格林公式及应用(4)课件

1、1第二节第二节 格林公式及其应用格林公式及其应用一、几个概念一、几个概念二、格林公式二、格林公式三、平面曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的定义四四. 平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径无关等价条件2一、几个概念 1 1、设、设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线内任一闭曲线所围成的部分都属于所围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通为平面单连通区域区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD单连通区域单连通区域是无无“洞洞”区域 复连通区域复连通区域是有有“洞洞”区域 3连成连成与与由由21L

2、LL组成组成与与由由21LLL2 2、边界曲线、边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD.向为逆时针方向向为逆时针方向单连通域边界曲线的正单连通域边界曲线的正4 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围围成成, ,函数函数),(),(yxQyxP及及在在D上具有一阶连上具有一阶连续偏导数续偏导数, , 则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( (1) (1) 其中其中L是是D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线, , 公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. . 二、格林公式定理定

3、理1 15),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx LDdyyxQdxdyxQ),(LDdxyxPdxdyyP),(和和:只只要要证证明明 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(6dxxQdydxdyxQyydcD)()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),

4、( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(.其它情况类似可证其它情况类似可证7三、简单应用1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分,)()(dyxexdxxeyyLy222221计算计算例例.)(的的正正向向为为闭闭曲曲线线其其中中4222yxL:解解22222xexyxQxeyyxPyy),(,),(所以由格林公式 dyxexdxxeyyLy)()(22222DdxdyyPxQ)(Ddxdyyx)(22 cos)sin(cos402222drrd d)sincos(co

5、s22343128 168例例2. 计算,)()(dyxydxyxL223其中L为上半圆周24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).DyA xoL解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段AO, 它与L 所围区域为D , 则原式ydxyxdyxAOL)()(2233644DydxdAOydxyxdyx)()(223402xdxDdxdyyPxQ)(3648 9dyyyedxyyexABx)cos()sin(弧弧计计算算例例3.),(),(第一象限的单位圆弧第一象限的单位圆弧到到弧为从弧为从其中其中0110BAABxyoAB解解 引入辅助曲线引入辅助曲线L,BOABOAL 弧弧弧弧AB

6、OABOOABOABDOABOABxxdxdyyPxQdyyyedxyye)()cos()sin(弧弧10 xyoABDxxdxdyyeye)coscos(1Ddxdy4 BOxxdyyyedxyye)cos()sin(0100 dxOAxxdyyyedxyye)cos()sin(10dyyy)(cos211 sin41212114 sin)(sin原式原式11例例 4 4 计算计算 Lyxydxxdy22, , 则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D, 解解令令2222,yxxQyxyP ,.:条件条件应用格林公式要注意

7、其应用格林公式要注意其注意注意.)()()(的的正正向向为为圆圆周周111122yxL.)(的的正正向向为为正正方方形形12 yxL12由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222ayxl:, 记记1D由由L和和 l所所围围成成, 应用格林公式应用格林公式,得得.)()()(的的正正向向为为圆圆周周111122yxL.)(的的正正向向为为正正方方形形12 yxLLyxydxxdy22lLyxydxxdy22lyxydxxdy22131DdxdyyPxQ)(lyxydxxdy22lyxydxxdy22022222 dttatatatatatasincosc

8、oscos)sin(sin02 dt 214例例 5 5 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域. 解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,15应用格林公式应用格林公式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 exyoABD16格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 Lydxxd

9、yA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 计算平面面积计算平面面积17正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxdyydxA21格林公式LDydQxdPydxdyPxQ例如, 椭圆 20sincos:byaxL所围面积LxdyydxA21 202221dabab)sincos(ab 18曲线曲线AMO由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,例例 6 6 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积. . 解解ONA为为直直线线0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0

10、 ,(aANM19 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM20Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关, ,三、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G内内 否否则则与与路路径径有有关关. .，有，有、曲线曲线的任两条的任两条终点在终点在在在及起点及起点、任两点任两点21LLBABA,21四、四、 平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径无关等价条件定理定理2. 设D是单连通开区域单连通开区域 ,),(,),(yxQyxP在

