式含有三角函数的平方式时当已知和待求式含有三角函数的平方式时, ,需先降幂需先降幂, ,再求解再求解. .(2)(2)先探寻到已知和待求式中角的倍、单角关系先探寻到已知和待求式中角的倍、单角关系, ,再正用或逆用二倍角再正用或逆用二倍角公式求解公式求解. .(3)

9、(3)当式子中涉及的角较多时当式子中涉及的角较多时, ,要探寻其间的关系要探寻其间的关系, ,化异角为同角化异角为同角. .【变式训练变式训练】已知已知 求求sin2,cos2,tan2sin2,cos2,tan2的的值值. .【解题指南解题指南】由由sin2sin2=2sin=2sincoscos,cos2,cos2=cos=cos2 2-sin-sin2 2知应先知应先求出求出sinsin,cos,cos的值的值. .13tan,232 ()，【解析解析】因为因为 所以所以sinsin=- =- coscos, ,代入代入sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,得得 cosco

10、s2 2+cos+cos2 2=1.=1.因为因为 所以所以sin2=2sincos= sin2=2sincos= cos2=coscos2=cos2 2-sin-sin2 2= = tan2= tan2= 13tan,232 ()，131933 1010,2 ,cos,sin.21010 () 所以103 1032.10105 ()914.10105sin 23.cos 24 类型二类型二 化简与证明三角函数式化简与证明三角函数式【典例典例】1.1.化简化简: =_.: =_.2.2.证明证明: : 222cos12tansin44()()2sin 2sintan .2cos 22sinco

11、s【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中 有什么关系有什么关系? ?提示提示: : 2.2.典例典例2 2中左、右两边的差别是什么中左、右两边的差别是什么? ?如何消除差别如何消除差别? ?提示提示: :左边为弦函数的高次的分式左边为弦函数的高次的分式, ,右边为切函数右边为切函数, ,将左边正向运用二将左边正向运用二倍角公式进行约分化简即可证明倍角公式进行约分化简即可证明. .44与424 ()【解析解析】1.1.原式原式= = 答案答案: :1 1222cos12sin4cos4cos4()()()222cos12cos1cos 21.cos 2cos 22sincos44()()

12、2.2.左边左边= = = =tantan= =右边右边. .2222sin cossinsin (2cos1)2cossin2sincoscos (2cos1) （）【延伸探究延伸探究】( (变换条件变换条件) )若将典例若将典例1 1的式子改为的式子改为“ ”“ ”, ,结果如何结果如何? ?【解析解析】原式原式= = 答案答案: : cos 10 (13tan 10 )cos 701cos 403sin 10cos 10 1cos 103sin 10cos 10sin 202cos 202sin 402 ()2 2132cos 10sin 102 2sin 40222 2.sin 402

13、sin 402()【方法技巧方法技巧】1.1.化简三角函数式的策略化简三角函数式的策略一般地一般地, ,三角函数式的化简要从减少角的种类三角函数式的化简要从减少角的种类, ,减少函数的种类减少函数的种类, ,改变改变函数式的运算结构入手函数式的运算结构入手, ,通过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降通过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等手段幂、分解因式、逆用公式等手段, ,使函数式的结构化为最简形式使函数式的结构化为最简形式. .2.2.证明三角恒等式的原则与步骤证明三角恒等式的原则与步骤(1)(1)观察恒等式的两端的结构形式观察恒等式的两端的结构形式, ,处理原则是从

14、复杂到简单处理原则是从复杂到简单, ,高次降高次降低低, ,复角化单角复角化单角, ,如果两端都比较复杂如果两端都比较复杂, ,就将两端都化简就将两端都化简, ,即采用即采用“两头两头凑凑”的思想的思想. .(2)(2)证明恒等式的一般步骤是证明恒等式的一般步骤是: :先观察先观察, ,找出角、函数名称、式子结构找出角、函数名称、式子结构等方面的差异等方面的差异, ,然后本着然后本着“复角化单角复角化单角”“”“异名化同名异名化同名”、变换式子、变换式子结构结构“变量集中变量集中”等原则等原则, ,设法消除差异设法消除差异, ,达到证明的目的达到证明的目的. .【变式训练变式训练】化简下列各式

15、化简下列各式: : 21cossincossin;1212121212cos.28（ ）()()【解析解析】(1)(1)原式原式= = (2)(2)方法一方法一: :原式原式= = 方法二方法二: :原式原式= = 223cossincos.12126221122cos1cos.28244 ()21cos111122242.2222244 易错案例易错案例 由条件求值由条件求值【典例典例】(2015(2015榆林高一检测榆林高一检测) )已知已知 则则sinsin=_.=_.312sin(2),sin,513 ,0 ,22 ()，()或或【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析上面的解析过

16、程分析上面的解析过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提示提示: :错误的根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视了错误的根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视了角的范围致误角的范围致误, ,实际上本题由实际上本题由sin(2sin(2- -)= 0,)= 0,可进一步缩小角可进一步缩小角2 2- -的范围的范围. .35【自我矫正自我矫正】因为因为 所以所以22,0- ,22,0- ,所以所以2- .2-0,sin(2-)= 0,得得22- ,22- ,所以所以cos(2-)= .cos(2-)= .因为因为- 0,- 0, ,0,22 2523552452125sincos.1313 由，得所以所以cos2=cos(2-)+cos2=cos(2-)+=cos(2-)=cos(2-)cos-sin(2-)cos-sin(2-)sinsin 由由cos 2=1-2sincos 2=1-2sin2 2,得得sinsin2