11、D内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D内每一点都有xQyPLydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分, 即 22(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分LydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. 证明证明 (1) (2)设21, LL21LLydQxdPydQxdP1LydQxdP2Ly

12、dQxdP)(21LLydQxdP0AB1L2L2LydQxdP1LydQxdP为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则23(3) 在D内是某一函数 的全微分, 即 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分LydQxdP与路径无关, 只与起止点有关. ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(),(yxyxydQdxPyxu00),(),(yxuyxxuux),(),(yxxyxydQdxP则),(),(yxxyxdxPxyxxP),( xuxuxx0lim),(limyxxPx 0),(yxP同理

13、可证yu),(yxQ因此有ydQxdPud),(yxB),(00yxA。),(yxxC。和任一点B( x , y ) ,与路径无关 , 设24(3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D内每一点都有xQyP证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得ydyuxdxuudydQxdP则),(, ),(yxQyuyxPxuxyuxQyxuyP22,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数xyuyxu22从而在D内每一点都有xQyP25(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(4) 在D内每一点都有

14、xQyP设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为,DD (如图 ), 因此在 上DxQyP利用格林公式格林公式 , 得ydxdyPxQQdyPdxLD)(DDL证明证明 (4) (1)026四、四、 平面曲线积分与路径无关等价条件平面曲线积分与路径无关等价条件定理定理2. 设D是单连通开区域单连通开区域 ,),(,),(yxQyxP在D内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线任意分段光滑闭曲线 L , 有LydQxdP0(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D内每一点都有xQyPLydQxdP与路

15、径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分, 即 27yx说明说明: 若在某区域内有,xQyP则(2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,(3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxydyxQxdyxPyxuyxyx),(),(),(),(),(00 xxxdyxP00),(或yyydyxQyxu00),(),(0y0 x则原函数为yyydyxQ0),(xxxdyxP0),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点(1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;281例例,)()(LyxdyyxdxyxI

16、22计算计算的的弧弧到到从从上上是是曲曲线线其其中中),(),(0101222BAxyL解：因为 22yxyxyxP),(22yxyxyxQ),(yPyxxyyxxQ222222)(),(),(00yx即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 的的上上半半单单位位圆圆弧弧到到为为从从),(),(*0101BAL122 yx29其参数方程为 0变到变到从从 ttytx,sin,cos）（LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0 cos)sin(cos)sin)(sin(cos0 dt30例例2. 验证ydyxxdyx22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,yxQ

17、yxP22则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x,y) 使ydyxxdyxud22),(),(),(yxyydxxdyxyxu0022。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxdx00ydyxy02ydyxy022221yx31oxy例例3. 验证22yxydxxdy在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数,并求出它. 证证: 令2222yxxQyxyP,则)()(022222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122010 xd)(arctan0 xxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(yyyxydx022

18、32oxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(y),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122yyyd021yxyyarctanarctanarctan1yxarctan2 xyarctanxyxxdy122或33故积分路径可取圆弧例例4. 设质点在力场xyrkF,2作用下沿曲线 L :xycos2 由),(20 A移动到, ),(02 B求力场所作的功W. ( 其中 )22yxr解解:dsFWL)(Lyxdxdyrk2令,22rxkQrykP则有)()(022422yxxQryxkyP曲线积分在除原点外的单连通开区域单连通开区域上与路径无关, :ABBAyLOx)(2yxdx

19、dyrkWAB dk)cos(sin2022思考思考：积分路径是否可以取 为什么？ ?OBAO):(sin,cos0222 yxk2 345例例设函数 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 xoyyxQ在在),(LdyyxQxydx),(2与路径无关，并且对任意t恒有 ),(),(),(),(),(),(ttdyyxQxydxdyyxQxydx10010022).,(yxQ求求解：由积分与路径无关的条件知 xxyyxQ22)(待待定定)()(),(yCyCxyxQ235),(),(),(1002tdyyxQxydx102dyyCt)(102dyyCt)(),(),(),(tdyyxQxydx1002tdyyC01)(tdyyCt0)(tdyyCtdyyCt0102)()(两边